4 Matricer

Når man har regnet med lineære ligninger et stykke tid opstår behovet for at forenkle notationen. For eksempel kan ligningerne repræsenteres ved talskemaet og mange af de operationer vi foretager for at løse ligningerne kan lige så vel udføres på det tilsvarende talskema.

4.1 Matricer

4.1.1 Definitioner

Et rektangulært talskema kaldes en matrix. En matrix med $m$ rækker og $n$ søjler kaldes en $m\times n$ (læs: $m$ gange $n$) matrix. Notation for en $m\times n$ matrix $A$ er hvor $A_{ij} = a_{i j}$ betegner tallet i $i$-te række og $j$-te søjle. Hvis vi kalder matricen i (4.2) for $A$, består den af $2$ rækker og $4$ søjler med $A_{14} = -2$.

1. En matrix kaldes kvadratisk hvis den har lige så mange rækker som søjler. For eksempel er de første to matricer nedenfor kvadratiske, mens den tredje ikke er det.
   $\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}.$
2. Diagonalen i en matrix er defineret som indgangene i matricen med samme række- og søjlenummer. Nedenfor er angivet en $3\times 4$ matrix, hvor diagonalelementerne er markerede
   $\begin{pmatrix} \color{red}{1} & 3 & 0 & 1\\ 3 & \color{red}{2} & 1 & 5\\ 1 & 0 & \color{red}{3} & 6 \end{pmatrix}.$
   En matrix kaldes en diagonalmatrix, hvis alle dens indgange udenfor diagonalen er $=0$. Nedenfor er et eksempel på en kvadratisk diagonalmatrix
   $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.$
3. En matrix kaldes en rækkevektor hvis den kun har en række. For eksempel er
   $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$
   en rækkevektor med tre søjler.
4. En matrix kaldes en søjlevektor hvis den kun har en søjle. For eksempel er
   $\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$
   en søjlevektor med tre rækker.
5. Rækkerne i en matrix kaldes matricens rækkevektorer. Den $i$-række i en matrix $A$ betegnes $A_i$. For eksempel har matricen $A$ i (4.2) rækkevektorerne
   $A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 & -2 \end{pmatrix} \qquad\mathrm{og}\qquad A_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 7 & 4 \end{pmatrix}.$
6. Søjlerne i en matrix kaldes matricens søjlevektorer. Den $j$-te søjle i en matrix $A$ betegnes $A^j$. For eksempel har matricen $A$ i (4.2) søjlevektorerne
   $A^1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix},\quad A^2 =\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix},\quad A^3 =\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}\quad\mathrm{og}\quad A^4 = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}.$
7. En række- eller søjlevektor refereres til som en vektor.

Vi vil senere give en mere abstrakt definition af vektorer som elementer i et såkaldt vektorrum.

4.2 Matrixmultiplikation

Antag vi har givet to ligningssystemer i de variable $u, v$ og $x, y$. Vi får et nyt ligningssystem i $x$ og $y$ ved at sætte $u = 2x + 3 y$ og $v=-x-2y$ ind i det første ligningssystem: Med matricer skriver vi Lad os prøve at skrive operationen i (4.4) ud generelt det vil sige antag vi har to ligningssystemer a la ovenfor: men nu med generelle koefficienter. Ved substitution fås som før som så er lig med Formuleret med matricer som i (4.4) skrives Ligningen ovenfor er intet mindre end formlen for multiplikation af to $2\times 2$ matricer, præcis som den blev indført historisk af Cayley omkring 1857. Ved nærmere eftersyn (og markeret med farver i (4.5) for $i=2$ og $j= 1$) ses reglen at tallet i den $i$-te række og $j$-te søjle i produktmatricen er række-søjle multiplikationen mellem $i$-te række og $j$-te søjle i de to matricer. Hvis man er lidt pedantisk vil man måske i notationen skelne mellem tallet $5$ og $1\times 1$ matricen $(5)$, men det er vi ikke.

Quiz

Med formlen for matrix multiplikation kan ligningssystemet (4.1) nu skrives som Her ganger vi en $2\times 3$ matrix sammen med en $3\times 1$ matrix. Rækkesøjlemultiplikationen giver $2\times 1$ matricen Denne matrix skal netop være lig med $2\times 1$ matricen på højresiden ovenfor for at ligningssystemet (4.1) er opfyldt.

Quiz

Matrixmultiplikation optræder mange steder. Nedenfor et meget anvendeligt eksempel indenfor sandsynlighedsregning, som i generaliseret form leder til Googles berømte page rank algoritme.

Eksempel

Nedenfor et eksempel på anvendelser i netværksteori.

Eksempel

4.3 Matrixregning

Matrixmultiplikation er forskellig fra almindelig talmultiplikation på et helt centralt punkt: Faktorernes orden er ikke ligegyldig. Betragt matricerne Så er dvs $A B \neq B A$. Man siger også at matrixmultiplikation er ikke-kommutativ.

4.3.1 Addition af matricer

Man kan (næsten) regne med matricer som almindelige tal. Specielt giver det mening at lægge matricer med samme antal rækker og søjler sammen indgang for indgang: Med hensyn til addition opfører matricer sig ligesom almindelige tal, det vil sige at $A+B=B+A$.

4.3.2 Skalarmultiplikation af matricer

En matrix kan på naturlig måde multipliceres med et tal $\lambda$ ved at gange ind plads for plads:

Opgave

4.3.3 Den distributive lov

For almindelige tal gælder at man kan gange ind i en parentes det vil sige $a (b + c) = a b + a c$. Denne regel gælder også for matricer og kaldes generelt for den distributive lov (gange bliver distribueret (fordelt) over plus).

Bevis

4.3.4 Den mirakuløse associative lov

Giver det mening at gange tre matricer $A, B$ og $C$ sammen? Vi har faktisk kun defineret produktet af to matricer. Der er to naturlige måder at udregne produktet $A B C$ på: Vi kan begynde med at gange $A$ sammen med $B$ og så gange $C$ på fra højre. Vi kan også først gange $B$ sammen med $C$ og så gange $A$ på fra venstre. Det er slet ikke klart at de to måder leder frem til samme resultat! At det gælder er helt centralt når man regner med matricer. Resultatet kaldes den associative lov for matrixmultiplikation. Det nedenstående bevis er ikke særlig informativt, men det er korrekt. Senere, når vi har set sammenhængen mellem matricer og lineære afbildninger, vil vi være i stand til at give en meget bedre forklaring på hvorfor den associative lov er en selvfølge.

Bevis

4.3.5 Opbygning af matricer fra søjler

Hvis vi har $n$ søjlevektorer $\mathbf v_i$ som alle har højde $n$ kan vi danne en $m\times n$ matrix $A=(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots \mathbf v_n)$ ved at sætte dem ved siden af hinanden. Så hvis vi har søjlevektorerne så er Vi kan genfinde søjlevektorerne af $A$ som $A^1=\mathbf v_1$,$A^2=\mathbf v_2$,$A^3=\mathbf v_3$ og $A^4=\mathbf v_4$. Vi vil senere få brug for følgende simple udregning.

Bevis

Illustration af beviset ved et eksempel

4.3.6 Identitetsmatricen

Identitetsmatricen $I_n$ af orden $n$ er $n\times n$ diagonalmatricen med $1$ i diagonalen. Nedenfor er identitetsmatricen af orden $5$ Identitetsmatricen $I_n$ har egenskaben at for alle $n\times n$ matricer $A$.

Opgave

4.3.7 Den inverse matrix

Man kan dividere med almindelige tal $\neq 0$. Giver det mening at dividere med matricer? Et almindeligt tal $a\neq 0$ har et "inverst" tal $c$ så $a c = c a = 1$. Her kan vi bare sætte $c = 1/a = a^{-1}$. Vi kan umiddelbart overføre denne definition til kvadratiske matricer.

Opgave

Den inverse matrix kommer for eksempel ind i billedet ved løsning af lineære ligninger. Et lineært ligningssystem med $n$ ligninger og $n$ ubekendte: kan med matrixnotation skrives eller mere kompakt som $A \mathbf x = \mathbf b$. Hvis $A$ er invertibel giver den associative lov følgende udregning: Den inverse matrix giver altså løsningen til ligningssystemet ud fra kun en matrixmultiplikation med højresiden. Bemærk at denne udregning gælder for alle højresider $\mathbf b$ i ligningssystemet.

Eksempel

Produktet af to invertible matricer (når produktet giver mening) er også en invertibel matrix. Dette er indholdet af følgende resultat, som bevises helt formelt ud fra definitionen og den associative lov.

Bevis

For de nysgerrige er her en udfordring. Vi har defineret en matrix $A$ til at være invertibel, hvis der findes en matrix $B$ så både $A B = I$ og $B A = I$. Kan vi umiddelbart konkludere at $B A = I$ hvis kun $A B = I$? Vi vil vende tilbage til denne udfordring senere.

4.3.8 Den transponerede matrix

Den transponerede til en $m\times n$ matrix $A$ er $n\times m$ matricen $A^T$ givet ved det vil sige matricen, som indeholder søjlerne i $A$ som rækker (og rækkerne som søjler). For eksempel er Læg også mærke til at $(A^T)^T = A$ for en vilkårlig matrix $A$.

Bevis

Opgave

Opgave

4.4 Rækkeoperationer

Der er en række meget naturlige operationer man kan udføre på matricer, som præcis svarer til hvad man ville gøre på det tilsvarende system af ligninger:

1. Ombytning af to rækker.
2. Multiplikation af en række med et tal forskellig fra nul.
3. Addition af en række multipliceret med et tal til en anden række.

Disse operationer kaldes rækkeoperationer. Rækkeoperationer er invertible: $\bullet$ Ved først at ombytte to rækker og dernæst ombytte de samme to rækker genfinder vi den oprindelige matrix. $\bullet$ Ved først at gange en række med et tal $\lambda\neq 0$ og dernæst gange samme række med $1/\lambda$ genfinder vi den oprindelige matrix. $\bullet$ Ved at addere $\lambda$ gange rækken $i$ til rækken $j$ og dernæst addere $-\lambda$ gange rækken $i$ til rækken $j$ genfinder vi den oprindelige matrix.

Quiz

Opgave

Opgave

Operationen ($\gamma$) svarer til Gauss elimination. At trække første ligning fra anden ligning i (4.1) svarer til at gange første række i (4.2) med $-1$ og addere til anden række. Efter denne operation på matricen (4.2) har vi matricen Vi benytter nu operationen ($\beta$) og ganger anden række med $\frac {1}{3}$ og får matricen Tilsvarende ganger vi første række med $\frac{1}{2}$ og får matricen Hvis vi omformulerer matricen ovenfor til ligninger, svarer den til Intuitivt er rækkefølgen af ligningerne her forkert. Vi vil gerne have at ligningen indeholdende den første variabel $x$ kommer først. Vi benytter operationen ($\alpha$) og bytter rundt på første og anden række. Dermed har vi Vi accepterer matricen til sidst i (4.15) som en specielt enkel form vi kan reducere den oprindelige matrix (4.2) til. Den enkle form af matricen afspejler sig i det tilsvarende ligningssystem ved at man umiddelbart kan aflæse løsningerne til at være Det Vil Sige $z$ er en fri variabel og bestemmer $x$ og $y$ som ovenfor. Den simple form vi har reduceret den oprindelige matrix til kaldes reduceret række echelon form.

4.5 Reduceret række echelon form (RREF)

En række i en matrix kaldes en nulrække hvis alle dens indgange er tallet $0$.

Quiz

Bevis *

Eksempel

4.5.1 Løsning af ligninger ved hjælp af RREF

Hvis en $m\times n$ matrix $R$ er på RREF er ligningssystemet $R \mathbf x = \mathbf b$ med $m$ ligninger og $n$ variable specielt nemt at gå til. Pivotelementerne i $R$ er de eneste indgange i deres søjle $\neq 0$. Deres søjlenumre $B$ svarer til de såkaldte bundne variable. De øvrige søjlenumre $F$ svarer til de såkaldte frie variable. Vi samler de frie variable i en vektor $\mathbf x_F$, og de bundne variable i en anden vektor $\mathbf x_B$. Lad os se på et konkret eksempel. Lad Da er $R$ på RREF, og de tre pivoter står i søjlerne med nummer $2,4,5$. Hvis vi vil løse en ligning $R\mathbf x=\mathbf b$, så er $\mathbf x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5.x_6)^T$ , de bundne variable er $x_2,x_4,x_5$ og de frie variable er $x_1,x_3,x_6$. Vi skriver altså $\mathbf x_F=(x_1,x_3,x_6)^T$ og $\mathbf x_B=(x_2,x_4,x_5)^T$. Vi laver nu en lille omsortering af søjlerne i $R$. Vi flytter de tre pivot søjle foran. De resterende søjler der svarer til bundne variable samler vi til en matrix vi kalder Nu ser vi at følgende to ligninger er fuldstændigt ensbetydende: Formuleret i matrixsprog siger det at ligningen er ensbetydende med at som er ensbetydende med at For eksempel er $\mathbf x = (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)^T$ en løsning til hvis og kun hvis Her er $x_2, x_4, x_5$ de bundne variable og $x_1, x_3, x_6$ de frie variable. Skrevet som ligninger svarer dette til ligningssystemet med løsningsformlerne Læg mærke til at $x_1$ er en fri variabel, som her ikke indgår i formlerne for $x_2, x_4, x_5$.

Opgave

4.6 Elementære matricer

Vi vil nu omfortolke rækkeoperationer ved hjælp af matrixmultiplikation. Hver af de tre typer af rækkeoperationer som vi beskrev i begyndelsen af 4.4 svarer til multiplikation fra venstre med en matrix af en bestemt type. For eksempel er ombytning af rækkke 1 med række 2 i en $3\times n$ matrix det samme som multiplikation fra venstre med Multiplikation af den anden række med 5 er detsamme som produkt med og operationen at gange den tredie række med $-3$ og lægge den til den første række er detsamme som multiplikation med matricen

Eksempel

Opgave

Vi siger at en elementær matrix fremkommer ved at udføre præcis en rækkeoperation på den kvadratiske $m\times m$ identitetsmatrix $I_m$. Hvis denne rækkeoperation er givet ved at multiplicere fra venstre med en matrix $E$, er den tilhørende elementære matrix altså $EI_m=E$. Vi indfører betegnelser for de tre typer af elementære matricer. Lad $P_{rs}$ være den matrix der fremkommer fra identitetsmatricen ved at bytte om på rækkerne med nummer $r$ respektive $s$. Vi lader $D_i(\lambda)$ betegne matricen, som fremkommer ved at gange $i$-te række i identitetsmatricen af orden $m$ med $\lambda$. Dette er stadig en diagonal matrix, lige som enhedsmatricen, det vil sige at hvis $j\neq k$ er $D_i(\lambda)_{jk}=0$. Til sidst lader vi $E_{ij}(\lambda)$ betegne den elementære matrix, som fremkommer fra identitetsmatricen af orden $m$ ved at gange $j$-te række med $\lambda$ og addere til $i$-te række. Denne matrix er lig identitetsmatricen med undtagelse af at der i indgangen i $i$-te række og $j$-te søjle står $\lambda$ i stedet for $0$.

Quiz

Bevis

Nu er vi endelig i stand til at gengive en algoritme til at udregne den inverse matrix.

Bevis

Ovenstående sætning giver en metode til at udregne den inverse matrix.

Bevis

4.7 Egenvektorer og egenværdier for en matrix

I eksemplet med stokastiske matricer havde vi brug for at udregne potenser $P^2, P^3, \ldots$ af en matrix $P$. Hvis $P$ er en kvadratisk diagonalmatrix er disse operationer meget mere overkommelige.

Bevis

Det betaler sig at lave $P$ om til en diagonalmatrix for at udregne $P^m$ og jeg vil her kort forklare hvordan dette ofte kan lade sig gøre.

4.7.1 Konjugering

For en invertibel matrix $T$ findes den inverse matrix $T^{-1}$ og udregningen $T^{-1} A T$ giver mening for en kvadratisk matrix $A$ med samme antal rækker som $T$. Denne operation kaldes konjugering med $T$ og matricen $T^{-1} A T$ kaldes en konjugeret matrix til $A$.

Quiz

Konjugering viser sig at være central i lineær algebra. Lad os se på et eksempel. Lad os antage et øjeblik at matricen $P$ kan konjugeres til en diagonalmatrix det vil sige vi kan finde en invertibel matrix $T$ så hvor $D$ er en diagonalmatrix. Så vil og dermed Nøjagtig den samme udregning kan laves ikke bare for potensen $2$, men for en generel potens $m$: Det Vil Sige hvis vi er så heldige at finde en invertibel matrix $T$, således at $T^ {-1} P T$ er en diagonalmatrix, så kan vi udregne potenser af $P$ meget nemmere end ved almindelig matrixmultiplikation. Der er slet ikke sikkert at $T$ findes, men vi kan prøve på at analysere hvad matricen $P$ skal opfylde for at det lader sig gøre.

Bevis

Disse overvejelser leder frem til følgende definitioner. Det er ikke oplagt med vores viden nu om en matrix overhovedet har endeligt mange egenværdier eller hvordan man bærer sig ad med at regne egenværdier ud. Lad os prøve at kigge på $2\times 2$ matricer.

4.7.2 Hvad sker der for små matricer?

At finde egenværdier for en kvadratisk $n\times n$ matrix $A$ kan omformuleres til at at finde et tal $\lambda$ (en egenværdi), så der findes en vektor $\mathbf v\neq \mathbf 0$ med $A \mathbf v = \lambda \mathbf v$. Dette er det samme som at der findes en vektor $\mathbf v\neq \mathbf 0$ med Lad os i dette lille afsnit foregribe begivenhedernes gang ved at kigge på en $2\times 2$ matrix og spørgsmålet: Hvornår findes en vektor $\mathbf v\neq 0$ så $B \mathbf v = 0$? Vi ved fra Sætning 4.34 at dette forekommer præcis når $B$ ikke er invertibel. Samtidig ved vi fra Sætning 4.33 at $B$ er invertibel hvis og kun $B$ er rækkeækvivalent med identitetsmatricen. Lad os eksperimentere: Hvis både $b_{11}$ og $b_{21}$ er $0$ kan $B$ ikke være invertibel. Hvis $b_{11}\neq 0$ så er og dermed er $B$ invertibel hvis og kun hvis Samme betingelse gør sig gældende ved rækkereduktioner ud fra antagelsen $b_{21}\neq 0$. Vi kalder $b_{11} b_{22} - b_{21} b_{12}$ for determinanten for $B$ og betegner den $\det(B)$. Nu kan vi svare på hvornår har en løsning $v\neq 0$ for en $2\times 2$ matrix i (4.16). Dette gælder hvis og kun hvis Polynomiet i (4.17) kaldes for det karakteristiske polynomium hørende til $A$. Det vi har vist er altså at en $2\times 2$ matrix $A$ har mindst en egenvektor hørende til egenværdien $\lambda$ hvis og kun hvis $\lambda$ er en rod i det karakteristiske polynomium. I næste kapitel kommer vi ind på hvad der sker for større matricer ved at definere determinanten af en generel $n\times n$ matrix.

4.7.3 Differentialligninger som eksempel

Egenværdier og egenvektorer er ekstremt nyttige ved løsning af koblede differentialligninger som hvor $a, b, c, d\in \mathbb{R}$. Tilfældet med kun en ubekendt funktion kendes fra radioaktivt henfald. Her støder vi på differentialligningen som har løsningen $x(t) = C e^{\lambda t}$, hvor $C$ er en konstant. Hvis man arbejder ud fra hypotesen om at (4.18) har løsninger af formen så kan man indsætte i (4.18) og komme frem til at hørende til egenværdien $\lambda$. Dette er gennemgået i videoen nedenfor.

4.8 Opgaver

4.8.1

Lad være en stokastisk matrix det vil sige alle indgangene i matricen er $\geq 0$ og $p_{11} + p_{21} = 1$ samt $p_{12} + p_{22} = 1$. Antag at $p_{21} + p_{12} > 0$ og lad $v$ være vektoren Hvorfor er $P v = v$? Hvordan relaterer det til Eksempel 4.4 om stokastiske matricer?

4.8.2

Lad $A$ og $B$ være invertible $n\times n$ matricer. Gør detaljeret rede for at $A B (B^{-1} A^{-1}) = I$ ved brug af den associative lov.

4.8.3

Forklar hvorfor matricen ikke er invertibel.

4.8.4

For hvilke tal $x$ er matricen invertibel.

4.8.5

Lad

1. Find den reducerede række echelon form for $A$.
2. Find samtlige løsninger til ligningssystemet
   $\begin{aligned} x -2 y -7z - 8 w &= -9 \\ 3x -4 y -13 z - 14 w &= -15. \end{aligned}$

4.8.6

Udregn den inverse matrix til matricen og gør rede for alle trin i din beregning.

4.8.7

Skriv matricen som et produkt af elementære matricer.

4.8.8

Giv alle detaljer i udregningen (4.17).

4.8.9

Lad Bestem egenværdierne for $A$ og egenværdierne for $A^{10}$. Hvad er egenvektorerne for $A^{10}$? Begrund dine svar.

4.8.10

Find, ved at bruge teorien i dette kapitel, to funktioner $x_1(t), x_2(t): \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ som udgør en løsning til systemet af differentialligninger og som opfylder $x_1(0) = 1$ og $x_2(0) = 0$. Skitser din metode grundigt og henvis kun til materialet i disse noter.

4.8.11

I udregningen (4.6) i eksemplet om stokastiske matricer er der urent trav i forklaringerne. Hvad er der galt?

4.8.12

Gør rede for at en kvadratisk matrix forskellig fra identitetsmatricen bliver nødt til at indeholde en nulrække hvis den er på RREF.

4.8.13

Lad $A$ og $B$ være to $2\times 2$ matricer. Er det rigtigt at Hvad med