3 Lineære ligninger

Lineære ligninger optræder i et utal af anvendelser af matematikken og udgør det idémæssigt fundament for lineær algebra. Inden vi berører de mere abstrakte dele af den lineære algebra ser vi nærmere på lineære ligninger og deres anvendelser. Lineære ligninger er ligninger, hvor de ubekendte optræder i første potens. For eksempel er $2 x - 3 = 1$ en lineær ligning i den ubekendte $x$, mens $x^2 + x + 1 = 0$ ikke er det, da den ubekendte $x$ optræder i anden potens. Lineære ligninger dækker også over flere ligninger med flere ubekendte som f.eks. følgende tre ligninger med de tre ubekendte $x, y$ og $z$. $$\begin{aligned} x + y + z &= 3 \\ x - y + z &= 1 \\ x + y - z &= 1 \end{aligned}\tag{3.1}$$

Quiz

Quiz

Quiz

Opgave

3.1 En ligning med en ubekendt

Der er nogle ganske enkle regler for løsning af lineære ligninger. Lad os, som eksempel, kigge nærmere på ligningen $2 x - 3 = 1$. Processen for at isolere $x$ er helt mekanisk: $$\begin{aligned} 2 x - 3 &= 1\\ &\Updownarrow\\ 2 x - 3 + 3 &= 1 + 3\\ &\Updownarrow\\ 2 x &= 4\\ &\Updownarrow\\ \left(\frac{1}{2}\right) 2 x &= \left(\frac{1}{2}\right) 4\\ &\Updownarrow\\ x &= 2 \end{aligned}$$ De overordnede regler vi har brugt er $$\begin{aligned} &a=b\qquad \Leftrightarrow \qquad a + c = b + c\\ &a=b\qquad \Leftrightarrow \qquad t a = t b, \end{aligned}$$ hvor $a, b, c$ er tal og $t$ et tal $\neq 0$. Disse regler gør at vi altid kan isolere den ubekendte på den ene side af lighedstegnet.

Opgave

Quiz

3.2 Flere ligninger og flere ubekendte

Ligningen $2 x - 3 = 1$ indeholder kun en ubekendt og har kun løsningen $x=2$. Hvis en lineær ligning indeholder mere end en ubekendt har den uendeligt mange løsninger. Tag som eksempel ligningen $2 x - 3 y = 1$. Ved samme omskrivninger som ovenfor gælder $$\begin{aligned} 2 x - 3 y &= 1\\ &\Updownarrow\\ x &= \frac{1}{2} + \frac{3}{2} y \end{aligned}$$ Her kan vi altså vælge $y$ frit på uendeligt mange måder, men når først $y$ er valgt er $x$ lagt fast.

Pedantens taletid

3.2.1 Flere ligninger

Det giver også mening at betragte flere ligninger med flere ubekendte som f.eks. $$\begin{aligned} x + y &= 3\\ 2 x - 3 y &= 1 \end{aligned}$$ To tal $x$ og $y$ er en løsning hvis begge ligningerne er opfyldt. Fra eksemplet ovenfor ved vi at den anden ligning medfører at $$x = \color{blue}{\frac{1}{2} + \frac{3}{2} y}. \tag{3.2}$$ Dette kan indsættes for $x$ i den første ligning og vi får $$3 = x + y = \color{blue}{\frac{1}{2} + \frac{3}{2} y} \color{black} + y = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} y.$$ Dette er en almindelig førstegradsligning kun i variablen $y$. Løsningen er $y=1$, som så indsættes i ligningen (3.2). Her ses så at $x = 2$. Det vil sige de to ligninger har løsningen $x= 2$ og $y=1$.

Quiz

3.3 Gauss elimination

Ved løsning af flere lineære ligninger, er det naturligt at fastholde en af ligningerne, isolere en variabel og så indsætte i de andre ligninger. Lad os studere denne operation via et eksempel med to ligninger med tre ubekendte: $$\begin{aligned} x + 2 y + z &= 8\\ 2 x + y + z &= 7 \end{aligned}$$ I den første ligning isoleres $x = 8 - 2 y - z$, som så indsættes i den anden ligning: $$7 = 2 x + y + z = 2(8 - 2 y - z) + y + z = - 3 y - z + 16 \Rightarrow -3 y - z = -9.$$ I ligningssystemet giver det også god mening at gange første ligning med $2$ og trække fra anden ligning. Denne operation giver ligningen $$-3 y - z = -9.$$ At de to operationer giver samme ligning er ikke noget tilfælde. Det er indholdet af følgende resultat.

Bevis

Operationen med at gange en ligning med et tal og addere til en anden ligning er umiddelbart nemmere at håndtere end substitutionsmetoden og vi har ovenfor vist at de er ens. Nedenfor er et gennemregnet eksempel.

Eksempel

Eliminations- eller substitutionsmetoden til løsning af lineære ligningerne er en gammel kending. Sir Isaac Newton beskrev i 1720 metoden som følger.

And you are to know, that by each Æquation one unknown Quantity may be taken away, and consequently, when there are as many Æquations and unknown Quantities, all at length may be reduc'd into one, in which there shall be only one Quantity unknown.

Den matematiske superstjerne Carl Friedrich Gauss benyttede metoden til at bestemme banen for asteroiden Pallas. Den matematiske behandling af observationerne ledte ham til mindste kvadraters metode og et ligningssystem med seks lineære ligninger og seks ubekendte. Selvom han langt fra var den første til at løse lineære ligninger ved proceduren ovenfor, er metoden blevet opkaldt efter ham. I nutiden kendes den ved navnet Gauss elimination.

3.4 Anvendelser

Vi har allerede ovenfor set et par quizeksempler på anvendelser af lineære ligninger. Her giver vi nogle flere.

3.4.1 Linjer, parabler og polynomier af højere grad

En linje i planen er karakteriseret ved dens ligning $y = a x + b$, hvor $a$ er hældningskoefficienten og $b$ skæringen med $y$-aksen. Gennem to punkter $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$ med $x_1\neq x_2$ går præcis en linje: Linjen kan findes ved at løse to ligninger med to ubekendte: $$\begin{aligned} x_1 a + b &= y_1\\ x_2 a + b &= y_2 \end{aligned}$$ Her er de ubekendte $a$ og $b$. Lige i dette tilfælde kan vi benytte Gauss elimination og trække sidste ligning fra første og få $(x_1 - x_2) a = y_1 - y_2$ det vil sige $$a = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}.$$ Ved indsættelse af $a$ i første ligning fås $$b = \frac{x_1 y_2 -x_2 y_1}{x_1 - x_2}.$$ Vi kan helt eksplicit konstruere linjen gennem de to punkter som $$y = f(x) = y_1 \frac{x - x_2}{x_1 - x_2} + y_2 \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}. \tag{3.6}$$ Funktionen $f(x)$ i (3.6) er et polynomium af grad en med $f(x_1) = y_1$ og $f(x_2) = y_2$. Næsten analogt hermed går der en entydig parabel $$y = a x^2 + b x + c$$ gennem tre punkter $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ og $(x_3, y_3)$ med forskellige $x$-værdier: Her giver punkterne følgende tre ligninger $$\begin{aligned} x_1^2 a + x_1 b + c &= y_1\\ x_2^2 a + x_2 b + c &= y_2 \\ x_3^2 a + x_3 b + c &= y_3 \end{aligned}\tag{3.7}$$ i de ubekendte $a, b$ og $c$, men det er ikke helt oplagt at ligningerne har en løsning. Vi kan helt eksplicit konstruere parablen gennem de tre punkter som $$y = f(x) = y_1 \frac{(x - x_2)(x-x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1-x_3)} + y_2 \frac{(x - x_1)(x - x_3)}{(x_2 - x_1)(x_2-x_3)} + y_3 \frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_3 - x_1)(x_3-x_2)} \tag{3.8}$$ Læg igen mærke til dette fantastiske trick kopieret fra linjen ovenfor: funktionen $f(x)$ i (3.8) er et polynomium af grad to med $f(x_1) = y_1, f(x_2) = y_2$ og $f(x_3) = y_3$. Samtidig giver dette et bevis for at ligningerne i (3.7) faktisk kan løses! Den ultimative generalisering er at til $n+1$ punkter $(x_1, y_1), \cdots, (x_{n+1}, y_{n+1})$ med forskellige $x$-værdier går grafen for præcis en funktion af formen (et polynomium af grad højst $n$) $$y = f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$$ gennem punkterne. Tricket ovenfor i (3.8), som forøvrigt kaldes Lagrange interpolation, virker også i det generelle tilfælde. Nedenfor er et eksempel på $5$ punkter, som definerer et fjerdegradspolynomium:

3.4.2 Kemisk ligevægt

I kemiske reaktioner er et grundliggende princip massebevarelse. I nedenstående proces reagerer methan med oxygen og der opstår kuldioxid og vand som følge, men der er ubalance mellem masserne på hver side af pilen. $$\mathrm{CH}_4 + \mathrm{O}_2\quad \longrightarrow\quad \mathrm{CO}_2 + \mathrm{H}_2\mathrm{O}$$ På venstresiden er der f.eks. fire hydrogenatomer, mens der på højresiden kun er to. Vi kan afstemme reaktionen ved at indføre fire variable $x, y, z, w$, som hver for sig angiver mængden af de involverede molekyler: $$x \mathrm{CH}_4 + y \mathrm{O}_2\quad \longrightarrow\quad z \mathrm{CO}_2 + w \mathrm{H}_2\mathrm{O} \tag{3.9}$$ Ved at benytte at antallet af de enkelte atomer skal være bevaret får vi følgende lineære ligninger $$\begin{matrix} x & & &- &z & & &=&0\\ 4x & & & & &- &2w &= &0\\ &&2 y &- &2 z &- &w &= &0 \end{matrix}$$ Igen er Gauss elimination nyttig. Vi ganger sidste ligning med $2$ og trækker fra den næstsidste ligning for at eliminere $w$: $$\begin{matrix} x & & &- &z & & &=&0\\ 4x &- &4y &+ &4 z & &&= &0\\ &&2 y &- &2 z &- &w &= &0 \end{matrix}$$ Dernæst ganger vi første ligning med $4$ og lægger til anden ligning: $$\begin{matrix} x & & &- &z & & &=&0\\ 8x &- &4y &+ & & &&= &0\\ &&2 y &- &2 z &- &w &= &0 \end{matrix}$$ Nu ses at løsningerne til ligningen kun afhænger af den frie variabel $z$: $$\begin{matrix} &x&= &z\\ &y &= &2 z\\ &w &= &2 z \end{matrix}$$ Det vil sige der er uendeligt mange måder at balancere reaktionsskemaet (3.9) på afhængig af valget af $z$. For $z=1$ balancerer reaktionsskemaet som $$\mathrm{CH}_4 + 2 \mathrm{O}_2\quad \longrightarrow\quad \mathrm{CO}_2 + 2 \mathrm{H}_2\mathrm{O}.$$

3.5 En meget vigtig matematisk sætning

For at komme i gang med den lineære algebra, som egentlig blot er en fin ramme for studiet af lineære ligninger, er der specielt et vigtigt resultat som skal vises. Lineære ligningssystemer med lutter nuller på højresiden kaldes homogene. Et eksempel kunne være $$\begin{matrix} &x &+ &y &+ &3 z &= &0\\ &x &- &y &+ &2 z &= &0 \end{matrix}$$ Sådanne ligningssystemer har altid løsningen, hvor alle de ubekendte er $0$. Denne løsning kan være den eneste som i tilfældet $$\begin{matrix} &x &+ &y &= 0\\ &x &- &y &= 0 \end{matrix}.$$ Det vigtige resultat er, at der altid er en løsning til et homogent ligningssystem forskellig fra nulløsningen, hvis antallet af ubekendte er større end antallet af ligninger, som f.eks. tilfældet $x + y = 0$ med kun en ligning og to ubekendte.

Bevis

Bevismetoden i beviset ovenfor kendes under betegnelsen matematisk induktion. Vi vil ofte få brug for denne måde at argumentere på, så prøv på at forstå idéen.

Opgave

Opgave

3.6 Opgaver

3.6.1

Quizopgave

3.6.2

Quizopgave

3.6.3

Find samtlige løsninger til ligningssystemet $$\begin{matrix} & x &+ &3 y &+ &z &= &2\\ &-2 x &- &5 y &+ &3 z &= &4. \end{matrix}$$

3.6.4

Løs ligningssystemet $$\begin{matrix} & x &+ & y &+ & z &= & 2\\ & x &+ & y &- &i z &= &3-i\\ &i x &+ & y &+& z &= &1+i \end{matrix}$$ ved hjælp af Gauss elimination, som forklaret i dette kapitel.

3.6.5

En mand kaster en stålkugle lodret ned fra toppen af en skyskraber på en planet i vores solsystem. Fra nabobygningen måles kuglens højde efter givne tidsrum: Efter 4 sekunder har kuglen en højde på 426 meter, efter 6 sekunder har kuglen en højde på 369 meter og efter 9 sekunder har kuglen en højde på 256 meter. Hvor stor en hastighed blev stålkuglen kastet med til at begynde med? Hvad er tyngdeaccelerationen på planeten i forhold til målingerne? Hvilken planet befinder manden sig højst sandsynligt på?

Vink

3.6.6

Find $a_0, a_1, a_2, a_3\in \mathbb{R}$ så at $$\begin{aligned} f(-2) &= -1\\ f(-1) &= 1\\ f(1) &= 1\\ f(2) &= 1, \end{aligned}$$ hvor $$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3.$$

3.6.7

Gør rede for at der til $n+1$ punkter $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$ med forskellige $x$-værdier findes entydige tal $a_0, a_1, \ldots, a_n$ så $$f(x_0) = y_0, \quad f(x_1) = y_1, \quad \ldots\quad, f(x_n) = y_n,$$ hvor $$y = f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n.$$ Hvorfor medfører det at ligningssystemet $$\begin{matrix} &a_0 &+ &x_0 a_1 &+ &\cdots &+&x_0^n a_n &= &y_0\\ &a_0 &+ &x_1 a_1 &+ &\cdots &+&x_1^n a_n &= &y_1\\ &&&&&&&&\vdots&\\ &a_0 &+ &x_n a_1 &+ &\cdots &+&x_n^n a_n &= &y_n \end{matrix}$$ har en løsning i de ubekendte $a_0, a_1, \ldots, a_n$? Findes der kun en løsning her?

Vink