En mængde er en samling af forskellige
objekter. Denne noget intuitive beskrivelse af en mængde er
tilstrækkelig i de fleste sammenhænge, og vi vil ikke præcisere
definitionen nærmere (hvilket hurtigt bliver ret kompliceret). Et
objekt i en mængde kaldes også for et element i , og
vi skriver i givet fald . I dette tilfælde siger vi også, at
tilhører . Hvis et givet objekt ikke
tilhører , så skriver vi . En mængde kaldes
endelig, hvis den kun indeholder endeligt mange elementer. I modsat
fald kaldes for en uendelig mængde. Blandt de endelige mængder
findes den tomme mængde ; altså mængden der ikke
indeholder nogen objekter.Mængder kan beskrives ved at fortælle, hvilke objekter de indeholder.
F.eks. betyder
at er en mængde bestående af tallene , og . En notation
af formen
betyder, at er mængden bestående af alle heltal fra til
. I (C.1) præciserer vi ikke alle elementer i
, men angiver alene et mønster for, hvordan elementerne i
fremkommer.To mængder og er identiske, hvis de indeholder de samme
elementer, og vi skriver i givet fald . Notationen anvendes, hvis ethvert element i også er et element i ; i
givet fald kalder vi for en delmængde
af . Det er derfor klart,
at er det samme som, at både og . Mange sætninger udtaler sig om, at to givne mængder og er
ens, og ofte vises sådanne udsagn ved at vise, at ethvert element i
også er et element i (dvs. )
og vice versa (dvs. ).Såfremt er en mængde, og og begge er delmængder af
, så anvender vi notationen om foreningen
af og ; dvs. om den delmængde af
, der består af de elementer, der enten tilhører
eller . Notationen betegner fællesmængden
af og , og er den delmængde af elementer i , der både
tilhører og . Endeligt vil vi anvende notationen
om den delmængde i , der består af de
elementer, der tilhører , men som ikke tilhører . F.eks.
har vi da, at hvis , og
at
I disse noter vil vi anvende betegnelsen om mængden af
alle heltal; dvs.
mens mængden af positive heltal vil blive betegnet med
og vil blive omtalt som de naturlige tal.
Herudover, så anvender vi notationen om mængden af
rationale tal (dvs. tal på formen , for
). Mængden af reelle og komplekse tal
vil blive betegnet med hhv. og .
C.1 Udsagn
Et matematisk udsagn (eller blot et udsagn) er
en udtalelse, der enten er sand eller falsk. F.eks. er udtalelsen
“” falsk og dermed et udsagn. Tilsvarende er
udtalelsen “” sand og dermed også et udsagn. Derimod er
udtalelsen “21 gule biler” hverken sand eller falsk og dermed
ikke et matematisk udsagn. To udsagn og siges at være
ækvivalente, hvis de har samme sandhedsværdi; dvs. hvis enten og
begge er sande udsagn, eller begge er falske udsagn.
Markér de felter, der indeholder et udsagn i matematisk forstand.
Alle biler er røde
Lad og
Velkommen til lineær algebra
er et legeme
er et legeme
Ud fra to udsagn og kan vi konstruere andre udsagn. Vi skriver:
om udsagnet der alene er sandt, hvis og
begge er sande.
om udsagnet der alene er falsk, hvis og begge
er falske.
om udsagnet der alene er falsk, når er sandt
(dvs. specielt er sandt, når
er falsk).
om udsagnet der alene er falsk, hvis er
sand og er falsk.
om udsagnet .
om udsagnet der alene er sandt, hvis og
er ækvivalente udsagn.
Det er en nyttig opgave at vise, at er sandt,
netop når både og er sande. Med andre ord er følgende udsagn sandt
En sætning udtaler sig om, hvorvidt et givet udsagn er falsk eller
sandt. F.eks. skal en sætning af formen
forstås som, at udsagnet er sandt; dvs. at
og er ækvivalente udsagn. Ifølge (C.2) så kan et sådant
udsagn vises ved at vise følgende to udsagn:
Hvis er sandt, så er sandt (svarende til at udsagnet er sandt).
Hvis er sandt, så er sandt (svarende til at udsagnet er sandt).
Til tider vælger man at studere sandhedsværdien af udsagnet ved at studere det
kontraponerede udsagn . At dette er
muligt skyldes, at og er
ækvivalente udsagn; dvs. følgende udsagn er sandt
Det overlades til læseren at indse denne ækvivalens.
I nedenstående betegner et reelt tal.
Indsæt de korrekte symboler, så udsagnene bliver sande Korrekt!Forkert.
C.2 Kvantorer
I formulering af udsagn anvender vi ofte al-kvantoren
og eksistens-kvantoren . Disse
kvantorer er matematisk notation for hhv. “for alle” og
“der eksisterer”. F.eks. udtrykker udsagnet
at kvadratet på alle reelle tal er positivt eller lig . Kvantorer
kan også kombineres som f.eks. i
der udtrykker, at der for alle reelle tal , eksisterer et reelt tal ,
der er mindre end . Til tider anvendes notationen som betegnelse for,
at “der eksisterer et entydigt”. F.eks. udtrykker
at der eksisterer et entydigt naturligt tal med kvadrat 25.
Opskriv følgende sætning med kvantorer og matematiske
symboler: For alle reelle tal , eksisterer der
heltal og , således at
er større
end , og er mindre end .
C.3 Induktionsbeviser
Lad betegne en delmængde af de naturlige tal
Vi beskriver nu et kriterium, der sikrer, at er lig . Vi påstår, at er lig blot
har følgende egenskaber:
.
Hvis et element er
indeholdt i , så vil også være indeholdt i .
Ideen er, at hvis (iflg. betingelse
(1.)), så vil ifølge
betingelse (2.). Herefter vil ifølge
betingelse (2.), og så fremdeles. Denne egenskab
ved ligger til grund for
induktionsbeviser.I forbindelse med induktionsbeviser betragter man en samling af udsagn
indekseret ved elementerne i ; dvs. man har et udsagn for
ethvert . Sættes
så er en delmængde af . At alle udsagn , for ,
er sande, er da ækvivalent med, at . Det sidste udsagn kan
tjekkes via ovenstående kriterium, og vi konkluderer dermed, at
er sandt, for alle , såfremt:
er sandt.
For alle
gælder: Hvis er sandt,
så er sandt.
Udsagn (a.) omtales også som
induktionsstarten, mens (b.) kaldes
induktionsskridtet. Udsagnet kaldes
induktionshypotesen. At anvende (a.) og
(b.) til at vise gyldigheden af alle udsagn ,
for , omtales som, at er vist via matematisk
induktion i . Pga. beskrivelsen af (b.) så
vil der oftest være en forbindelse mellem
de betragtede udsagn .Til tider er det nyttig at anvende en anden form for induktion, der
ofte omtales som stærk induktion. Her erstattes udsagnene
(a.) og (b.) med:
er sandt.
For alle
gælder: Hvis er sandt
for alle , så er sandt.
Det overlades til læseren at overveje, at hvis (c.)
og (d.) er opfyldte, så er sandt for alle .
For alle
lader vi betegne udsagnet, at
er opfyldt. Vi vil nu vise, at er sandt
for alle via induktion i .
Induktionsstarten er ækvivalent med, at
hvilket er oplagt. Antag herefter, at , og at er
sandt; dvs. at identiteten
er opfyldt. I induktionsskridtet skal vi da konkludere, at
er sandt; altså at
Men venstresiden i (C.4) kan, jf.
antagelsen
(C.3),
beregnes som
og vi konkluderer hermed, at er sandt hvis er
sandt. Samlet konluderer vi, at er sandt for alle .
Udover den ovennævnte beskrivelse af matematisk induktion så
eksisterer der et væld af varianter. Oftest betragter man en samling
af udsagn indekseret ved en delmængde af (eller );
dvs. man betragter udsagn for . Hvis f.eks.
så kan gyldigheden af , for alle , tjekkes ved følgende
betingelser: