B Funktioner

En funktion, eller en afbildning, $f : X \rightarrow Y$ mellem to mængder $X$ og $Y$ er, løst sagt, en måde, hvorpå man til ethvert element $x$ i $X$ kan tilknytte et element $f(x)$ i $Y$ . Elementet $f(x)$ kaldes for billedet af $x$ under funktionen $f$ , og vi skriver

$x \mapsto f(x). \tag{B.1}$ Mængden $X$ kaldes for domænet for $f$ , mens $Y$ kaldes for kodomænet. Delmængden $f(X)$ af kodomænet $Y$ bestående af alle elementer på formen $f(x)$ , for $x \in X$ , kaldes for billedet af $f$ . Mere generelt anvendes følgende begreber:

[Billeder og urbilleder] Lad $f : X \rightarrow Y$ betegne en funktion, og lad $X'$ og $Y'$ betegne delmængder af hhv. $X$ og $Y$ . Så:

Billedet $f(X')$ af $X'$ under $f$ defineres som delmængden af $Y$ bestående af alle elementer på formen $f(x)$ , for $x \in X'$ .
Urbilledet $f^{-1}(Y')$ af $Y'$ under $f$ defineres som delmængden af $X$ bestående af alle elementer $x$ med $f(x) \in Y'$ .

Betragt funktionen

$\begin{aligned} f: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto x^2 \end{aligned}$ Angiv de korrekte udsagn.

$f([0,1])=[0,1]$

$f^{-1}([0,1])=[0,1]$

$f^{-1}([0,1])=[-1,1]$

$f^{-1}(\{25\}) =\{-5, 5 \}$

$f(\{-5,5,7\})=\{25, 49\}$

$f^{-1}(\{-1\})=\emptyset$

[Identitetsafbildningen] Lad $X$ betegne en mængde. Funktionen ${\rm Id}_X : X \rightarrow X$ , defineret ved

${\rm Id}_X(x) = x \quad \text{for alle } x \in X \text{, } \tag{B.2}$ kaldes for identitetsafbildningen på $X$ .

Hvis man udover $f : X \rightarrow Y$ også har givet en funktion $g : Y \rightarrow Z$ , så kan man herudfra definere en ny funktion, som betegnes med $g \circ f : X \rightarrow Z$ , og som kaldes sammensætningen af $g$ og $f$ . Sammensætningen af $g$ og $f$ er defineret ved

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) \quad \text{for alle } x \in X \text{. } \tag{B.3}$ En fundamental egenskab ved sammensætninger af funktioner er, at det er en associativ konstruktion. Hermed menes følgende udsagn:

[Den associative lov for sammensætning af funktioner] Lad $f : X \rightarrow Y$ , $g : Y \rightarrow Z$ og $h : Z \rightarrow V$ betegne funktioner. Så

$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f. \tag{B.4}$

Bevis

Udsagnet følger, idet

$h \bigl( (g \circ f) (x) \bigr) = h\bigl(g(f(x))\bigr) = (h \circ g) ( f(x)), \tag{B.5}$ for alle $x \in X$ .

[Injektivitet, surjektivitet og invertibilitet] En funktion $f : X \rightarrow Y$ kaldes

injektiv, hvis $f(x) = f(x')$ , for $x,x' \in X$ , implicerer at $x=x'$ .
surjektiv, hvis $f(X) = Y$ .
invertibel, eller bijektiv, hvis der eksisterer en afbildning $\tilde f : Y \rightarrow X$ så:
$f \circ \tilde f = {\rm Id}_Y \quad \text{ og } \quad \tilde f \circ f = {\rm Id}_X. \tag{B.6}$ I givet fald kaldes $\tilde f$ også for den inverse funktion til $f$ og betegnes $f^{-1}$ .

Betragt funktionen

$\begin{aligned} f: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto x^3 \end{aligned}$ Angiv de korrekte udsagn.

$f$ er injektiv

$f$ er surjektiv

$f$ er bijektiv

$f$ er invertibel med invers $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$

Det indses let, at en funktion $f : X \rightarrow Y$ er invertibel, hvis og kun hvis funktionen både er injektiv og surjektiv. I givet fald vil ethvert element $y$ i $Y$ være tilknyttet præcist et element fra $X$ ; dvs. $y=f(x)$ for præcist et element $x$ i $X$ . Med andre ord så definerer en invertibel funktion $f : X \rightarrow Y$ en 1-1 korrespondance mellem elementerne i hhv. $X$ og $Y$ .

Såfremt en funktion er invertibel, så er den tilsvarende inverse funktion entydigt bestemt.

Bevis

Antag at $g, h : Y \rightarrow X$ begge er inverse til $f : X \rightarrow Y$ . Så

$g = {\rm Id}_X \circ g = (h \circ f) \circ g = h \circ (f \circ g) = h \circ {\rm Id}_Y = h, \tag{B.7}$ hvor den midterste lighed følger fra den associative regel Sætning B.3.

Lad $f : X \rightarrow Y$ og $g : Y \rightarrow Z$ betegne invertible funktioner. Så er sammensætningen $g \circ f : X \rightarrow Z$ også invertibel med invers

$(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}. \tag{B.8}$

Bevis

Udsagnet følger ved anvendelse af Sætning B.3 og følgende beregninger

$\begin{aligned} ( f^{-1} \circ g^{-1} ) \circ (g \circ f) & = ((f^{-1} \circ g^{-1}) \circ g) \circ f \\ & = (f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) ) \circ f \\ & = (f^{-1} \circ {\rm Id}_Y) \circ f \\ & = f^{-1} \circ f \\ & = {\rm Id}_X, \end{aligned}$ og

$\begin{aligned} ( g \circ f ) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) & = ((g \circ f) \circ f^{-1}) \circ g^{-1} \\ & = (g \circ (f \circ f^{-1}) ) \circ g^{-1} \\ & = (g \circ {\rm Id}_Y) \circ g^{-1} \\ & = g \circ g^{-1} \\ & = {\rm Id}_Z. \end{aligned}$

B.1 Polynomier

Vi skal nu beskrive en speciel type af funktioner, kaldet polynomier, der optræder i mange forskellige matematiske sammenhænge. Når man taler om polynomier, så har man på forhånd valgt et legeme $\mathbb{F}$ . Legemet $\mathbb{F}$ kan være vilkårligt, men i disse noter vil vi alene definere polynomier over legemer $\mathbb{F}$ , hvor antallet af elementer i $\mathbb{F}$ er uendeligt.

[Polynomium] Et afbildning $f : \mathbb{F} \rightarrow \mathbb{F}$ kaldes et polynomium (over $\mathbb{F}$ ), hvis der eksisterer skalarer $a_0, \ldots, a_d \in \mathbb{F}$ så

$f(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_d x^d \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F} \text{.} \tag{B.9}$ Mængden af polynomier over $\mathbb{F}$ betegnes i det følgende med $P(\mathbb{F})$ . Lad $n>0$ betegne et heltal. Mængden af polynomier over $\mathbb{F}$ hvor $d$ , i ovenstående notation, kan vælges $<n$ , betegnes med $P_n(\mathbb{F})$ .

Vi vil senere se (se Korollar B.15), at skalarerne $a_0,a_1,\ldots,a_d$ i (B.9) er entydigt bestemte. Faktisk er det netop for at opnå dette resultat, at vi kræver, at $\mathbb{F}$ er et legeme med uendeligt mange elementer.

For en skalar $\alpha \in \mathbb{F}$ er funktionen $f : \mathbb{F} \rightarrow \mathbb{F}$ defineret ved $f(x) = \alpha$ , for alle $x \in \mathbb{F}$ , et polynomium i $P_1(\mathbb{F})$ . Polynomiet $f$ kaldes for et konstant polynomium. Hvis $\alpha=0$ kaldes $f$ for nulpolynomiet.
For en skalar $\alpha \in \mathbb{F}$ er funktionen $f : \mathbb{F} \rightarrow \mathbb{F}$ defineret ved $f(x) = x-\alpha$ , for alle $x \in \mathbb{F}$ , et polynomium i $P_2(\mathbb{F})$ .

For arbitrære funktioner $f, g : \mathbb{F} \rightarrow \mathbb{F}$ definerer vi deres sum og produkt som hhv.

$\begin{aligned} f + g : \mathbb{F} & \rightarrow \mathbb{F}, \\ x & \mapsto f(x) + g(x), \end{aligned}$ og

$\begin{aligned} f \cdot g : \mathbb{F} & \rightarrow \mathbb{F}, \\ x & \mapsto f(x) \cdot g(x). \end{aligned}$ Betegner $\alpha \in \mathbb{F}$ herudover en skalar, så kan man multiplicere $f$ med $\alpha$ og opnå en funktion:

$\begin{aligned} \alpha \cdot f : \mathbb{F} & \rightarrow \mathbb{F}, \\ x & \mapsto \alpha \cdot f(x). \end{aligned}$

Vi påstår, at polynomier er stabile overfor disse operationer:

Lad $f$ og $g$ betegne polynomier, og lad $\alpha \in \mathbb{F}$ . Så er $f+g$ , $f \cdot g$ og $\alpha \cdot f$ også polynomier. Hvis $f \in P_{d+1}(\mathbb{F})$ og $g \in P_{r+1}(\mathbb{F})$ , så vil der yderligere gælde, at $f \cdot g \in P_{r+d+1}(\mathbb{F})$ , $\alpha \cdot f \in P_{d+1}(\mathbb{F})$ og $f+g \in P_{l+1}(\mathbb{F})$ , hvor $l$ angiver den maksimale værdi af $r$ og $d$ .

Bevis

Antag at $f$ og $g$ er polynomier givet ved

$f(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_d x^d \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F} \text{,} \tag{B.10}$ og

$g(x) = b_0 + b_1 x + \ldots + b_r x^r \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F} \text{,}$ for skalarer $a_0,a_1,\ldots,a_d \in \mathbb{F}$ og $b_0,b_1,\ldots,b_r \in \mathbb{F}$ . Sæt da $a_i=0$ , for $i>d$ , og $b_j=0$ , for $j>r$ . Da vil

$(f+g)(x) = c_0 + c_1 x + \ldots + c_l x^l \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F} \text{,}$ hvor $c_i=a_i+b_i$ , for $i=1,2,3,\ldots,l$ , og hvor $l$ betegner den maksimale værdi af $d$ og $r$ . Specielt er $f+g$ et polynomium i $P_{l+1}(F)$ .

Produktet af $f$ og $g$ er givet ved

$(f \cdot g)(x) = \sum_{i=0}^{r+d} d_i x^i \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}, \tag{B.11}$ hvor

$d_i = \sum_{j=0}^i a_j b_{i-j} \quad \text{for } i=0,1,2,\ldots, r+d \text{.} \tag{B.12}$ Specielt er $f \cdot g \in P_{d+r+1}(\mathbb{F})$ . At indse at $\alpha \cdot f \in P_{d+1}(\mathbb{F})$ overlades til læseren.

Et polynomium $f$ over $\mathbb{F}$ defineret ved

$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_d x^d \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F} \text{,}$ betegnes til tider blot med notationen

$a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \ldots + a_d X^d. \tag{B.13}$ Såfremt

$g = b_0 + b_1 X + \ldots + b_r X^r$ også betegner et polynomium over $\mathbb{F}$ , så skriver vi også

$(a_0 + a_1 X + \ldots + a_d X^d) \cdot (b_0 + b_1 X + \ldots + b_r X^r), \tag{B.14}$ om produktet $f \cdot g$ af $f$ og $g$ . Det bemærkes, at hvis vi regner på udtrykket (B.14), som om at $X$ er et element i $\mathbb{F}$ , så vil resultatet

$c_0 + c_1 X + \ldots + c_l X^l$ være et udtryk tilsvarende (B.13), og faktisk gælder der, at

$f \cdot g= c_0 + c_1 X + \ldots + c_l X^l. \tag{B.15}$ Denne påstand er næsten oplagt, og beviset herfor overlades til læseren. Tilsvarende bemærkninger gør sig gældende for addition og skalarmultiplikation.

[Rødder til polynomier] Lad $f$ betegne et polynomium over $\mathbb{F}$ . En skalar $\alpha \in \mathbb{F}$ kaldes for en rod til $\mathbb{F}$ , såfremt $f(\alpha) = 0$ .

Betragt det reelle polynomium

$f(x) = x^2 - 9 x + 18 \quad \text{for alle } x \in \mathbb{R} \text{.}$ Angiv de korrekte udsagn.

$3$ er en rod til $f$

$-3$ er en rod til $f$

$6$ er en rod til $f$ .

$3$ og $6$ er de eneste rødder til $f$ .

Lad $f \in P_{d+1}(\mathbb{F})$ , med $d>0$ , betegne et polynomium, og lad $\alpha \in \mathbb{F}$ betegne en rod i $f$ . Så eksisterer der et polynomium $g \in P_{d}(\mathbb{F})$ , så

$f(x)= (x-\alpha) g(x) , \tag{B.16}$ for alle $x \in \mathbb{F}$ .

Bevis

Vi antager, at $f$ er beskrevet ved

$f(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_d x^d \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F},$ og argumenterer via induktion i $d$ . Hvis $d=1$ , så er

$0= f(\alpha) = a_0 + a_1 \alpha,$ og dermed er $a_0 = - a_1 \alpha$ . Specielt er

$f(x) = a_0 + a_1 x = -a_1 \alpha + a_1 x = (x-\alpha) a_1 = (x-\alpha) g(x),$ såfremt vi sætter $g$ lig det konstante polynomium med værdi $a_1$ .

Antag herefter, at $d > 1$ , og at udsagnet er vist for polynomier i $P_d(\mathbb{F})$ . Lad $h$ betegne polynomiet

$h(x) = a_d (x-\alpha) x^{d-1} = - a_d \alpha x^{d-1} + a_d x^d \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}.$ Betragt da polynomiet $\tilde f$ defineret ved

$\tilde f (x) = f(x) - h(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_{d-2} x^{d-2} + (a_{d-1}+a_d \alpha) x^{d-1} \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}.$ Det bemærkes, at

$\tilde f( \alpha) = f(\alpha) - h(\alpha) =0 - 0 = 0, \tag{B.17}$ og at $\tilde f \in P_{d}(\mathbb{F})$ . Pr. induktion eksisterer der derfor et polynomium $\tilde g \in P_{d-1}(\mathbb{F})$ , så

$\tilde f (x) = (x-\alpha) \tilde g(x) \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}.$ Vi konkluderer, at

$f(x) = \tilde f (x) + h(x) = (x-\alpha) \tilde g(x) + a_d (x-\alpha) x^{d-1} = (x-\alpha) ( \tilde g(x) + a_d x^{d-1}),$ og det ønskede er opnået med polynomiet beskrevet ved

$g (x) = \tilde g(x) + a_d x^{d-1} \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F},$ i $P_d(\mathbb{F})$ .

Lad $f \in P_{d+1}(\mathbb{F})$ betegne et polynomium forskelligt fra nulpolynomiet. Så er antallet af rødder til $f$ mindre end eller lig $d$ .

Bevis

Vi argumenterer via induktion i $d$ . Hvis $d=0$ , så er $f$ et konstant polynomium forskellig fra nulpolynomiet. Specielt har $f$ ingen rødder.

Antag nu, at $d>0$ , og at udsagnet er vist i tilfældet $d-1$ . Hvis $f$ ikke har rødder, så er udsagnet klart. Antag derfor, at $f$ har en rod $\alpha$ , og vælg på grundlag af resultatet i Lemma B.12 et polynomium $g \in P_{d}(\mathbb{F})$ , så identiteten

$f(x) = (x-\alpha) g(x),$ er opfyldt for alle $x \in \mathbb{F}$ . Idet $g$ ikke kan være nulpolynomiet uden at $f$ også er nulpolynomiet, så vil $g$ pr. induktion højst have $d-1$ rødder. Derudover så vil enhver rod $\beta \in \mathbb{F}$ til $f$ opfylde

$0 = f(\beta) = (\beta - \alpha) g(\beta),$ og $\beta$ er derfor nødvendigvis enten lig $\alpha$ eller en rod for $g$ . Vi konkluderer, at rødderne til $f$ forskellige fra $\alpha$ skal findes blandt de maksimalt $d-1$ rødder til $g$ . Dermed er antallet af rødder til $f$ maksimalt lig $d$ som ønsket.

Lad $a_0,a_1,\ldots,a_d \in \mathbb{F}$ betegne skalarer, og lad $f \in P(\mathbb{F})$ betegne polynomiet givet ved

$f(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_d x^d \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}. \tag{B.18}$ Hvis $f$ er nulpolynomiet, så er

$a_0 = a_1 = a_2 =\ldots=a_d=0.$

Bevis

Idet $f$ er nulpolynomiet, så vil

$a_0 = f(0) = 0.$ Hvis $d=0$ , så er beviset afsluttet. Ellers defineres $g \in P_{d-1}(\mathbb{F})$ som polynomiet

$g(x) = a_1 + a_2 x + \ldots + a_d x^{d-1} \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F},$ og vi bemærker, at

$f(x) = x g(x) \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}.$ Det følger, at hvis $\alpha \in \mathbb{F}$ , så vil

$0 = f(\alpha) = \alpha g(\alpha),$ og dermed må alle elementer i $\mathbb{F} \setminus \{ 0 \}$ være rødder til $g$ . Men $\mathbb{F}$ er antaget at indeholde uendeligt mange elementer, og dermed har $g$ uendeligt mange rødder. Dette er, jf. Proposition B.13, kun muligt, hvis $g$ er nulpolynomiet. Vi konkluderer dermed pr. induktion (anvendt på $g$ ), at

$a_1 = a_2 = a_3 =\ldots=a_d=0,$ og det ønskede er opnået.

Ovenstående resultat viser, at nulpolynomiet kun kan repræsenteres ved koefficienter $a_0,\ldots,a_d$ som i (B.18), der alle er nul. Tilsvarende gælder der:

Lad $f \in P(\mathbb{F})$ betegne et polynomium over $\mathbb{F}$ givet ved

$f(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_d x^d \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}, \tag{B.19}$ for skalarer $a_0,a_1,\ldots a_d \in \mathbb{F}$ med $a_d \neq 0$ . Så er $d$ samt skalarerne $a_0,a_1,\ldots,a_d \in \mathbb{F}$ entydigt bestemte ud fra $f$ .

Bevis

Antag at $f$ , udover (B.19), også kan beskrives ved

$f(x) = b_0 + b_1 x + \ldots + b_r x^r \quad \text{for } x \in \mathbb{F},$ for skalarer $b_0,b_1,\ldots,b_r \in \mathbb{F}$ med $b_r \neq 0$ . Sæt $a_i=0$ for $i>d$ og $b_j=0$ for $j>r$ , og definer polynomiet $g : \mathbb{F} \rightarrow \mathbb{F}$ ved

$g (x) = (a_0-b_0) + (a_1-b_1) x + \cdots +(a_l - b_l) x^l,$ hvor $l$ er et heltal større end både $d$ og $r$ . Så er

$g(x) = f(x) -f(x) = 0 \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F},$ nulpolynomiet, og dermed er

$a_i = b_i \quad \text{for } i=1,2,\ldots,l,$ jf. Korollar B.14.

Entydigheden af skalarerne $a_0,a_1,\ldots, a_d$ i (B.19) gør, at vi kan definere graden af et polynomium (forskellig fra nulpolynomiet).

[Graden af et polynomium] Lad $f$ betegne et polynomium over $\mathbb{F}$ forskellig fra nulpolynomiet. Antag at

$f(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_d x^d \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}.$ med $a_d \neq 0$ . Graden $\deg(f)$ defineres da som tallet $d$ .

Såfremt $\mathbb{F}$ er et endeligt legeme, så gælder ovennævnte resultater ikke. Hvis f.eks. $\mathbb{F}=\mathbb{F}_2 = \left\{ [0],[1] \right\}$ (jf. Eksempel A.3 (b.)), så vil afbildningen $f : \mathbb{F}_2 \rightarrow \mathbb{F}_2$ defineret ved

$f(x) = x-x^2 = x(1-x) \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}_2,$ være lig nulpolynomiet (idet $0=0^2$ og $1=1^2$ ). Specielt vil man ikke kunne give mening til graden af $f$ på samme måde, som når $\mathbb{F}$ indeholder uendeligt mange elementer.

For et polynomium $f$ forskellig fra nulpolynomiet, så antages det fremover implicit, at en opskrivning som i (B.9) opfylder, at $a_d \neq 0$ . Specielt er graden af $f$ lig $d$ .

Som en konsekvens af formlerne (B.11) og (B.12) så bemærkes det:

Lad $f$ og $g$ betegne polynomier forskellig fra nulpolynomiet. Så er produktet $f \cdot g$ forskellig fra nulpolynomiet, og

$\deg (f \cdot g ) = \deg(f) + \deg(g).$

Vi er nu klar til at studere rodbegrebet nærmere:

Lad $f$ betegne et polynomium forskelligt fra nulpolynomiet, og lad $\alpha_1, \alpha_2, \ldots,\allowbreak \alpha_l \in \mathbb{F}$ betegne de (forskellige) rødder i $f$ . Så findes der entydigt bestemte naturlige tal $m_1,m_2, \ldots,\allowbreak m_l$ og et polynomium $h$ , så

$f(x) = h(x) (x-\alpha_1)^{m_1} (x-\alpha_2)^{m_2} \cdots (x-\alpha_l)^{m_l}$ for alle $x \in \mathbb{F}$ .
$h$ har ingen rødder i $\mathbb{F}$ .

Bevis

Vi viser først, at der eksisterer naturlige tal $m_1,m_2,\ldots,m_l$ , så (1.) og (2.) er opfyldt. Vi argumenterer via induktion i $d=\deg(f)$ . Tilfældet $d=0$ er oplagt, og overlades til læseren. Antag derfor, at $d \geq 1$ , og at eksistensen er vist for polynomier af grad $\leq d-1$ . Hvis $f$ ikke har rødder, så kan (1.) og (2.) oplagt opfyldes (sæt $h=f$ ), og vi kan derfor antage, at $f$ har mindst en rod $\alpha_1$ . Vha. Lemma B.12 lader vi nu $g$ betegne et polynomium, så

$f(x) = (x-\alpha_1) g(x) \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}.$ Induktionsantagelsen kan da anvendes på $g$ . Så lad $\beta_1, \ldots, \beta_s$ betegne de forskellige rødder til $g$ . Der eksisterer da naturlige tal $n_1,n_2,\ldots,n_s$ og et polynomium $h$ uden rødder, så

$g(x) = h(x) (x-\beta_1)^{n_1} (x-\beta_2)^{n_2} \cdots (x-\beta_s)^{n_s} \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}.$ Specielt er

$f(x) = h(x) (x-\alpha_1)^1 (x-\beta_1)^{n_1} (x-\beta_2)^{n_2} \cdots (x-\beta_s)^{n_s} \tag{B.20}$ for alle $x \in \mathbb{F}$ . Det er nu oplagt, at $\beta_1,\ldots, \beta_s$ samt $\alpha_1$ er rødderne til $f$ , og ved at samle identiske faktorer i (B.20), så ses eksistensen af den ønskede opspaltning af $f$ .

Vi mangler nu kun at vise entydigheden af tallene $m_1,\ldots,m_l$ og polynomiet $h$ . Antag derfor, at vi også har en opspaltning

$f(x) = \tilde h(x) (x-\alpha_1)^{m_1'} (x-\alpha_2)^{m_2'} \cdots (x-\alpha_l)^{m_l'} \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}.$ for naturlige $m_1',m_2',\ldots,m_l'$ , og et polynomium $\tilde h$ uden rødder. Vi viser først, at $m_i=m_i'$ , for $i=1,2,\ldots,l$ , og kan pr. symmetri nøjes med at betragte ligheden $m_1=m_1'$ . Faktisk kan vi pr. symmetri nøjes med at vise, at $m_1' \leq m_1$ . Så antag, $m_1' > m_1$ , og definer polynomierne

$q(x) = h(x) (x-\alpha_2)^{m_2} \cdots (x-\alpha_l)^{m_l} \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}, \tag{B.21}$ og

$\tilde q(x) = \tilde h(x) (x-\alpha_2)^{m_2'} \cdots (x-\alpha_l)^{m_l'} \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}. \tag{B.22}$ Vi har da, for alle $x \in \mathbb{F}$ , at

$\begin{aligned} 0 & = f(x) - f(x) \\ & = (x-\alpha_1)^{m_1} q(x) - (x-\alpha_1)^{m_1'} \tilde q(x) \\ & = (x-\alpha_1)^{m_1} \left( q(x) - (x-\alpha_1)^{m_1'-m_1} \tilde q(x) \right). \end{aligned}$ Men et produkt af to polynomier kan kun være nul hvis en af polynomierne er nul (jf. Lemma B.18), og dermed må

$q(x) = (x-\alpha_1)^{m_1'-m_1} \tilde q(x) \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}.$ Specielt er

$q(\alpha_1) = 0^{m_1'-m_1} \tilde q(\alpha_1) = 0,$ hvilket er i umuligt ifølge definitionen (B.21) af $q$ .

Vi konkluderer dermed, at $m_i=m_i'$ for alle $i=1,2,\ldots,l$ . Specielt gælder der, for alle $x \in \mathbb{F}$ , at

$\begin{aligned} 0 & = f(x) - f(x) \\ & = (x-\alpha_1)^{m_1} (x-\alpha_2)^{m_2} \cdots (x-\alpha_l)^{m_l} \left(h(x) - \tilde{h}(x)\right) , \end{aligned}$ hvorfra vi slutter, at $h=\tilde{h}$ , jf. Lemma B.18, som ønsket.

På baggrund af ovenstående resultat definerer vi nu:

[Multipliciteter af rødder] Lad $f$ betegne et polynomium forskellig fra nulpolynomiet, og lad $\alpha_1,\ldots,\alpha_l \in \mathbb{F}$ betegne de forskellige rødder til $f$ . Det naturlige tal $m_i$ , for $i=1,2, \ldots,l$ , der optræder i Sætning B.19, kaldes for multipliciteten af roden $\alpha_i$ . En skalar $\alpha \in \mathbb{F}$ som ikke er rod i $f$ , kaldes for en rod af multiplicitet $0$ .

Betragt det reelle polynomium

$f(x) = x^2 - 2 x + 1 \quad \text{for alle } x \in \mathbb{R} \text{.}$ Angiv de korrekte udsagn.

$-1$ er en rod til $f$ af multiplictet $0$

$1$ er en rod til $f$ af multiplicitet $1$

$1$ er en rod til $f$ af multiplicitet $2$

$-1$ er en rod til $f$ af multiplictet $1$

I praksis behøver man ikke at bestemme den totale opspaltning af $f$ , som angivet i Sætning B.19, for at bestemme multipliciteten af en rod $\alpha$ . En lille justering af beviset for Sætning B.19 viser, at hvis

$f(x) = (x-\alpha)^m q(x) \quad \text{for alle } x \in \mathbb{F}.$ hvor $m$ betegner et naturligt tal, og $q$ betegner et polynomium med $q(\alpha) \neq 0$ , så er $m$ lig multipliciteten af roden $\alpha$ . Detaljerne overlades til læseren.