4 Invertible matricer

I dette kapitel betragter vi mængden af kvadratiske matricer $\mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F})$ af en fast størrelse $n \times n$ . At $\mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ består af kvadratiske matricer betyder, at vi kan betragte multiplikation som en komposition på $\mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ ; dvs. hvis $A$ og $B$ er elementer i $\mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ , så giver produktet $A \cdot B$ mening, og derudover er matricen $A \cdot B$ selv et element i $\mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ . Ydermere så indeholder $\mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ et neutralelement for multiplikation; nemlig identitetsmatricen $\mathrm{I}_n$ af størrelse $n \times n$ . Vi kan derfor definere, hvad vi skal mene med det (multiplikative) inverse element til en matrix i $\mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F})$ .

[Invertible matricer] En kvadratisk matrix $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ siges at være invertibel, hvis der eksisterer en matrix $B \in \mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F})$ , så

$A \cdot B = B \cdot A = \mathrm{I}_n. \tag{4.1}$ I givet fald betegnes matricen $B$ også med notationen $A^{-1}$ . Matricen $A^{-1}$ kaldes også for den inverse matrix til $A$ . En matrix der ikke er invertibel kaldes for singulær.

Angiv en skalar $\alpha$ , så

$\alpha \cdot \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ er en invers til

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}.$

Dit svar: Det er en

Såfremt en kvadratisk matrix $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ er invertibel, så er den inverse matrix $A^{-1}$ entydig bestemt. Dette følger af, at hvis $B$ og $C$ begge er inverse til $A$ , så vil

$B = B \cdot \mathrm{I}_n = B \cdot (A \cdot C) = (B \cdot A ) \cdot C = \mathrm{I}_n \cdot C = C. \tag{4.2}$

Notationen $A^{-1}$ kan derfor kun tolkes på én måde. Bemærk også, at hvis $A$ er invertibel med invers $B$ , så er $B$ invertibel med invers $A$ . Dette følger direkte af betingelsen (4.1) for invertibilitet. Med andre ord så er $A^{-1}$ invertibel med invers $A$ , hvilket med den indførte notation betyder, at

$\big( A^{-1} \big)^{-1} = A. \tag{4.3}$

Betragt de reelle matricer

$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{pmatrix} \text{ og } B= \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix}.$ Idet

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix},$ så er $A$ invertibel med invers $B$ . Altså er

$A^{-1}= \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_2(\mathbb{R}).$ Matricen

$C= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_2(\mathbb{R}),$ er derimod ikke invertibel, idet der for arbitrære reelle tal $a,b,c,d$ gælder, at

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c & b+d \\ a+c & b+d \\ \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

At en matrix $A$ er invertibel betyder løst sagt, at vi kan dividere med $A$ . Specielt vil det lineære ligningssystem $A \cdot \bm{x} = \bm{b}$ have præcis en løsning.

Lad $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ betegne en invertibel matrix, og lad $\bm{b} \in \mathbb{F}^n$ betegne en vektor. Så vil ligningssystemet $A \cdot \bm{x} = \bm{b}$ have præcis én løsning og denne er lig $A^{-1} \bm{b}$ .

Bevis

Sæt ${\bm{v}}=A^{-1} \bm{b}$ . At ${\bm{v}}$ er en løsning til $A \cdot \bm{x} = \bm{b}$ følger af beregningen

$A \cdot {\bm{v}} = A \cdot (A^{-1} \cdot \bm{b}) = (A \cdot A^{-1}) \cdot \bm{b} = \mathrm{I}_n \cdot \bm{b} = \bm{b}. \tag{4.4}$ Antag nu, at $\bm{u} \in \mathbb{F}^n$ også er en løsning til $A \cdot \bm{x} = \bm{b}$ . Så vil

$\bm{u} = \mathrm{I}_n \cdot \bm{u} = (A^{-1} \cdot A) \cdot \bm{u} = A^{-1} \cdot (A \cdot \bm{u}) = A^{-1} \cdot \bm{b}= {\bm{v}}, \tag{4.5}$ som ønsket.

Det er endnu uklart, hvordan det konkret afgøres, om en given matrix er invertibel. Følgende resultat er første skridt i den retning.

Lad $A \in \mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F})$ , og lad $H$ betegne en matrix på RREF, der er rækkeækvivalent med $A$ . Så er følgende udsagn ækvivalente:

For ethvert $\bm{b} \in \mathbb{F}^n$ der har det lineære ligningssystem $A \cdot \bm{x} = \bm{b}$ præcis én løsning.
Det homogene lineære ligningssystem $A \cdot \bm{x} = \bm{0}$ har alene løsningen $\bm{0}$ .
Antallet af frie ubekendte for det homogene (fuldstændigt) reducerede ligningssystem $H \cdot \bm{x} = \bm{0}$ er lig $0$ .
Matricen $H$ er lig identitetsmatricen $\mathrm{I}_n$ .

Bevis

Udsagn (1.) $\Rightarrow$ (2.): Oplagt, idet nulvektoren $\bm{0}$ er en løsning til ethvert homogent ligningssystem.

Udsagn (2.) $\Rightarrow$ (3.): Ligningssystemerne $A \cdot \bm{x} = \bm{0}$ og $H \cdot \bm{x} = \bm{0}$ er ækvivalente, så hvis (2.) er opfyldt, så har det reducerede ligningssystem $H \cdot \bm{x} = \bm{0}$ præcis en løsning. Specielt er (3.) opfyldt jf. Proposition 1.12.

Udsagn (3.) $\Rightarrow$ (4.): Idet $H$ er på RREF, så eksisterer der en følge af naturlige tal

$1 \leq d_1 < d_2 < \cdots < d_r \leq n, \tag{4.6}$ så egenskaberne i Definition 2.7 er opfyldt for $H$ . Idet vi betegner den $(i,j)$ 'te indgang i $H$ med $h_{ij}$ , så har vi dermed specielt, at

$h_{i d_j}= \begin{cases} 1 & \text{hvis } i=j, j \leq r \\ 0 & \text{hvis } i \neq j, j \leq r \end{cases} \tag{4.7}$ Anvend nu, at $x_{d_1}, x_{d_2}, \ldots, x_{d_r}$ netop er de ledende ubekendte for det lineære ligningssystem $H \cdot \bm{x} = \bm{0}$ . Så hvis der ikke er frie ubekendte, så må $r=n$ og $d_i=i$ , for $i=1,2,\ldots,n$ . Dermed er (4.7) ækvivalent med, at $H$ er identitetsmatricen.

Udsagn (4.) $\Rightarrow$ (1.): Hvis (4.) er opfyldt, så vil totalmatricen $\left( A| \bm{b} \right)$ for systemet $A \cdot \bm{x} = \bm{b}$ være rækkeækvivalent med $\left( \mathrm{I}_n | \bm{c} \right)$ for en passende vektor $\bm{c} \in \mathbb{F}^n$ . Specielt er løsningsmængderne til $A \cdot \bm{x} = \bm{b}$ og $\mathrm{I}_n \cdot \bm{x} = \bm{c}$ identiske. Men $\mathrm{I}_n \cdot \bm{x} = \bm{c}$ har alene løsningen $\bm{c}$ , og dermed er (1.) opfyldt.

Lad $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ betegne en matrix, der opfylder et af de ækvivalente udsagn i Lemma 4.4. Så eksisterer der en kvadratisk matrix $B \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ , så $A \cdot B= \mathrm{I}_n$ .

Bevis

Ifølge antagelsen så opfylder $A$ alle de ækvivalente udsagn i Lemma 4.4. Specielt har alle ligningssystemer af formen $A \cdot \bm{x} = \bm{b}$ en løsning. Lad nu $\bm{e}_i \in \mathbb{F}^n$ , for $i=1,2,\ldots,n$ , betegne den $i$ 'te søjle i identitetsmatricen $\mathrm{I}_n$ , og lad $\bm{b}_i$ betegne en løsning til $A \cdot \bm{x} = \bm{e}_i$ . Definer da matricen $B \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ ved

$B = \left(\begin{array}{c|c|c|c} \bm{b}_1 & \bm{b}_2 & \cdots & \bm{b}_n \end{array}\right) .$ Så gælder

$A \cdot B = \left(\begin{array}{c|c|c|c} A \cdot \bm{b}_1 & A \cdot \bm{b}_2 & \cdots & A \cdot \bm{b}_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c|c|c|c} \bm{e}_1 & \bm{e}_2 & \cdots & \bm{e}_n \end{array}\right) = \mathrm{I}_n, \tag{4.8}$ som ønsket.

Lad $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ betegne en kvadratisk matrix. Så er $A$ invertibel hvis og kun hvis $A$ opfylder de ækvivalente udsagn i Lemma 4.4.

Bevis

Ifølge Lemma 4.3 så vil en invertibel matrix opfylde udsagn (1.) i Lemma 4.4. Antag modsat, at $A$ opfylder udsagnene i Lemma 4.4. Ifølge Lemma 4.5 så eksisterer der dermed en matrix $B \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ , så $A \cdot B = \mathrm{I}_n$ .

Vi påstår nu, at $B$ også opfylder betingelse (2.) i Lemma 4.4. Antag nemlig, at ${\bm{v}} \in \mathbb{F}^n$ er en løsning til det homogene ligningssystem $B \cdot \bm{x} = \bm{0}$ . Så vil

${\bm{v}} = \mathrm{I}_n \cdot {\bm{v}} = (A \cdot B) \cdot {\bm{v}} = A \cdot (B \cdot {\bm{v}}) = A \cdot \bm{0} = \bm{0}, \tag{4.9}$ som ønsket. Specielt kan vi anvende Lemma 4.5 på $B$ , og vi konkluderer, at der eksisterer en matrix $C \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ , så $B \cdot C = \mathrm{I}_n$ .

Idet $A \cdot B = B \cdot C = \mathrm{I}_n$ , så er det nu tilstrækkeligt at vise, at $C=A$ (i givet fald er $B$ en invers til $A$ ). Dette følger af beregningen

$A = A \cdot \mathrm{I}_n = A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B ) \cdot C = \mathrm{I}_n \cdot C = C, \tag{4.10}$ og beviset er hermed afsluttet.

Betragt matricen

$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 6 \\ 2 & 4 & 7 \\ \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_3(\mathbb{R}). \tag{4.11}$ Ved at trække $2$ gange række $1$ fra både række $2$ og $3$ opnås den rækkeækvivalente form

$A \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_3(\mathbb{R}), \tag{4.12}$ hvor vi allerede kan aflæse pivoternes placering i den tilsvarende reducerede række-echelonform for $A$ . Der er pivoter i alle søjler, og $A$ er dermed rækkeækvivalent med identitetsmatricen. Ifølge Lemma 4.4 og Proposition 4.6 er $A$ derfor invertibel.

Ovenstående leder frem til et mindre restriktivt krav for invertibilitet:

Lad $A,B \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ . Hvis $B \cdot A = \mathrm{I}_n$ , så er $A$ invertibel med invers $B$ .

Bevis

Vi påstår, at $A$ opfylder betingelse (2.) i Lemma 4.4. Antag nemlig, at ${\bm{v}} \in \mathbb{F}^n$ er en løsning til det homogene ligningssystem $A \cdot \bm{x} = \bm{0}$ . Så vil

${\bm{v}} = \mathrm{I}_n \cdot {\bm{v}} = (B \cdot A) \cdot {\bm{v}} = B \cdot (A \cdot {\bm{v}}) = B \cdot \bm{0} = \bm{0}, \tag{4.13}$ som ønsket. Specielt er $A$ invertibel ifølge Proposition 4.6. At $B$ er den inverse til $A$ følger af beregningen

$B = B \cdot \mathrm{I}_n = B \cdot (A \cdot A^{-1}) = (B \cdot A) \cdot A^{-1} = \mathrm{I}_n \cdot A^{-1} = A^{-1}.$

Det bemærkes, at der dermed automatisk gælder, at $A \cdot B = \mathrm{I}_n$ , hvis blot $B \cdot A = \mathrm{I}_n$ .

Invertibilitet for ikke-kvadratiske matricer $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ er ikke defineret. Det naturlige krav om at der eksisterer en matrix $B \in \mathrm{Mat}_{n,m}(\mathbb{F})$ , så

$A \cdot B = \mathrm{I}_m \text{ og } B \cdot A = \mathrm{I}_n,$ implicerer nemlig, at $n=m$ . Dette indses ved at bemærke, at identiteten $B \cdot A = \mathrm{I}_n$ nødvendigvis betyder, at det homogene lineære ligningssystem $A \cdot \bm{x} = \bm{0}$ kun har den trivielle løsning $\bm{0}$ : hvis $A \cdot {\bm{v}} = \bm{0}$ , så vil

${\bm{v}} = \mathrm{I}_n \cdot {\bm{v}} = (B \cdot A) \cdot {\bm{v}} = B \cdot (A \cdot {\bm{v}}) = B \cdot \bm{0} = \bm{0}.$ Som en konsekvens heraf gælder, jf. Proposition 1.18, at $m \geq n$ . Tilsvarende vil identiteten $A \cdot B = \mathrm{I}_m$ implicere, at $n \geq m$ , og samlet set er $n=m$ som påstået.

Invertibilitet er bevaret under matrixprodukt:

Såfremt $A, B \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ er invertible matricer, så er produktet $A \cdot B$ invertibel med invers

$(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}. \tag{4.14}$

Bevis

Idet $A$ og $B$ er invertible, så eksisterer de inverse matricer $A^{-1}$ og $B^{-1}$ . Sæt $C= B^{-1} \cdot A^{-1}$ . Så

$C \cdot (A \cdot B) = B^{-1} \cdot A^{-1} \cdot A \cdot B= B^{-1} \cdot \mathrm{I}_n \cdot B = B^{-1} \cdot B = \mathrm{I}_n,$ og ifølge Korollar 4.8 er $A \cdot B$ dermed invertibel med invers $C=B^{-1} \cdot A^{-1}$ .

Vi kan yderligere generalisere Proposition 4.10 til udsagnet:

Lad $A_1, \ldots, A_k \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ betegne en samling af invertible matricer. Så er produktet

$A_1 A_2 \cdots A_k \tag{4.15}$ invertibel med invers

$A_k^{-1} A_{k-1}^{-1} \cdots A_1^{-1}. \tag{4.16}$

Bevis

Udsagnet vises via induktion i $k$ . Hvis $k=1$ er udsagnet trivielt. Antag derfor, at $k \geq 2$ , og at udsagnet er vist i tilfældet $k-1$ . Dermed er matricen

$B = A_1 A_2 \cdots A_{k-1}$ invertibel med invers

$B^{-1} = A_{k-1}^{-1} \cdots A_1^{-1}.$ Idet

$A_1 A_2 \cdots A_k = B \cdot A_k,$ så følger det nu af Proposition 4.10, at $A_1 A_2 \cdots A_k$ er invertibel med invers

$A_k^{-1} \cdot B^{-1} = A_k^{-1} A_{k-1}^{-1} \cdots A_1^{-1},$ som ønsket.

4.1 Bestemmelse af den inverse matrix

Som beskrevet i slutningen af Kapitel 2 så egner matrixnotationen sig specielt godt til tilfælde, hvor vi ønsker at løse flere lineære ligningssystemer af formen

$A \cdot \bm{x} = \bm{b}_i, \quad \text{for } i=1, 2, \ldots, l, \tag{4.17}$ på samme tid. Ideen er at samle vektorerne $\bm{b}_i$ , $i=1,\ldots,l$ , som søjler i en matrix $B$ og herefter udføre elementære rækkeoperationer på den opdelte matrix $\left( A | B \right)$ . Denne idé danner grundlaget for en konkret metode til bestemmelse af inverse matricer.

Lad $A \in \mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F})$ betegne en invertibel matrix og $B \in \mathrm{Mat}_{n,l}(\mathbb{F})$ . Matricen $\left( A|B \right)$ er da rækkeækvivalent med en entydig matrix på formen $\left( \mathrm{I}_n|C \right)$ , hvor $C \in \mathrm{Mat}_{n,l}(\mathbb{F})$ . Matricen $C$ er lig produktet $A^{-1} \cdot B$ .

Bevis

Ifølge Proposition 4.6 så er $A$ rækkeækvivalent med $\mathrm{I}_n$ . Specielt kan vi rækkereducere $\left( A|B \right)$ til formen $\left( \mathrm{I}_n|C \right)$ for en matrix $C \in \mathrm{Mat}_{n,l}(\mathbb{F})$ . Vi skal vise, at $C$ nødvendigvis er lig $A^{-1} \cdot B$ : lad $\bm{b}_i$ (hhv. $\bm{c}_i$ ) betegne den $i$ 'te søjle i $B$ (hhv. $C$ ). Så er (ifølge den ovenfor omtalte diskussionen i slutningen af Kapitel 2) de lineære ligningssystemer $A \cdot \bm{x} = \bm{b}_i$ og $\mathrm{I}_n \cdot \bm{x}= \bm{c}_i$ ækvivalente. Men ligningssystemet $\mathrm{I}_n \cdot \bm{x}= \bm{c}_i$ har den entydige løsning $\bm{c}_i$ , mens løsningen til $A \cdot \bm{x} = \bm{b}_i$ er beskrevet ved $A^{-1} \cdot \bm{b}_i$ . Vi konkluderer dermed, at $\bm{c}_i = A^{-1} \cdot \bm{b}_i$ , for $i=1,\ldots,l$ . Bemærk nu, at $A^{-1} \cdot \bm{b}_i$ , pr. definitionen af matrixproduktet, er den $i$ 'te søjle af produktet $A^{-1} \cdot B$ . Dermed er søjlerne i $C$ og $A^{-1} \cdot B$ identiske, og specielt er $C= A^{-1} \cdot B$ .

Bemærk, at ovenstående resultat giver en konkret metode til at bestemme $A^{-1} \cdot B$ vha. elementære rækkeoperationer. Specielt kan vi anvende resultatet på tilfældet $B= \mathrm{I}_n$ og herved opnå en metode til bestemmelse af den inverse $A^{-1}$ til $A$ . Vi illustrerer denne vigtige metode med et eksempel.

I Eksempel 4.7 viste vi, at matricen

$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 6 \\ 2 & 4 & 7 \\ \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_3(\mathbb{R}), \tag{4.18}$ var invertibel, og vi vil nu bestemme den inverse. Vi indfører matricen

$T = \left(\begin{array}{c|c} \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 6 \\ 2 & 4 & 7 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \end{array}\right) \tag{4.19}$

og udfører elementære rækkeoperationer

$\begin{alignedat}{2} T & \sim \left(\begin{array}{c|c} \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{matrix} \end{array}\right) & & \sim \left(\begin{array}{c|c} \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{3} \end{matrix} \end{array}\right) \\ & \sim \left(\begin{array}{c|c} \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{3} \end{matrix} \end{array}\right) & & \sim \left(\begin{array}{c|c} \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} & \begin{matrix} \frac{5}{3} & 1 & -\frac{4}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{3} \end{matrix} \end{array}\right) . \end{alignedat}$ Vi kan hermed konkludere, at den inverse til $A$ er lig

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{5}{3} & 1 & -\frac{4}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} . \tag{4.20}$

Ovenstående metode til bestemmelse af $A^{-1}$ kræver, at man på forhånd ved, at $A$ er invertibel. Hvis invertibiliteten af $A$ er ukendt, så kan man stadigvæk udføre elementære rækkeoperationer på $\left( A| \mathrm{I}_n \right)$ og opnå en matrix på formen $\left( H|C \right)$ , hvor $H$ er på RREF. Om $A$ er invertibel afgøres da af, om $H$ er lig $\mathrm{I}_n$ (jf. Proposition 4.6). I givet fald, så aflæses den inverse $A^{-1}$ til $C$ (jf. Proposition 4.12). Man bestemmer altså i samme proces, om $A$ er invertibel og, i givet fald, udseendet af $A^{-1}$ .

Man kan sammenfatte ovenstående konklusioner til en algoritme til bestemmelse af en mulig invers til en matrix $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ . I det følgende kan du undersøge, om du har forstået rækkefølgen af de enkelte skridt i algoritmen.

Angiv en algoritme til bestemmelse af $A^{-1}$ :

Den inverse $A^{-1}$ til $A$ er da lig $C$ .

Udfør ERO på $\left( A|\mathrm{I}_n \right)$ til den har formen $\left( H|C \right)$ , hvor $H$ er på RREF.

Hvis $H \neq \mathrm{I}_n$ , så er $A$ ikke invertibel og vi stopper.

Opskriv den opdelte matrix $\left( A|\mathrm{I}_n \right)$ .

Ellers fortsætter vi og konkluderer, at $A$ er invertibel.