1 Om tal og vektorer i planen

I dette kapitel vil vi introducere tal helt fra de naturlige tal $0, 1, 2, \ldots$, komme ind på negative tal og brøker for til sidst at berøre de reelle tal og vektorer i planen. Alt dette for at lede frem til de komplekse tal i næste kapitel. De komplekse tal er fantastiske, men for at komme i dybden med dem kræves at man er fortrolig med lidt trigonometri og vektorer i planen. Noget af det første man lærer som et lille barn er at tælle: $$1, 2, 3, 4, \ldots$$ Det at tælle er fundamentalt for mennesket og arkæologiske kilder nævner at mennesket har gjort det i mindst 50.000 år. Man må formode at tællesymbolerne dengang har været primitive uden avancerede symboler som $0, \ldots, 9$. Måske har man symboliseret $1, 2, 3, 4, 5$ som nedenfor Tallenes historie er fascinerende.

1.1 Det mirakuløse tal nul

Notationen med pinde er ikke specielt økonomisk. Vores titalssystem er i dag så indgroet i vores kultur at vi synes det er spild af blæk at skrive tallet $20$ som Man må ikke glemme at notationen $20$ indeholder visdom gemt i årtusinders ophobet menneskelig erfaring. Ved at indføre tallet $0$ kan man tælle i grupper af $1, 10, 100, \ldots$. Således dækker notationen $20$ over at man tæller $0$ grupper af $1$ og $2$ grupper af $10$. I det hele taget er symbolet $0$ et mirakel, som har bragt menneskeheden betydeligt videre efter det blev indført at den indiske matematiker Brahmagupta i 628. At have et specielt symbol for ingenting er en smuk abstraktion. Omkring computerens opfindelse kom der mere fokus på at man nødvendigvis ikke behøver at tælle med hensyn til grupper af størrelser $1, 10, 100, \ldots$. Man kan også tælle binært det vil sige med hensyn til grupper af størrelser $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$. I det binære talsystem kan de $20$ pinde skrives $$10100.$$ Måske er dette mere elegant - enten er en gruppe der ($1$) eller også er den der ikke ($0$). Læg mærke til at tallet $0$ er central lige meget hvilket talsystem man vælger.

Quiz

1.2 De naturlige tal

Rent matematisk har de naturlige tal egentlig ikke noget at gøre med i hvilket talsystem de bliver skrevet op. I den abstrakte matematiske verden giver det god mening at bruge pinde til at repræsentere naturlige tal. Faktisk er det sådan man indfører de naturlige tal med den aksiomatiske metode under navnet Peanos aksiomer. For nemheds skyld vil vi definere de naturlige tal til at starte med $0$ og være $$0, 1, 2, \ldots,$$ hvor vi allerede ved hvordan man adderer og multiplicerer naturlige tal. Mængden af naturlige tal betegnes med $\mathbb{N}$. Årsagen til denne notation skyldes at man i århundreder har brugt tavle og kridt som kommunikationsmiddel. På en tavle er det svært at skrive et boldface N. Det er nemmere at dekorere et N til et blackboard bold N som ovenfor.

1.3 De hele tal

Vi ved godt at der findes negative tal, men hvordan vil vi egentlig forklare dem? Skru tiden nogle hundrede år tilbage og forestil dig hvor svært det har været at komme fra at man har $0$ kroner i sin pung og skylder $5$ kroner væk til at abstrahere og sige at man har $-5$ kroner i sin pung. Måske er det også svært at forestille sig i dag. I matematikkens verden drejer det sig om at kunne løse ligninger. Indenfor de naturlige tal kan man ikke løse de enkleste ligninger, hvor man kun har lov at benytte naturlige tal, $x$ og $+$ indenfor de naturlige tal. For eksempel har ligningen $$x + 5 = 3 \tag{1.1}$$ ikke løsninger i de naturlige tal. Mere formelt skriver vi at der ikke findes noget $x\in \mathbb{N}$, som opfylder at $x + 5 = 3$. For at kunne løse denne ligning bliver nødt til at udvide de naturlige tal til de hele tal $$\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$$ som betegnes $\mathbb{Z}$ (for Zahlen på tysk). I mængden af heltal har ligningen (1.1) løsningen $x=-2$.

1.4 De rationale tal

Der er stadig ret enkle ligninger som for eksempel $$2 x = 1, \tag{1.2}$$ som vi ikke kan løse med et heltal $x\in \mathbb{Z}$. Det er grunden til at vi indfører mængden af brøker eller rationale tal, som betegnes $\mathbb{Q}$. Brøker er som bekendt tal af formen $p/q$, hvor $p\in \mathbb{Z}$ og $q\in\mathbb{N}$ med betingelsen at $q\neq 0$. Ligningen (1.2) kan løses med brøken $x = \frac{1}{2}$.

Quiz

1.4.1 Eksempel

Det er ikke svært at lægge heltal sammen eller gange to brøker sammen, men forestil dig nu at du har glemt hvordan man lægger brøker sammen. Kunne du benytte hjernekraft til at finde ud af det, blot ud fra indfaldsvinklen med at man skal kunne løse ligninger? Lad os tage eksemplet $$s = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}. \tag{1.3}$$ Vi er godt klar over at $s$ bestemt ikke er lig med $$\frac{1 + 1}{2+ 3} = \frac{2}{5}$$ i og med at $s$ må være større end $\frac{1}{2}$. Men hvordan finder vi $s$ som brøk? Her hjælper ligninger os. Vi ved at $x = \frac{1}{2}$ og $y = \frac{1}{3}$ er løsninger til ligningerne $$\begin{aligned} 2 x & = 1\\ 3 y & = 1. \end{aligned}$$ Hvis vi nu ganger første ligning med $3$ og anden ligning med $2$ får vi ligningerne $$\begin{aligned} 6 x & = 3\\ 6 y & = 2. \end{aligned}$$ Disse to ligninger kan vi nu lægge sammen og få ligningen $$6 x + 6 y = 6 (x + y) = 5.$$ Derfor er $$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = x + y = \frac{5}{6}.$$ Et alternativ til ligningerne kunne være at gange ligningen (1.3) igennem med $6 = 2\cdot 3$ og få $$6 s = 6 \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = \frac{6}{2} + \frac{6}{3} = 3 + 2 = 5\quad \mathrm{det vil sige}\quad s = \frac{5}{6}.$$ Indrømmet, matematisk har vi snydt en smule her. Faktisk har vi også brug for at sige hvornår to brøker er ens, som for eksempel $$\frac{5}{6} = \frac{10}{12},$$ men det er en anden historie.

Opgave

Opgave

1.5 De reelle tal

Vi begyndte med de naturlige tal $\mathbb{N}$ og kunne ikke løse enkle ligninger. Så udbyggede vi til de hele tal $\mathbb{Z}$, men kunne her stadig ikke løse helt simple ligninger som $2 x = 1$. Det gjorde at vi ``opfandt'' brøker eller de rationale tal $\mathbb{Q}$. Her har vi at gøre med tal, hvor man kan addere, subtrahere, multiplicere og dividere (med alle tal undtagen $0$). Med symboler har vi lavet kæden $$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}.$$ Til hverdag omgiver vi os praktisk taget kun med rationale tal. Computere kan strengt taget kun håndtere rationale tal. Men rationale tal kan sagtens være overordentligt komplicerede med store tællere og nævnere som for eksempel $$\frac{237894619875623478956127341734059237458923745237528903475203857} {534058927340589273450923475029345723049587234095723408957121232}$$ Findes der andre tal end de rationale? Her støder vi på et af de mest overraskende elementer i matematikkens historie. Svaret er ja og skal findes i Pythagoras' læresætning om længden af hypotenusen i en retvinklet trekant. Som du helt givet husker, siger Pythagoras for en retvinklet trekant med hypotenuselængde $c$ og med katetelængder $a$ og $b$ at $$a^2 + b^2 = c^2.$$ Vi kan illustrere det med vektorer i et koordinatsystem: Her siger Pythagoras at længden af vektoren med koordinaterne $(a, b)$ er $\sqrt{a^2 + b^2}$ eller i mere dagligdags sprog: Længden af diagonalen i et rektangel med sidelængder $a$ og $b$ er $\sqrt{a^2 + b^2}$. Den totale overraskelse er at længden af diagonalen i et rektangel, hvor begge sidelængder er $1$ (det vil sige et kvadrat med sidelængde $1$) ikke er et rationalt tal. Tænk lige over det. Noget så naturligt som længden af diagonalen nedenfor er ikke en brøk! Et af de mest berømte matematiske argumenter, flere tusinde år gammelt, er netop et bevis for at længden af diagonalen ovenfor ikke kan skrives som en brøk. Det er ren matematik, når den er allerbedst.

Opgave

Selvom man til daglig egentlig ikke har brug for irrationale tal, er det i matematikken ekstremt vigtigt at kunne håndtere tal som $\sqrt{2}$. I abstrakt matematik kan man vise at der faktisk er langt flere irrationale tal end rationale. Disse udgør tilsammen de reelle tal, som betegnes $\mathbb{R}$. Det er en anelse teknisk at konstruere de reelle tal matematisk, men vi vil alligevel benytte dem, når vi regner med vektorer i planen.

1.6 Vektorer i planen

En vektor $\mathbf v$ i planen er givet ved dens koordinater $\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$, som er ordnede par af reelle tal $x, y\in \mathbb{R}$. Af typografiske hensyn skrives vektoren $v$ også som $(x, y)$. Det er meget naturligt at lægge to vektorer sammen og gange en vektor med et tal på følgende måde: Betragt vektorerne, og bemærk at vektorer er fede! $$\mathbf u = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\quad\mathrm{og}\quad \mathbf v = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$$ samt tallet $\lambda$. Så er summen $\mathbf u + \mathbf v$ lig med $$\begin{pmatrix} a + c \\ b + d \end{pmatrix}$$ og skalarmultiplikationen $\lambda \mathbf u$ lig med $$\begin{pmatrix} \lambda a \\ \lambda b \end{pmatrix}.$$ Vi betegner mængden af vektorer givet ved deres koordinater som $\mathbb{R}^2$. Fra din baggrund i matematik ved du at prikproduktet mellem $\mathbf u$ og $\mathbf v$ er givet ved formlen $$\mathbf u \cdot \mathbf v = a c + b d.$$ Prikproduktet har en masse gode egenskaber, herunder $$\begin{aligned} (\lambda \mathbf u)\cdot \mathbf v &= \lambda (\mathbf u\cdot \mathbf v)\\ \mathbf u \cdot (\mathbf v + \mathbf w) &= \mathbf u\cdot \mathbf v + \mathbf u\cdot \mathbf w, \end{aligned}$$

Quiz

1.7 Cosinus og sinus til en vinkel

Vi repeterer cosinus og sinus af vinkler. Enhedscirklen nedenfor er netop defineret som mængden af enhedsvektorer det vil sige vektorer med længde $1$. Enhedsvektoren $(x, y)$ på tegningen er entydigt givet ud fra dens vinkel $\theta$ med $x$-aksen. Cosinus, $\cos(\theta)$, til vinklen $\theta$ er defineret som $x$-koordinaten og sinus, $\sin(\theta)$, som $y$-koordinaten til enhedsvektoren. Denne definition giver omgående den velkendte formel $$\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1.$$ Ud fra tegningen ovenfor kan man også aflæse følgende ligninger:

Quiz

For den retvinklede trekant kan man også via definitionen af cosinus og sinus ud fra enhedscirklen finde frem til formlerne Disse formler er meget nyttige, når man skal regne på vektorer i planen.

Opgave

1.8 Projektionen af en vektor på en anden vektor

Givet to vektorer $\mathbf u$ og $\mathbf v$ som nedenfor, hvor meget ($\lambda$) skal vi forkorte eller forlænge $\mathbf v$ med for at afstanden mellem $\lambda \mathbf v$ og $\mathbf u$ bliver mindst mulig? Der er her tale et minimeringsproblem. Vi kender vektorerne $\mathbf u$ og $\mathbf v$ og skal finde tallet $\lambda$ så længden $$\left\vert \mathbf u - \lambda \mathbf v \right\vert$$ af vektoren $\mathbf u - \lambda \mathbf v$ bliver minimal. Det er præcis det samme som at finde $\lambda$, som minimerer funktionen $$\begin{aligned} f(\lambda) &= |\mathbf u - \lambda \mathbf v|^2 = (\mathbf u - \lambda \mathbf v)\cdot (\mathbf u - \lambda \mathbf v) = \mathbf u\cdot \mathbf u -2 \lambda \mathbf u\cdot \mathbf v + \lambda^2 \mathbf v\cdot \mathbf v\\ &=\left\vert \mathbf v \right\vert^2 \lambda^2 - 2 (\mathbf u\cdot \mathbf v) \lambda + \left\vert \mathbf u \right\vert^2. \end{aligned}$$ Faktisk er $f(\lambda)$ en parabel (i $\lambda$), som vender benene opad og med bundpunkt for $$\lambda = -\frac{-2 (\mathbf u\cdot \mathbf v)}{2 \left\vert \mathbf v \right\vert^2} = \frac{\mathbf u\cdot \mathbf v}{\left\vert \mathbf v \right\vert^2}.$$ Med denne værdi for $\lambda$ gælder $$(\mathbf u - \lambda \mathbf v) \cdot \mathbf v = 0$$ det vil sige vektorerne $\mathbf u-\lambda \mathbf v$ og $\mathbf v$ er vinkelrette. Måske ikke så overraskende ud fra tegningen ovenfor. Vektoren $\lambda \mathbf v$ kaldes for projektionen af $\mathbf u$ på $\mathbf v$.

Quiz

Ud fra formlerne for retvinklede trekanter får vi $$\left\vert \mathbf u \right\vert \cos(\theta) = \left\vert \mathbf v \right\vert \lambda$$ og dermed den smukke formel for cosinus til vinklen $\theta$ mellem vektorerne $\mathbf u$ og $\mathbf v$:

1.9 Cosinus og sinus for summen af to vinkler

Man kan ret nemt overbevise sig om at $\cos(A + B)$ ikke er lig med $$\cos(A) + \cos(B)$$ for to vinkler $A$ og $B$. For eksempel er $1 = \cos(0) = \cos(0 + 0)$ ikke lig med $\cos(0) + \cos(0) = 2$. Men findes der en formel, som udtrykker $\cos(A + B)$ ved hjælp af cosinus og sinus til $A$ og $B$? Ud fra tegningen ovenfor kan vi udlede en formel for cosinus til differencen mellem de to vinkler $A$ og $B$. Da de to vektorer er enhedsvektorer er deres prikprodukt ud fra den smukke formel (1.6) netop lig med cosinus til forskellen mellem deres vinkler dvs. Ved at lave et mindre hack og udskifte $B$ med $-B$ i formlen (1.7) får vi $$\cos(A + B) = \cos(A - (- B)) = \cos(A)\cos(-B) + \sin(A)\sin(-B)$$ Ved nu at benytte $\cos(-B) = \cos(B)$ og $\sin(-B) = - \sin(B)$ (se de grundlæggende trigonometriske formler) kommer vi frem til formlen Hvad med additionsformler for sinus? Her benyttes igen de trigonometriske formler til at slutte $$-\sin(x) = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\quad\mathrm{samt}\quad \cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$$ det vil sige $$\sin(A + B) = -\cos\left(A + B +\frac{\pi}{2}\right) = -\left(\cos(A) \cos\left(B+\frac{\pi}{2}\right) - \sin(A) \sin\left(B+\frac{\pi}{2}\right)\right).$$ og dermed Nu overlades det som en opgave til læseren at overbevise sig om at den sidste formel gælder.

1.10 Matricer

Nu kommer vi til et af de centrale begreber i dette kursus: Matricer. Vi begynder helt stille med $2\times 2$ matricer. Sådan en fyr er et skema der ser ud på denne måde: $$A= \begin{pmatrix} 2 & -1\\ 2 & 5 \end{pmatrix}.$$ Vi kan multiplicere en vektor med en matrix ifølge denne opskrift: $$\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a - b\\ 2a + 5b \end{pmatrix}$$ Der er nu en meget speciel vektor, nemlig $\mathbf u= \begin{pmatrix} 1\\ -2 \end{pmatrix}$. Hvorfor er den så speciel? Jo, det er den fordi den næsten ikke bliver forandret af multiplicationen. $$A\mathbf u = \begin{pmatrix} 2 & -1\\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ -8 \end{pmatrix} = 4\begin{pmatrix} 1\\ -2 \end{pmatrix} =4\mathbf u.$$ Den forandrer altså ikke sin retning, men kun sin størrelse. En sådan vektor kaldes egenvektor for $A$, og den faktor man skal multiplicere på egenvektoren kaldes dens egenværdi. I dette eksempel har altså $A$ egenvktoren $\begin{pmatrix} 1\\ -2 \end{pmatrix}$ med tilhørende egenværdi 4. Det vil vise sig at det er meget nyttigt at kunne bestemme egenvektorer og egenværdier. I dette kursus er det vigtige at forstå hvad en egenvektor er, og hvorfor de er så afgørende. Vi vil også give metoder til at finde dem, men i praksis vil dette være en opgave for en maskine.

1.11 Opgaver

1.11.1

Quizopgave

1.11.2

Giv et præcist argument for at $$\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta).$$

1.11.3

Lommeregneren siger at $\sin(\pi/3)$ cirka er $0.866$. Giv et geometrisk argument for at $$\sin(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ ved hjælp af en retvinklet trekant, hvor de to ikke rette vinkler er $\theta = \pi/3$ og $\theta/2 = \pi/6$ (det vil sige henholdsvis $60$ og $30$ grader).