2 De komplekse tal

Lad os vende tilbage til historien om ligninger og tal. Det vil føre for vidt at forklare, hvordan man systematisk indfører tal, som ikke behøver være brøker. Kort sagt laver man dem som uendelige decimaltal, men detaljerne er ret kedelige og lidt besværlige. Så vi vil antage at vi ved hvad (reelle) tal er. Man kan ikke finde et reelt tal, som løser ligningen $$x^2 + 1 = 0,$$ — intet reelt tal ganget med sig selv giver $-1$. Enhver enkel lommerregner vil blinke en fejlmeddelelse, hvis du forsøger at tage kvadratroden til $-1$. Derimod vil et moderne computer algebra system som Maple eller Mathematica formentlig give dig symbolet $I$ som output. Hvad er dette $I$? Lad os først komme ind på hvor anderledes (og mere spændende) de komplekse tal er med et eksempel fra computergrafik.

2.1 Mandelbrotmængden

Geometrisk opholder de komplekse tal sig i to dimensioner, mens de almindelige tal kun bevæger sig på en linje i en dimension. Man kan benytte de komplekse tal til at generere såkaldte fraktaler som Mandelbrotmængden nedenfor. Mandelbrotmængden er blevet kaldt et af de smukkeste og mest komplicerede objekter i moderne matematik. I næste afsnit ser vi nærmere på addition og multiplikation af komplekse tal. Mandelbrotmængden er frembragt ene og alene ved at iterere multiplikationer og additioner med komplekse tal.

2.2 Regneregler

Mandelbrotmængden fremkommer ved mange iterationer bestående af multiplikationer og additioner med komplekse tal. Vi har brug for at vide hvad komplekse tal er og hvordan man regner med dem. En specielt vigtig regneregel for reelle tal hedder den distributive lov. Den siger at $$x (y + z) = x y + x z$$ for $x, y, z\in \mathbb{R}$. En anden velkendt regel siger at faktorernes orden er ligegyldig eller at multiplikation er kommutativ det vil sige $x y = y x$.

Opgave

Lad os antage at vi oven i de reelle tal kaster et opdigtet eller imaginært tal $i$ ind, som har egenskaben at $$i^2 = -1.$$ Hvis $a, b, c, d$ er reelle tal og vi antager at $i$ adlyder de almindelige regneregler får vi følgende udregning: $$\begin{aligned} \color{blue}{(a + b i) (c + d i)} &= (a+ b i) c + (a + b i) d i\\ &= a c + b i c + a d i + b i d i\\ &= a c + b c i + a d i + b d i^2\\ &= a c + b c i + a d i - b d\\ &= \color{blue}{(a c - b d) + (a d + b c) i} \end{aligned}$$ Det vil sige to tal på formen $x + y i$, hvor $x$ og $y$ er reelle tal, ganger sammen til et tal af samme standard form. Faktisk kan man vise at, når man definerer multiplikation som ovenfor og addition som $$(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d)i,$$ så får man en mængde af nye tal, som opfylder alle velkendte regneregler for reelle tal, som f.eks. $$\begin{aligned} x (y z) &= (x y) z\\ x( y + z) &= x y + x z\\ x y & = y x\\ 1 x &= x \end{aligned}$$

Opgave

Hvorfor benyttes notationen $i$ for $\sqrt{-1}$? Begrundelsen er historisk og daterer sig tilbage til $1500$-tallet, hvor den italienske matematiker Cardano havde behov for at regne med opdigtede eller imaginære tal for at finde en formel til løsning af tredjegradsligninger. Det komplekse tal $i$ kaldes for den imaginære enhed. Man skal dog ikke forledes til at tro at de komplekse tal kun er et påfund opdigtet for fem lange sekler siden af en tosset matematiker. De dukker hele tiden op i anvendelser. Den ene af de to mest fundamentale fysiske teorier, kvantefysikken, er formuleret i termer af komplekse tal og vektorrum.

Hvad er så den anden mest fundamentale teori?

Ved hjælp af formlen for multiplikation af komplekse tal ses for $z = c + d i$, at $$z \overline{z} = (c + d i) (c - d i) = c^2 + d^2$$ ved indsættelse af $a = c$, $b = d$, $c=c$ og $d = -d$. Denne observation gør at vi kan udlede følgende divisionsformel: $$\begin{aligned} \color{blue}{\frac{a + b i}{c + d i}}&= \frac{(c - d i)(a + b i)}{(c - d i)(c + d i)}\\ &= \frac{(a c + b d) + (b c - a d)i} {c^2 + d^2}\\ &= \color{blue}{\frac{a c + b d}{c^2 + d^2} + \frac{b c - a d}{c^2 + d^2} i}. \end{aligned}$$ Divisionen af to komplekse tal giver altså igen et komplekst tal. Vi antager at tælleren $c + d i$ ikke er lig $0$ det vil sige $c$ og $d$ ikke begge er $0$ eller ækvivalent hermed at $c^2 + d^2 \neq 0$. En meget vigtig egenskab er at hvis $a + b i\neq 0$, så findes $c + d i$ så $(a+ b i) (c + d i) = 1$. Vi ved godt denne regel er korrekt for de reelle tal det vil sige, hvis $x \neq 0$ så findes et reelt tal $y$ så $x y = 1$. Her kan vi bare sætte $y = 1/x$. På samme måde kan vi sætte $c + d i = 1/(a + b i)$.

Opgave

Opgave

Lidt vanskelig Opgave

2.3 Geometrisk fortolkning og polær form

Den geometriske fortolkning af de komplekse tal blev først introduceret af den danske matematiker Caspar Wessel (1745-1818) i 1797. Det forekommer ret naturligt at opfatte et komplekst tal $z = x + i y$, som punktet $(x, y)$ i et koordinatsystem. Med dette geometriske billede ligger det lige for at indføre følgende definitioner. Læg mærke til at hvis $\theta$ er argumentet for det komplekse tal $z$, så er $$\frac{z}{\left\vert z \right\vert} = e^{i \theta}. \tag{2.2}$$ Det er fordi at $z/\left\vert z \right\vert$ præcis svarer til vektoren $(x, y)$ ganget med dens reciprokke længde. Denne vektor er en enhedsvektor, som danner vinklen $\theta$ med $x$-aksen. Det vil sige den svarer præcis til det komplekse tal $e^{i\theta}$. Ligningen (2.2) giver den smukke geometriske repræsentation $$z = \left\vert z \right\vert e^{i\theta} \tag{2.3}$$ af det komplekse tal $z$. Fremstillingen (2.3) kaldes for den polære form af $z$. Denne repræsentation fortjener at blive kaldt smuk, fordi den afspejler sig mirakuløst i multiplikationen af komplekse tal: Lad $z_1$ og $z_2$ være to komplekse tal med argumenter henholdsvis $\theta_1$ og $\theta_2$. Så er $$z_1 z_2 = \left\vert z_1 \right\vert e^{i\theta_1} \left\vert z_2 \right\vert e^{i \theta_2} = \left\vert z_1 \right\vert \left\vert z_2 \right\vert e^{i\theta_1} e^{i \theta_2} =\left\vert z_1 \right\vert \left\vert z_2 \right\vert e^{i(\theta_1+ \theta_2)}. \tag{2.4}$$ Med ord har vi gjort rede for at Det sidste lighedstegn i (2.4) har vi rent faktisk ikke vist og det er da også et af hovedresultaterne:

Bevis

Læg i øvrigt mærke til verdens smukkeste formel Formlen kombinerer på minimal vis fire af de allervigtigste konstanter i matematikken: $e, i, \pi$ og $1$ og følger af definitionen i (2.1). XKCD har også sin mening om den sag.

2.3.1 De Moivres formel

Abraham de Moivre var en fransk matematiker, som udover at beskæftige sig med sandsynlighedsteori også fik sit navn udødeliggjort gennem De Moivres formel. Denne formel siger i al sin enkelhed at der for et naturligt tal $n$ og et reelt tal $x$ gælder Det er ikke svært at bevise formlen via Sætning 2.7 ovenfor, som medfører at $$(\cos(x) + i \sin(x))^n = (e^{i x})^n = e^{i n x} = \cos(n x) + i \sin( n x).$$ Ikke desto mindre er (2.5) et mirakel, som markerer den stærke forbindelse mellem komplekse tal og trigonometriske funktioner. For eksempel kan man benytte De Moivres formel til at udlede formler som $$\cos(3 x) = 4 \cos(x)^3 - 3 \cos(x). \tag{2.6}$$

Quiz

Opgave

2.4 Andengradsligningen og højeregradsligninger

Lad os rette opmærksomheden mod ligningen $$z^n = 1, \tag{2.7}$$ hvor $n$ er et naturligt tal. Hvis vi kun begrænser os til de reelle tal, har (2.7) højst to løsninger (for eksempel for $n=2$) og nogle gange kun en (for eksempel for $n=3$). I de komplekse tals domæne har vi to dimensioner og kan boltre os både lodret og vandret. En løsning $z$ til (2.7) bliver nødt til at have modulus $1$ det vil sige $z = e^{i\varphi}$ med $\varphi\in [0, 2\pi)$. Da $$z^n = e^{i n \varphi} = \cos(n \varphi) + i \sin (n \varphi) = 1$$ har vi altså $m 2 \pi = n \varphi$ for et helt tal $m\in \mathbb{Z}$. Hvis $\varphi$ er argumentet for $z$ har vi altså kun mulighederne $m = 0, 1, \ldots, n-1$. Dermed kan alle løsninger til (2.7) skrives som passende potenser af $\epsilon_n = e^{i 2 \pi/n}$: $$\epsilon_n^m = e^{m \frac{2\pi i}{n}},$$ hvor $m = 0, 1, \ldots, n-1$. Vi har faktisk bevist at (2.7) altid har $n$ forskellige løsninger over de komplekse tal.

Eksempel

Quiz

Bevis

2.4.1 Den gode gamle andengradsligning

Her støder vi på det verdensberømte trick (completing the square): $$a z^2 + b z + c = a\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4 a} + c.$$ Ved en lettere omskrivning ses at løsninger til andengradsligningen $a z^2 + b z + c = 0$ opfylder $$\left(z + \frac{b}{2 a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4 a c}{4 a^2}.$$ Det giver så den klassiske formel $$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a},$$ som giver rigtig god mening også for komplekse tal $a, b, c$. Vi har nemlig set i Sætning 2.12 at ligningen $$w^2 = b^2 - 4 a c \tag{2.9}$$ altid kan løses det vil sige andengradsligninger over de komplekse tal har altid løsninger! Det gør ikke nogen forskel hvilken af de to modsat rettede løsninger $w$ vi vælger i (2.9) som $\sqrt{b^2 - 4 a c}$. Den klassiske formel gælder stadig på grund af $\pm$.

Opgave

2.4.2 Algebraens fundamentalsætning

Vi så ovenfor at andengradsligninger altid har løsninger i de komplekse tal. Det helt enestående er at dette resultat også gælder for $n$-te grads ligninger det vil sige ligninger af formen $$a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0 = 0,$$ hvor $a_n, \ldots, a_0\in\mathbb{C}$ og $a_n\neq 0$. Vi har blot vist det for $n=2$, men det gælder for alle $n = 1, 2, 3, \ldots$! Denne perle kaldes for algebraens fundamentalsætning. Det er spændende at læse om historien bag denne sætning. Der findes ikke et algebraisk bevis for sætningen a la det vi lavede for $n=2$.

2.5 Om komplekse tal og periodiske fænomener

Cosinus og sinus er rasende interessante funktioner. De er matematikkens fremmeste våben i beskrivelsen af periodiske fænomener som for eksempel planetbaner og bølgebevægelser. De bliver endnu mere anvendelige, når man betragter dem ved hjælp af den komplekse eksponentialfunktion $e^{i x}$. En periodisk funktion $f(t)$ er en funktion, som gentager sig selv efter et bestemt tidsrum $T$ det vil sige $f(t) = f(t + T)$. For eksempel er både sinus og cosinus periodiske funktioner med periode $T = 2\pi$. Uden at afsløre den fulde sandhed

Spoiler

kan jeg her skrive at man normalt kigger på cosinus og sinus funktioner på formen $$A \cos(N x)\qquad \mathrm{og} \qquad A \sin(N x), \tag{2.10}$$ hvor $A$ er et tal, som angiver højden (amplituden) af bølgerne og $N$ er et tal, som beskriver antal bølger per tidsenhed (frekvensen). Cosinus og sinusfunktionerne i (2.10) samles under et i funktionerne $A e^{i N x}$. Disse funktioner er byggeklodser for naturligt forekommende periodiske fænomener. For eksempel er den periodiske funktion $\cos(x)^3$: sum af de to periodiske funktioner $\frac{1}{4} \cos(3 x)$ og $\frac{3}{4} \cos(x)$: Dette kan aflæses af formlen i (2.6), som vi netop fik ved hjælp af $$(e^{i x})^3 = e^{i (3 x)}.$$ For at få et indtryk af de komplekse tals nytte i signalbehandling opfordres du til at kigge nærmere på opgaverne 2.6.6 og 2.6.7.

2.6 Opgaver

2.6.1

Quizopgave

2.6.2

Gør rede for at $e^{i x} e^{-i x} = 1$, hvis $x\in \mathbb{R}$. Hvad er den polære form for $z^{-1} = 1/z$, hvis $z$ har polær form $$z = r e^{i \theta}?$$ Hvad med den polære form for det konjugerede komplekse tal $\overline{z}$?

2.6.3

Quizopgave

2.6.4

Løs andengradsligningen $$z^2 -(3+2i)z + (1 + 3i) = 0.$$

2.6.5

Opskriv samtlige komplekse tal $z$, som løser ligningen $$z^6 = 64.$$ Hvilke af disse løsninger er reelle tal?

2.6.6

Find reelle tal $A$ og $f$ så at $$\cos(t) + \sin(t) = A \cos(t + f)$$ for alle $t$ ($A$ kaldes amplituden og $f$ faseforskydningen af "signalet" på venstresiden).

Vink

2.6.7

Generaliser den foregående opgave til at finde $C$ og $f$ ud fra $\omega, A$ og $B$ så $$A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) = C \cos(\omega t + f).$$

2.6.8

Antag at $z= x + i y\in \mathbb{C}$. Gør rede for at $z = \bar{z}$ hvis og kun hvis $z\in \mathbb{R}$.