Lineære ligninger optræder i et utal af anvendelser af matematikken og
udgør det idémæssigt fundament for lineær algebra. Inden vi
berører de mere abstrakte dele af den lineære algebra ser vi
nærmere på lineære ligninger og deres anvendelser.
Lineære ligninger er ligninger, hvor de ubekendte optræder i første
potens. For eksempel er en lineær ligning i den
ubekendte , mens ikke er det, da den ubekendte
optræder i anden potens. Lineære ligninger dækker også over
flere ligninger med flere ubekendte som f.eks. følgende tre
ligninger med de tre ubekendte og .
Gæt en løsning til ligningerne i (3.1) det vil sige gæt på tre tal
, som tilfredsstiller alle tre ligninger. Findes der
mere end en løsning? Opskriv et system af tre ligninger med tre ubekendte, som ikke har en løsning.
3.1 En ligning med en ubekendt
Der er nogle ganske enkle regler for
løsning af lineære ligninger.
Lad os, som eksempel, kigge nærmere på ligningen . Processen
for at isolere er helt mekanisk:
De overordnede regler vi har brugt er
hvor er tal og et tal . Disse regler gør at vi altid
kan isolere den ubekendte på den ene side af lighedstegnet.
Fysiologisk saltvand består af salt. Du
har liter vand med en saltkoncentration på . Hvor
mange liter destilleret vand ( procent salt) skal du tilsætte for at få
fysiologisk saltvand?
liter
liter
liter
3.2 Flere ligninger og flere ubekendte
Ligningen indeholder kun en ubekendt og har kun
løsningen . Hvis en lineær ligning indeholder mere end
en ubekendt har den uendeligt mange løsninger. Tag som eksempel
ligningen . Ved samme omskrivninger som ovenfor gælder
Her kan vi altså vælge frit på uendeligt mange måder, men når
først er valgt er lagt fast.
Påstanden ovenfor har faktisk en enkelt undtagelse -- hvis alle ubekendte indgår med
koefficient 0, som for eksempel
så er der måske slet ikke nogen løsning.
3.2.1 Flere ligninger
Det giver også mening at betragte flere ligninger med flere ubekendte
som f.eks.
To tal og er en løsning hvis begge ligningerne er opfyldt.
Fra eksemplet ovenfor ved vi at den anden ligning medfører at
Dette kan indsættes for i den
første ligning og vi får
Dette er en almindelig førstegradsligning kun i variablen . Løsningen
er , som så indsættes i ligningen (3.2). Her ses så at
. Det vil sige de to ligninger har løsningen og .
Kona kaffe fra Hawaii er en udsøgt delikatesse til 200 kr for 400 gram.
En standard pose Arabica bønner kan fås til 60 kroner for 500 gram. En
forhandler vil gerne lave en blandingskaffe af de to bønner til en
pris på 75 kroner for 400 gram. Hvilken af nedenstående procentsatser vil
Konaindholdet i blandingskaffen
ligge tættest på?
3.3 Gauss elimination
Ved løsning af flere lineære ligninger, er det naturligt at
fastholde en af ligningerne, isolere en variabel
og så indsætte i de andre ligninger. Lad os studere
denne operation via et eksempel med to ligninger med tre ubekendte:
I den første ligning isoleres , som så indsættes i den anden
ligning:
I ligningssystemet giver det også god mening at gange første ligning med og trække fra anden ligning. Denne operation giver ligningen
At de to operationer giver samme ligning er ikke noget tilfælde. Det er indholdet af
følgende resultat.
Lad
være to lineære ligninger i de ubekendte med
. Ligningen som fremkommer ved først
at isolere i den første ligning og derefter indsætte
udtrykket for i den anden ligning svarer præcis til ligningen,
som fremkommer ved at gange første ligning med og
addere til anden ligning.
Multiplikation af første ligning med med efterfølgende addition til anden ligning giver ligningen
Isolering af i første ligning med indsættelse i anden ligning giver
ligningen
Vi kan skrive om på venstresiden i (3.4). Ved at udvikle parentesen får vi
Nu flytter vi den første term om på højresiden, og samler termer med . Resultatet er
at vi får (3.3) tilbage.
På tilsvarende måde kan vi skrive om (3.3) til (3.4). De to ligninger er altså helt ækvivalente.
Operationen med at gange en ligning med et tal og addere til en anden ligning er
umiddelbart nemmere at håndtere end substitutionsmetoden og vi har ovenfor vist at
de er ens. Nedenfor er et gennemregnet eksempel.
Vi ønsker at løse
ligningssystemet
Første trin nedenfor består i at
trække den tredje ligning fra den anden:
Derefter trækkes gange tredje ligning fra den første:
Til sidste lægges anden ligning til første ligning:
Vi har nu reduceret det oprindelige ligningssystem (3.5) til
ligningssystemet
hvor vi ud fra første ligning hurtigt ser at . Men så kan sættes ind
i anden ligning, som så bliver med løsning . Til sidst sættes
og ind i den tredje ligning og man får ligningen
eller .
Eliminations- eller substitutionsmetoden til løsning af lineære ligningerne er en gammel kending.
Sir Isaac Newton beskrev i 1720 metoden som følger.
And you are to know, that by each Æquation one unknown Quantity may
be taken away, and consequently, when there are as many Æquations
and unknown Quantities, all at length may be reduc'd into one, in
which there shall be only one Quantity unknown.
Den matematiske superstjerne Carl Friedrich
Gauss benyttede
metoden til at bestemme banen for asteroiden
Pallas. Den matematiske
behandling af observationerne ledte ham til mindste kvadraters metode og
et ligningssystem med seks lineære ligninger og seks ubekendte.
Selvom han langt fra var den første til at løse lineære ligninger ved
proceduren ovenfor, er metoden blevet opkaldt efter ham. I nutiden
kendes den ved navnet Gauss elimination.
3.4 Anvendelser
Vi har allerede ovenfor set et par quizeksempler på anvendelser af
lineære ligninger. Her giver vi nogle flere.
3.4.1 Linjer, parabler og polynomier af højere grad
En linje i planen er karakteriseret ved dens ligning , hvor er
hældningskoefficienten og skæringen med -aksen. Gennem to
punkter og med går præcis en linje:
Linjen
kan findes ved at løse to ligninger med to ubekendte:
Her er de ubekendte og . Lige i dette tilfælde kan vi benytte Gauss elimination og
trække sidste ligning fra første og få det vil sige
Ved indsættelse af i første ligning fås
Vi kan helt eksplicit konstruere linjen gennem de to punkter som
Funktionen i
(3.6) er et polynomium af grad en med
og .
Næsten analogt hermed går der en entydig parabel
gennem tre punkter og med forskellige -værdier:
Her giver punkterne følgende tre ligninger
i de ubekendte og , men det er ikke helt oplagt at ligningerne har en
løsning.
Vi kan helt eksplicit konstruere parablen gennem de tre punkter som
Læg igen mærke til dette fantastiske trick kopieret fra linjen ovenfor: funktionen i
(3.8) er et polynomium af grad to med
og . Samtidig giver dette et bevis
for at ligningerne i (3.7) faktisk kan løses!
Kommentarer/spørgsmål?
Den ultimative generalisering er at til punkter
med forskellige -værdier
går grafen for præcis en funktion af formen (et polynomium af grad højst )
gennem punkterne. Tricket ovenfor i (3.8), som forøvrigt kaldes Lagrange interpolation, virker også i det generelle tilfælde.
Nedenfor er et eksempel på
punkter, som definerer et fjerdegradspolynomium:
3.4.2 Kemisk ligevægt
I kemiske reaktioner er et grundliggende princip massebevarelse. I
nedenstående proces reagerer methan med oxygen og der opstår kuldioxid
og vand som følge, men der er ubalance mellem masserne på hver
side af pilen.
På venstresiden er der f.eks. fire hydrogenatomer, mens
der på højresiden kun er to. Vi kan afstemme reaktionen ved
at indføre fire variable , som hver for sig angiver
mængden af de involverede molekyler:
Ved at benytte at antallet af de enkelte atomer skal være bevaret får vi følgende
lineære ligninger
Igen er Gauss elimination nyttig. Vi ganger sidste ligning med og trækker fra den
næstsidste ligning for at eliminere :
Dernæst ganger vi første ligning med og lægger til anden ligning:
Nu ses at løsningerne til ligningen kun afhænger af den frie variabel :
Det vil sige der er uendeligt mange måder at balancere reaktionsskemaet (3.9) på afhængig af
valget af . For balancerer reaktionsskemaet som
3.5 En meget vigtig matematisk sætning
For at komme i gang med den lineære algebra, som egentlig blot er en fin ramme
for studiet af lineære ligninger, er der specielt et vigtigt resultat som skal vises.
Lineære ligningssystemer med lutter nuller på højresiden kaldes homogene. Et eksempel kunne være
Sådanne ligningssystemer har altid løsningen, hvor alle de ubekendte er . Denne
løsning kan være den eneste som i tilfældet
Kommentarer/spørgsmål?
Det vigtige resultat er, at der altid er en løsning til et homogent
ligningssystem forskellig fra nulløsningen, hvis antallet af ubekendte
er større end antallet af ligninger, som f.eks. tilfældet med
kun en ligning og to ubekendte.
Et homogent lineært ligningssystem har altid en løsning forskellig fra nulløsningen, hvis
antallet af ubekendte er større end antallet af ligninger.
Lad os antage vi kun har en ligning med ubekendte skrevet som
Hvis alle for kan vi helt frit vælge som så vil være en løsning til (3.10). Specielt har (3.10) en løsning forskellig for nulløsningen.
Vi kan derfor
uden tab af generalitet antage at og isolere ud fra følgende formel
Vi vælger nu de variable så mindst en af dem er og fastlægger derefter via (3.11). Herefter har vi en løsning til (3.10) forskellig fra nulløsningen.
Hvad gør vi med et ligningssystem med mere end en ligning?
Lad os antage, at vi har ligninger med ubekendte, hvor og :
Vi viser denne sætning ved brug af matematisk induktion
Induktion er en genial måde at organisere sine tanker på. Ideen er den følgende. Som det plejer at ske for os matematiker, er vi havnet i den situation at vi skal bevise noget. Det vi skal vise afhænger af et tal — i vores tilfælde af antallet af ligninger. I stedet for at prøve på at bevise sætningen for alle ligningssystemer i et slag, så vil vi vise vi den først for systemer med én ligning, derefter for systemer med to ligninger ... og så videre. Vi havde et problem, og nu har vi uendeligt mange problemer. Dette kalder vi matematiker at gøre fremskridt.
Vi begynder helt naivt med at løse problemet for systemer der kun består af en eneste ligning. Dette trin kaldes for ''induktionsstarten''. Det er måske ikke så svært, og da vi har gjort det har vi jo heldigvis kun uendeligt mange andre problemer tilbage at løse. Men nu kommer det smarte. I stedet for at vise det vi gerne vil have for systemer med 2 ligninger, og derefter gå i gang med systemer med 3 ligninger, så viser vi at hvis vi kan løse problemet for systemer med ligninger, så kan vi også løse det for systemer med ligninger. Dette kaldes for ''induktionsskridtet''. Og så er beviset allerede helt færdigt! Fordi nu ruller logikken, og ingen magt i denne verden kan standse den: Det er OK for 1 ligning, altså også for 2 ligninger. Men hvis det er OK for 2 ligninger, så er det også OK for 3 ligninger. Og så videre.
Lad os stiltiende antage at sætningen er sand for homogene ligningssystemer med færre end ligninger (vi har ovenfor bevist sætningen for et homogent ligningssystem med kun en ligning det vil sige for ).
Hvis alle for , så er og en løsning
forskellig fra nulløsningen.
Antag derfor at . Så kan vi ved Gauss elimination ud fra
i første ligning eliminere i ligningerne nedenunder. Dette
giver ligningssystemet
hvor første ligning er uændret, men hvor Gauss elimination har ændret
de ligninger under den første. Vi kigger nu nærmere på det mindre ligningssystem
Dette er et homogent ligningssystem med ligninger og ubekendte.
Da ved vi per vores antagelse at der findes en løsning
forskellig fra nulløsningen til det mindre ligningssystem ovenfor. På samme måde
som for giver denne løsning en løsning
forskellig fra nulløsningen til det større ligningssystem.
Bevismetoden i beviset ovenfor kendes under betegnelsen matematisk induktion. Vi vil ofte få brug for denne måde at argumentere på, så prøv på at forstå idéen.
Lad være summen af de første naturlige tal, altså
Da er givet ved formlen
Induktionsstart: .
Induktionsskridt: Antag at sætningen er rigtig for . Vi regner:
Ifølge induktionsantagelsen kan vi nu fortsætte sådan:
Dermed er sætningen bevist ved induktion.
Hvis en ud af en endelig mængde af matematiker hedder Marcel, så hedder alle matematiker i denne mængde Marcel.
Induktionsstart: Hvis der kun er en matematiker, så er sætningen åbenbart rigtig.
Induktionsskridt:Antag at den er rigtig for mængder der består af matematiker. Betragt nu en mængde af matematiker der opfylder at en af dem, lad os kalde ham , hedder Marcel. Vi skal altså vise at alle matematiker i mængden hedder Marcel. Vi indfører nu to delmængder af . Hvis for eksempel består af , så at , lader vi være mængden bestående af , og mængden bestående af . Hver af disse delmængder indeholder en matematiker der hedder Marcel. Ifølge induktionsantagelsen brugt på , som har elementer, hedder altså alle Marcel. Det samme argument brugt på viser at det gør også. Dermed er sætningen bevist ved induktion.
Løs ligningssystemet
ved hjælp af Gauss elimination, som forklaret i dette kapitel.
Kommentarer/spørgsmål?
3.6.5
En mand kaster en stålkugle lodret ned fra toppen af en
skyskraber på en planet i vores solsystem. Fra nabobygningen måles kuglens højde efter givne tidsrum:
Efter 4 sekunder har kuglen en højde på 426 meter, efter 6
sekunder har kuglen en højde på 369 meter og efter 9 sekunder har kuglen en
højde på 256 meter.
Hvor stor en hastighed blev stålkuglen kastet med til at begynde med? Hvad er
tyngdeaccelerationen på planeten i forhold til målingerne? Hvilken planet
befinder manden sig højst sandsynligt på?
NB: En passende fysisk model er at højden til tiden er givet ud fra formlen
hvor er højden af bygningen, begyndelseshastigheden og tyngdeaccelerationen.
Og det er ikke på Pallas.
Kommentarer/spørgsmål?
3.6.6
Find så at
hvor
Kommentarer/spørgsmål?
3.6.7
Gør rede for at der til punkter med forskellige -værdier findes
entydige tal så
hvor
Hvorfor medfører det at ligningssystemet
har en løsning i de ubekendte ? Findes der kun en løsning her?
Eksistensen af i fremkommer ved at generalisere parabeltilfældet (3.8) ovenfor (prøv først med ).
Et polynomium , siges at have grad , hvis .
Et generelt resultat om polynomier siger at et polynomium af grad højst kan have rødder (en rod er et nulpunkt for ).
Dette resultat kan bruges til at bevise entydigheden af , for eksempel ved at antage eksistensen af et andet polynomium
af grad , som opfylder og så betragte polynomiet (som har hvor mange rødder?).