En funktion, eller en afbildning, mellem to
mængder og er, løst sagt, en måde, hvorpå man til ethvert
element i kan tilknytte et element i . Elementet
kaldes for billedet af under funktionen , og vi
skriver
Mængden kaldes for domænet for ,
mens kaldes for
kodomænet. Delmængden af
kodomænet bestående af alle elementer på formen , for ,
kaldes for billedet af . Mere
generelt anvendes følgende begreber:
[Billeder og urbilleder]
Lad betegne en funktion, og lad og
betegne delmængder af hhv. og . Så:
Billedet af under defineres som
delmængden af bestående af alle elementer på formen , for .
Urbilledet af under
defineres som delmængden af bestående af alle elementer med
.
Betragt funktionen
Angiv de korrekte udsagn.
[Identitetsafbildningen]
Lad betegne en mængde. Funktionen ,
defineret ved
kaldes for
identitetsafbildningen på .
Hvis man udover også har givet en funktion , så kan man herudfra definere en ny funktion, som
betegnes med , og som kaldes
sammensætningen af og
. Sammensætningen af og er defineret ved
En fundamental egenskab ved sammensætninger af funktioner er, at det
er en associativ konstruktion. Hermed menes følgende udsagn:
[Den associative lov for sammensætning af funktioner]
Lad , og betegne funktioner. Så
[Injektivitet, surjektivitet og invertibilitet]
En funktion kaldes
injektiv, hvis , for , implicerer at .
surjektiv, hvis .
invertibel, eller
bijektiv, hvis der eksisterer en
afbildning så:
I givet fald kaldes også for
den inverse funktion til og betegnes .
Betragt funktionen
Angiv de korrekte udsagn.
er injektiv
er surjektiv
er bijektiv
er invertibel med invers
Det indses let, at en funktion er invertibel, hvis og kun hvis
funktionen både er injektiv og surjektiv. I givet fald vil ethvert
element i være tilknyttet præcist et element fra ; dvs.
for præcist et element i . Med andre ord så definerer en
invertibel funktion en 1-1 korrespondance mellem elementerne i hhv.
og .
Såfremt en funktion er invertibel, så er den tilsvarende inverse funktion
entydigt bestemt.
Udsagnet følger ved anvendelse af Sætning B.3 og følgende
beregninger
og
B.1 Polynomier
Vi skal nu beskrive en speciel type af funktioner,
kaldet polynomier, der
optræder i mange forskellige matematiske
sammenhænge. Når man taler om polynomier, så har
man på forhånd valgt et legeme . Legemet
kan være vilkårligt, men i disse noter
vil vi alene definere polynomier over legemer
, hvor antallet af elementer i er uendeligt.
[Polynomium]
Et afbildning kaldes et
polynomium (over ), hvis der eksisterer skalarer så
Mængden af polynomier over betegnes i det følgende med
. Lad betegne et heltal. Mængden af polynomier over
hvor , i ovenstående notation, kan vælges , betegnes
med .
Vi vil senere se (se Korollar B.15), at
skalarerne i (B.9)
er entydigt bestemte. Faktisk er det netop
for at opnå dette resultat, at vi kræver, at
er et legeme med uendeligt mange elementer.
For en skalar er
funktionen defineret ved ,
for alle , et polynomium i . Polynomiet
kaldes for et konstant polynomium. Hvis kaldes
for nulpolynomiet.
For en skalar er
funktionen defineret ved , for alle , et polynomium i .
For arbitrære funktioner definerer vi deres sum og produkt som hhv.
og
Betegner herudover en
skalar, så kan man multiplicere
med og opnå en funktion:
Vi påstår, at polynomier er stabile overfor disse operationer:
Lad og betegne polynomier, og lad . Så er
, og også polynomier. Hvis og , så vil der yderligere gælde, at
, og
, hvor angiver den maksimale værdi af og
.
Antag at og er polynomier givet
ved
og
for skalarer og
. Sæt da ,
for , og , for . Da
vil
hvor , for , og hvor
betegner den
maksimale værdi af og . Specielt er et polynomium i
.Produktet af og er givet ved
hvor
Specielt er . At indse at overlades til læseren.
Et polynomium over defineret
ved
betegnes til tider blot med notationen
Såfremt
også betegner et polynomium over ,
så skriver vi også
om produktet af og .
Det bemærkes, at hvis vi regner på udtrykket (B.14),
som om at er et element i , så vil
resultatet
være et udtryk tilsvarende (B.13), og faktisk gælder der, at
Denne påstand er næsten oplagt, og beviset
herfor overlades
til læseren. Tilsvarende bemærkninger gør
sig gældende for addition og skalarmultiplikation.
[Rødder til polynomier]
Lad betegne et polynomium over .
En skalar kaldes for en
rod til , såfremt .
Betragt det reelle polynomium
Angiv de korrekte udsagn.
er en rod til
er en rod til
er en rod til .
og er de eneste rødder til .
Lad , med , betegne
et polynomium, og lad betegne
en rod i . Så eksisterer der et
polynomium , så
for alle .
Vi antager, at er beskrevet ved
og argumenterer via induktion i . Hvis , så
er
og dermed er . Specielt er
såfremt vi sætter lig det konstante polynomium
med værdi .Antag herefter, at , og at
udsagnet er vist for polynomier i . Lad
betegne polynomiet
Betragt da polynomiet defineret ved
Det bemærkes, at
og at . Pr. induktion
eksisterer der derfor et polynomium , så
Vi konkluderer, at
og det ønskede er opnået med polynomiet
beskrevet ved
i .
Lad betegne et polynomium
forskelligt fra nulpolynomiet.
Så er antallet af rødder til mindre end eller
lig .
Vi argumenterer via induktion i . Hvis , så er et
konstant polynomium forskellig fra nulpolynomiet. Specielt har ingen rødder.Antag nu, at , og at udsagnet
er vist i tilfældet .
Hvis ikke har rødder, så er udsagnet
klart. Antag derfor, at har en rod
, og vælg på grundlag af resultatet
i Lemma B.12 et polynomium
, så
identiteten
er opfyldt for alle . Idet ikke
kan være nulpolynomiet uden at også er
nulpolynomiet, så vil pr. induktion højst
have rødder.
Derudover
så vil enhver rod til
opfylde
og er derfor nødvendigvis enten lig eller en rod for
. Vi konkluderer, at rødderne til
forskellige fra
skal findes blandt de maksimalt rødder
til . Dermed er antallet af rødder til
maksimalt lig som ønsket.
Lad betegne
skalarer, og lad betegne
polynomiet givet ved
Hvis er nulpolynomiet, så er
Idet er nulpolynomiet, så vil
Hvis , så er beviset afsluttet. Ellers
defineres som polynomiet
og vi bemærker, at
Det følger, at hvis , så vil
og dermed må alle elementer i
være rødder til . Men er antaget
at indeholde uendeligt mange elementer, og
dermed har uendeligt mange rødder. Dette
er, jf. Proposition B.13, kun muligt,
hvis er nulpolynomiet. Vi konkluderer
dermed pr. induktion (anvendt på ), at
og det ønskede er opnået.
Ovenstående resultat viser, at nulpolynomiet kun kan repræsenteres ved
koefficienter som i (B.18), der alle er
nul. Tilsvarende gælder der:
Lad betegne et polynomium
over givet ved
for skalarer med
. Så er samt skalarerne
entydigt bestemte
ud fra .
Antag at , udover (B.19),
også kan beskrives ved
for skalarer
med . Sæt for
og for , og
definer polynomiet ved
hvor er et heltal større end både og . Så er
nulpolynomiet, og dermed er
jf. Korollar B.14.
Entydigheden af skalarerne i (B.19) gør, at
vi kan definere graden af et polynomium (forskellig fra nulpolynomiet).
[Graden af et polynomium]
Lad betegne et polynomium over forskellig fra
nulpolynomiet. Antag at
med . Graden
defineres da som tallet .
Såfremt er et endeligt legeme, så gælder ovennævnte resultater
ikke. Hvis f.eks.
(jf. Eksempel A.3(b.)), så vil afbildningen defineret ved
være lig nulpolynomiet (idet og ). Specielt vil man
ikke kunne give mening til graden af på samme måde, som når
indeholder uendeligt mange elementer.
For et polynomium forskellig fra nulpolynomiet, så antages det
fremover implicit, at en opskrivning som i (B.9) opfylder, at
. Specielt er graden af lig .Som en konsekvens af formlerne (B.11) og (B.12) så bemærkes
det:
Lad og betegne polynomier forskellig fra nulpolynomiet. Så
er produktet forskellig fra nulpolynomiet, og
Vi er nu klar til at studere rodbegrebet nærmere:
Lad betegne et polynomium forskelligt fra nulpolynomiet, og lad
betegne de
(forskellige) rødder i . Så findes der entydigt bestemte
naturlige tal og et polynomium , så
Vi viser først, at der eksisterer naturlige
tal , så
(1.) og (2.) er opfyldt. Vi
argumenterer via induktion i . Tilfældet er oplagt,
og overlades til læseren. Antag derfor, at
, og at eksistensen er vist for
polynomier af grad . Hvis ikke har
rødder, så kan (1.) og (2.) oplagt
opfyldes (sæt ), og vi kan derfor antage, at har mindst en
rod . Vha. Lemma B.12 lader vi nu betegne
et polynomium, så
Induktionsantagelsen kan da anvendes på . Så lad betegne de forskellige rødder til . Der
eksisterer da naturlige tal og et polynomium uden
rødder, så
Specielt er
for alle .
Det er nu oplagt, at samt er rødderne til , og ved at samle
identiske faktorer i (B.20),
så ses eksistensen af
den ønskede opspaltning af .Vi mangler nu kun at vise entydigheden af
tallene og polynomiet .
Antag derfor, at vi også har en opspaltning
for naturlige , og et polynomium
uden rødder. Vi viser først, at ,
for , og kan pr. symmetri
nøjes med at betragte ligheden .
Faktisk kan vi pr. symmetri nøjes med at
vise, at . Så antag,
, og definer polynomierne
og
Vi har da, for alle , at
Men et produkt af to polynomier kan kun være nul hvis en af
polynomierne er nul (jf. Lemma B.18), og dermed må
Specielt er
hvilket er i umuligt ifølge definitionen
(B.21) af .Vi konkluderer dermed, at for
alle . Specielt gælder
der, for alle , at
hvorfra vi slutter, at , jf.
Lemma B.18, som ønsket.
På baggrund af ovenstående resultat definerer
vi nu:
[Multipliciteter af rødder]
Lad betegne et polynomium forskellig
fra nulpolynomiet, og lad
betegne de forskellige rødder til
. Det naturlige tal , for ,
der optræder i Sætning B.19, kaldes for
multipliciteten af
roden . En skalar som ikke er rod i ,
kaldes for en rod af multiplicitet .
Betragt det reelle polynomium
Angiv de korrekte udsagn.
er en rod til af multiplictet
er en rod til af multiplicitet
er en rod til af multiplicitet
er en rod til af multiplictet
I praksis behøver man ikke at bestemme den totale opspaltning af ,
som angivet i Sætning B.19, for at bestemme multipliciteten af en
rod . En lille justering af beviset for Sætning B.19
viser, at hvis
hvor betegner et naturligt tal, og betegner et polynomium med
, så er lig multipliciteten
af roden .
Detaljerne overlades til læseren.