I sidste kapitel fandt vi ud af at
determinanten for en matrix
er forskellig fra nul hvis og kun hvis matricen er invertibel.
I dette kapitel vil vi definere determinanten, for en
generel matrix , som viderefører denne magiske
egenskab: er invertibel hvis og kun hvis . Fremstillingen er inspireret af
Artin's
legendariske algebrabog.
Dette leder til sidst i kapitlet frem til en metode til udregning af egenværdier for en vilkårlig kvadratisk matrix.
5.1 Definition
Vi definerer determinanten for en matrix som
for derefter at definere determinanten for en
matrix
induktivt ud fra formlen
hvor er matricen, som fremkommer ved at
slette -te række og -te søjle.
Definitionen er ''induktiv'', fordi før vi kan beregne determinanten af en matrix
med formlen, så er vi nødt til at kunne beregne determinanten af , det vil sige
determinanten af en matrix. Vi kunne sådan set skrive ned en formel for determinanten
som ikke er induktiv. Ulempen ved dette er at denne formel bliver meget lang og stor.
Hvis en matrix ikke er kvadratisk, altså for eksempel en matrix og den slags,
definerer vi ikke dens determinant
Læg mærke til fortegnsmønsteret
i (5.3). For en matrix ses ud fra
(5.3) at
i fin overensstemmelse med (5.1).
For
matricer, det vil sige i (5.3), udleder vi en formel som ikke er induktiv på følgende måde:
Det virker nu klart hvorfor man ikke har lyst til at gentage denne
spøg for matricer (her er der hele led i formlen for
determinanten. For matricer var der kun ). Formlen for
determinanten vokser eksplosivt. For eksempel, for
at beregne determinanten af en matrix består den tilsvarende formel af 3628800 termer,
og alle dem gider vi lægge sammen. Heldigvis er der langt hurtigere
metoder til at udregne determinanten, men det kræver vi kigger nærmere
på dens egenskaber.
5.2 Egenskaber
Vi udleder her nogle helt fundamentale egenskaber for determinanten,
specielt at den ikke ændrer sig ved addition af et multiplum af en række
til en anden række. I det følgende betegner rækkerne
i matricen .
5.2.1 Determinanten af identitetsmatricen
Ud fra definitionen (5.3), ses for identitetsmatricen at
hvor .
Ud fra sluttes altså generelt at
Determinanten af identitetsmatricen er .
5.2.2 Multiplikation af en række med et tal
Hvis en række multipliceres med et tal ganges determinanten med tallet:
hvor er et tal.
For eksempel er
Denne er påstand er rigtig for . Ved at antage at den er rigtig
for matricer fås ved indsættelse i (5.3), at
hvilket viser påstanden for matricer.
Vi skriver ud eksemplet ovenfor, fordi det skulle være nok til at være helt overbevisende.
Nu bruger vi induktionsantagelsen på termerne nummer 1 og 3, og får at determinaten er det samme som
Dette lille argument er et nyt simpelt eksempel på et induktionbevis.
Når en række i en matrix ganges med et tal ændres determinanten ved at gange med tallet.
Benyt den viden du allerede har nu til at afgøre hvilke af følgende udsagn, der er rigtige.
5.2.3 Additivitet af rækker
Determinanten er additiv i rækkerne i den forstand at
hvor er en rækkevektor.
For eksempel er
Denne er påstand er rigtig for . Ved at antage at den er rigtig
for matricer fås ved indsættelse i (5.3), at determinanten af den første matrix er
hvor er matricen med -te række udskiftet med rækken
.
For at producere det sidste lighedstegn i denne udregning har vi brugt at
og for .
Dette viser påstanden for matricer.
Altså, et induktionbevis igen.
5.2.4 To ens naborækker
Hvis en matrix består af rækkerne og for
et så er .
Påstanden er korrekt for matricer.
Ved at antage at den er rigtig
for matricer med fås ved indsættelse i (5.3), at
da og . Dermed er påstanden også korrekt
for matricer.
5.2.5 Naborækkeoperation
Resultatet i afsnit 5.2.4 medfører at
hvor er et tal.
5.2.6 Fortegnsskift ved ombytning af naborækker
Resultaterne i afsnit 5.2.2, 5.2.3 og 5.2.5
medfører at determinanten skifter fortegn, når man ombytter to
naborækker:
Determinanten til en matrix med to ens rækker er .
Hvis en matrix har to ens rækker kan vi nemlig efter ombytning mellem
naborækker opnå at disse to ens rækker er naborækker. Så følger resultatet
af afsnit 5.2.4.
5.2.8 Rækkeoperation
På samme måde som i afsnit 5.2.5 medfører
afsnit 5.2.7 nu at determinanten ikke ændres ved addition
af et multiplum af en række til en anden række helt generelt:
hvor er et tal.
Determinanten ændres ikke når et multiplum af en række adderes til en anden række.
5.2.9 Ombytning af to rækker
På præcis samme måde som i afsnit 5.2.6 kan vi nu vise at
Determinanten skifter fortegn når to rækker ombyttes.
5.3 Udregning af determinanten
Vi har nu udledt nok egenskaber ved determinanten til at angive en
meget effektiv måde at regne den ud på. Vi følger ganske enkelt
rækkeoperationerne på vej til dens RREF. De eneste rækkeoperationer,
som ændrer determinanten er ombytning af rækker samt
multiplikation af en række med et tal.
Lad os se denne procedure i et par eksempler:
idet en matrix med en nulrække har determinant (Se Opgave 5.7.2).
I videoen nedenfor prøver vi kræfter med et lidt større eksempel og giver også en lille ekstra udfordring.
En sætning siger at
matricen er invertibel hvis og kun hvis den via rækkeoperationer
kan omformes til identitetsmatricen. Under hver af rækkeoperationerne
ændres determinanten ved multiplikation af et tal . Da
determinanten af identitetsmatricen er følger resultatet.
5.4 Determinanten af elementære matricer
I sidste kapitel introducerede vi tre typer elementære matricer og
:
betegner den
elementære matrix, som fremkommer via identitetsmatricen af orden ved at
gange -te række med og addere til -te række. Denne
matrix er lig identitetsmatricen med undtagelse af indgangen der står i -te
række og -te søjle.
betegner matricen, som fremkommer ved at bytte rundt
på -te række og -te række i identitetsmatricen af orden .
betegne matricen, som fremkommer ved at gange
-te række i identitetsmatricen af orden med .
Alle invertible matricer kan skrives som et produkt af disse. Ud fra
determinantens egenskaber ovenfor ser vi at
.
.
Specielt ses at
hvor er en vilkårlig matrix og en elementær matrix. Dette leder
frem til følgende.
Generelt findes en matrix , som er et produkt af elementære
matricer så at er på RREF. Hvis ikke er invertibel
indeholder både og en nulrække og dermed er
og . Det vil sige formlen gælder i dette
tilfælde. Hvis er invertibel kan skrives som et produkt af
elementære matricer. Dermed er
ved gentagen anvendelse af (5.4).
En anvendelse af Sætning 5.5 med giver følgende resultat.
I en nem opgave har vi set at er invertibel hvis og kun hvis er invertibel. Formlen
gælder derfor hvis ikke er invertibel, da vi dermed har
og . Hvis er invertibel kan
skrives som et produkt af elementære matricer. En elementær matrix
opfylder at
Derfor har vi ved gentagen anvendelse af Sætning 5.5 i
dette tilfælde.
Søjleoperationer kan identificeres med
rækkeoperationer på den transponerede matrix.
Læg mærke til at Sætning 5.6 viser at determinanten
ændres på præcis samme måde ved søjleoperationer som ved
rækkeoperationer. For eksempel har vi
determinanten er uændret ved addition af multiplum af en søjle til en anden søjle:
determinanten skifter fortegn ved ombytning af to søjler:
hvis en søjle ganges med et tal ganges determinanten med tallet:
5.5 Polynomier af grad gennem punkter
Under brug af determinanter kan vi nu give et bevis for at der gennem punkter
altid findes et og kun et polynomium
af grad , som går gennem punkterne forudsat
at -værdierne er forskellige det vil sige for .
At polynomiet (5.6) går gennem punkterne i (5.5) betyder at
for . Denne betingelse kan
oversættes til ligningssystemet
med ligninger i de ubekendte . Ligningssystemet
(5.7) skrives op på matrixform som
Matricen
kaldes Vandermonde matricen (efter Alexandre-Théophile Vandermonde) med hensyn til . Man kan vise generelt at determinanten af
Vandermonde matricen i (5.8) er
Specielt er determinanten af Vandermonde matricen hvis og kun
hvis -erne er forskellige det vil sige for .
Ideen til beviset for formlen (5.9) kommer fra tilfældet . Alt hvad man benytter er
reglerne 5.2.8 og 5.2.2 samt Sætning 5.6:
Det generelle bevis for følger successivt det
centrale trin i ovenstående tilfælde gennem søjleoperationer ud
fra første række. Se opgave 5.7.9.
I tilfældet med forskellige -værdier er determinanten af
Vandermonde matricen . Dermed er den invertibel ifølge Sætning
5.4 og ligningsystemet (5.7) har en og kun en
løsning. Derfor er der præcis et polynomium, som går gennem
punkterne.
Man kan selvfølgelig bare gå i krig og regne på løsninger
til (5.7), men matematikkens styrke er beviset for den helt
generelle sætning. Matematikken viser at der er noget unikt at lede
efter og regne på.
5.6 Udregning af egenværdierne for en matrix
Lad være en matrix. Tallet er en egenværdi for hvis og kun hvis
At er en egenværdi for betyder per definition at der findes en vektor så
. Dette er det samme som at
for . Dette er ensbetydende med at ikke er invertibel eller
via Sætning 5.4.
Lad være en matrix. Så er
et polynomium af grad i . Dette polynomium kaldes for
det karakteristiske polynomium for .
Sætning 5.7 kan benyttes til konkret at udregne egenværdierne
for en kvadratisk matrix ved at finde rødderne i det karakteristiske polynomium for . Lad os tage tråden op fra afsnittet, hvor vi kiggede konkret på egenværdier for matricer. Tag som eksempel
Det karakteristiske polynomium for er
Dette er et andengradspolynomium i med diskriminant og
rødderne og dermed egenværdierne og .
For matricer bliver det karakteristiske polynomium et
tredjegradspolynomium.
Metoden
til at finde rødder for tredjegradspolynomier er ikke lige til at
huske på. Oftest kender man en rod på forhånd og kan regne sig frem
til de to andre.
Kommentarer/spørgsmål?
For et polynomium af grad kan man bevise at der faktisk ikke findes
en løsningsformel! I praksis er man tilfreds med approksimationer
til egenværdierne.
Dog har vi følgende vigtige resultat.
En kvadratisk matrix
har altid en kompleks egenværdi.
Udregn determinanterne af
ved at reducere matricerne til RREF. Skitser dine trin i udregningerne. Summen af de sidste to svar skulle gerne give .
5.7.2
Hvorfor medfører afsnit 5.2.2 at determinanten til en matrix med en nulrække er ?
5.7.3
Hvad er determinanten af
Kan du generalisere til matricer?
5.7.4
Lad betegne matricen med . Feks er
Gør rede for at for .
5.7.5
Vi ved at ikke nødvendigvis er lig med for to matricer og . Men hvorfor er
5.7.6
Udregn egenværdierne for matricen
Summen af dem skulle gerne give . Kan du forresten gennemskue i denne her sammenhæng hvordan tallet er relateret til matricen ?
5.7.7
Lad være en matrix.
Gør rede for at og har det samme karakteristiske polynomium.