Tal og Lineær Algebra (2019)

Niels Lauritzen

Marcel Bökstedt

• »0 Indledning

• »1 Om tal og vektorer i planen
• 1.1 Det mirakuløse tal nul
• 1.2 De naturlige tal
• 1.3 De hele tal
• 1.4 De rationale tal
• 1.5 De reelle tal
• 1.6 Vektorer i planen
• 1.7 Cosinus og sinus til en vinkel
• 1.8 Projektionen af en vektor på en anden vektor
• 1.9 Cosinus og sinus for summen af to vinkler
• 1.10 Opgaver

• »2 De komplekse tal
• 2.1 Mandelbrotmængden
• 2.2 Regneregler
• 2.3 Geometrisk fortolkning og polær form
• 2.4 Andengradsligningen og højeregradsligninger
• 2.5 Om komplekse tal og periodiske fænomener
• 2.6 Opgaver

• »3 Lineære ligninger
• 3.1 En ligning med en ubekendt
• 3.2 Flere ligninger og flere ubekendte
• 3.3 Gauss elimination
• 3.4 Anvendelser
• 3.5 En meget vigtig matematisk sætning
• 3.6 Opgaver

• »4 Matricer
• 4.1 Matricer
• 4.2 Matrixmultiplikation
• 4.3 Matrixregning
• 4.4 Rækkeoperationer
• 4.5 Reduceret række echelon form (RREF)
• 4.6 Elementære matricer
• 4.7 Egenvektorer og egenværdier for en matrix
• 4.8 Opgaver

• »5 Determinanter
• 5.1 Definition
• 5.2 Egenskaber
• 5.3 Udregning af determinanten
• 5.4 Determinanten af elementære matricer
• 5.5 Polynomier af grad $n$ gennem $n+1$ punkter
• 5.6 Udregning af egenværdierne for en matrix
• 5.7 Opgaver

• »6 Konkrete vektorer
• 6.1 Konkrete vektorrum
• 6.2 Underrum og vektorrum
• 6.3 Lineær uafhængighed
• 6.4 Basis for og dimension af underrum
• 6.5 Koordinater
• 6.6 Lineære transformationer
• 6.7 Egenvektorer og diagonalisering
• 6.8 Gershgorins cirkelsætning
• 6.9 Opgaver

• »7 Prikprodukter
• 7.1 Definitioner og uligheder
• 7.2 Matricer og prikproduktet
• 7.3 Anvendelser af ortogonalitet
• 7.4 Mindste kvadraters metode
• 7.5 Opgaver

• »8 Symmetriske matricer
• 8.1 Schurs lemma
• 8.2 Spektralsætningen
• 8.3 Singulær værdi dekomposition
• 8.4 Approksimation af matricer via svd
• 8.5 Opgaver

• »9 Anvendelser af lineær algebra
• 9.1 Differentialligninger
• 9.2 Principal component analysis
• 10.3 Opgaver