Dette materiale er en bearbejdning af noter som oprindeligt er kodet, skrevet og brugt af Niels Lauritzen. Hans stil er meget personlig og engagerende, og jeg har beholdt det meste af det han har forfattet. Niels kan godt lide at fortælle sin personlige mening, og det må jeg hellere lade ham blive ved med. Det vil sige, hvis der senere i denne tekst står ``jeg'' så er ikke mig men ham, hvis I forstår hvad jeg mener. Når jeg (altså ikke ham, men mig) vil sige noget, så vil jeg omtale mig selv som Marcel, hvilket jo også lyder næsten ens.
Formålet med dette kursus er at lære at bruge lineær algebra. Nu er det sådan, at vi matematiker gerne vil gøre rede for hvorfor de metoder vi anbefaler rent faktisk virker. Det gør vi i beviser, som er matematikers måde at overbevise tvivlere.
Vi mener selv at metoden at bruge beviser på dem er mere humant end alternativet at brænde dem på bål.
Men i dette kursus er vores hovedformål ikke at gøre rede for alle detaljer i argumenterne. Derfor er vi gået med til det kompromis at vi giver de matematisk korrekte argumenter, men vi skjuler dem. Hensigten er at beviserne skal være skrevet ud i alle detaljer. På den ene side betyder det at man bør kunne arbejde sig igennem hvert enkelt argument, og forstå hvorfor de forskellige påstande er sande. På den anden side gør det at nogle af argumenterne fylder meget — man står som en okse foran en mur af tekst.
Hvis I ønsker at få den fulde sandhed at vide, må I altså meget gerne klikke på de knappe som er spredt ud over teksten og er mærket ``bevis'' eller lignende. Da vi I blive oplyst, men at kunne gengive disse beviser er ikke en del af pensum. Der er alligevel tre gode grunde til at studere i det mindste nogle af beviserne. Den første grund er den indlysende at det giver en bedre forståelse af stoffet. Den anden grund er at de fleste af beviserne er gode og ikke altfor vanskelige øvelser i at bruge teorien, så at det faktisk kan være en mindst lige så god øvelse at studere et bevis som at regne en numerisk opgave. Den tredie grund er at beviserne øver i at læse en matematisk tekst. Beviserne i disse noter minder meget om tankegangen i andre matematiske artikler og bøger, men ambitionen er at de skal være mere udførlige end hvad man normalt finder i sådanne tekster.
Et par af beviserne er relativt indviklede, og går udover hvad man forventer af en ``øvelse''.
Vi advarer om disse beviser ved at markere dem med en lille stjerne.
Selv om I aldrig læser et eneste bevis, så husk på at det her er ikke et rent regnekursus. I fremtiden er risikoen relativt stor for at I kommer ud for at løse ligninger eller for at på anden måde bruge lineær algebra. Da vil I ikke sidde ned ved et bord og løse ligninger i hånden på et stykke papir i skæret fra et vokslys, men selvfølgelig vil I fodre en computer med ligningerne. Det ville vi også gøre. De regninger vi laver her er primært øvelser for at lære at fortolke de resultater som en maskine giver. Det nytter ikke meget at man ejer en computer som kan beregne egenvektorer som en mis, hvis man ikke er klar over hvad en egenvektor er, og hvad de kan bruges til.
Teorien bygger på en ret abstrakt begrebsdannelse som er vigtig selv om man kun interesserer sig for anvendelser. I har lov til at stole på vores beviser, men I skal lære at forstå de begreber vi kommer til at arbejde med. Og erfaringen siger at den bedste måde at lære at forstå disse begreber er ved at bruge dem i praksis, det vil sige ved at selv lave konkrete udregninger.
Noterne er skrevet med henblik på at de skal læses på en computer, tablet eller lignende. Det vil sige, vi gør flittigt brug af html. Vi har lavet en pdf version som kan printes ud, men vi anbefaler at bruge skærmen! Et tip: Hvis det bliver anstrengende for øjnene at læse fra skærmen, kan det være en god idé at invertere farverne (så at skriften bliver hvid på sort baggrund). Mange netlæsere og computers kommer i dag med udvidelser eller indstillinger der gør det muligt.
Hvis der er noget i de her noter som ikke er optimalt, eller måske ren sort snak, så ville det glæde mig (Marcel) meget hvis I bruger annoteringssystemet. Det virker sådan at I kan lave en kommentar som bliver synlig i teksten. Jeg vil skynde mig at svare på sådanne kommentarer. Den nøjagtige fremgangsmåde er såre simpel, og forklaret af Niels i denne video:
Kommentarer/spørgsmål?
Der findes mange bøger om lineær algebra, og de fleste af dem er udmærkede. I Århus har man på forskellige tidspunkter brugt Nielsen og Salomonsen ``Lineær algebra via eksempler'', Leon ``Linear algebra with applications'' og du Plessis ``Forelæsningsnoter i lineær algebra''. I København bruger man
Hesselholt og Wahl ``Lineær algebra''. Hvis i kigger i nogle af disse eller i andre lignende kilder tager i sikkert ikke varig skade af det.