I dette kapitel betragter vi mængden af
kvadratiske matricer af
en fast størrelse . At
består af kvadratiske
matricer betyder, at vi kan betragte
multiplikation som en komposition på
; dvs. hvis og er
elementer i , så giver
produktet mening, og
derudover er matricen
selv et element i . Ydermere
så indeholder et neutralelement
for multiplikation; nemlig identitetsmatricen
af størrelse . Vi kan derfor
definere, hvad vi skal mene med det
(multiplikative) inverse element til en matrix i .
[Invertible matricer]
En kvadratisk matrix siges at være invertibel,
hvis der eksisterer en matrix , så
I givet fald betegnes matricen også med notationen
. Matricen kaldes også for den inverse matrix til . En matrix der ikke
er invertibel kaldes for singulær.
Angiv en skalar , så
er en invers til
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Korrekt!Forkert.
Såfremt en kvadratisk matrix
er invertibel, så er den inverse matrix
entydig bestemt. Dette følger af, at hvis og
begge er inverse til , så vil
Notationen kan derfor kun tolkes på én måde. Bemærk også, at hvis er invertibel med
invers , så er invertibel med invers
. Dette følger direkte af betingelsen
(4.1) for invertibilitet. Med andre
ord så er invertibel med invers ,
hvilket med den indførte notation betyder, at
Betragt de reelle matricer
Idet
så er invertibel med invers . Altså er
Matricen
er derimod ikke invertibel, idet der for
arbitrære reelle tal gælder, at
At en matrix er invertibel betyder løst sagt, at vi
kan dividere med . Specielt vil det
lineære ligningssystem
have præcis en løsning.
Lad betegne en invertibel
matrix, og lad betegne en
vektor. Så vil ligningssystemet
have præcis én løsning og denne er lig
.
Udsagn (1.)(2.): Oplagt, idet nulvektoren er en løsning til ethvert homogent ligningssystem.Udsagn (2.)(3.):
Ligningssystemerne og er ækvivalente, så hvis
(2.) er opfyldt, så har det reducerede
ligningssystem præcis en løsning. Specielt
er (3.) opfyldt jf. Proposition 1.12.Udsagn (3.)(4.):
Idet
er på RREF, så eksisterer der
en følge af naturlige tal
så egenskaberne i Definition 2.7
er opfyldt for . Idet vi betegner den 'te indgang
i med , så har vi
dermed specielt, at
Anvend nu, at netop er de ledende ubekendte for det lineære
ligningssystem . Så hvis der ikke er frie ubekendte, så må
og , for . Dermed er (4.7)
ækvivalent med, at
er identitetsmatricen.Udsagn (4.)(1.):
Hvis
(4.) er opfyldt, så vil totalmatricen
for systemet være
rækkeækvivalent med for en passende vektor
. Specielt er løsningsmængderne til og identiske. Men har alene løsningen , og dermed er
(1.) opfyldt.
Lad betegne en matrix,
der opfylder et af de ækvivalente udsagn i Lemma 4.4. Så eksisterer
der en kvadratisk matrix ,
så .
Ifølge antagelsen så opfylder alle de
ækvivalente udsagn i Lemma 4.4. Specielt har alle ligningssystemer af formen
en løsning. Lad nu , for , betegne den 'te søjle i identitetsmatricen , og lad
betegne en løsning til .
Definer da matricen ved
Så gælder
som ønsket.
Lad betegne en kvadratisk matrix. Så er invertibel hvis og kun hvis
opfylder de ækvivalente udsagn i
Lemma 4.4.
Ifølge Lemma 4.3 så vil en invertibel
matrix opfylde udsagn (1.) i
Lemma 4.4. Antag modsat, at
opfylder udsagnene i Lemma 4.4.
Ifølge Lemma 4.5 så eksisterer
der dermed en matrix , så
.Vi påstår nu, at også opfylder betingelse (2.) i Lemma 4.4. Antag nemlig, at
er en løsning til det homogene
ligningssystem . Så vil
som ønsket. Specielt kan vi anvende
Lemma 4.5 på , og vi konkluderer,
at der eksisterer en matrix ,
så .Idet , så er
det nu tilstrækkeligt at vise, at (i givet
fald er en invers til ). Dette
følger af beregningen
og beviset er hermed afsluttet.
Betragt matricen
Ved at trække gange række fra både række og opnås
den rækkeækvivalente form
hvor vi allerede kan aflæse pivoternes placering i den tilsvarende
reducerede række-echelonform for . Der er pivoter i alle søjler,
og er dermed rækkeækvivalent med identitetsmatricen. Ifølge
Lemma 4.4
og
Proposition 4.6
er derfor invertibel.
Ovenstående leder frem til et mindre
restriktivt krav for invertibilitet:
Vi påstår, at opfylder betingelse (2.) i Lemma 4.4. Antag nemlig, at
er en løsning til det homogene
ligningssystem . Så vil
som ønsket. Specielt er invertibel ifølge
Proposition 4.6. At er den inverse til
følger af beregningen
Det bemærkes, at der dermed automatisk
gælder, at , hvis
blot .
Invertibilitet for ikke-kvadratiske matricer
er ikke defineret.
Det naturlige krav om at der eksisterer en matrix , så
implicerer nemlig, at . Dette indses
ved at bemærke, at identiteten nødvendigvis betyder, at det homogene
lineære ligningssystem
kun har den trivielle løsning : hvis
, så vil
Som en konsekvens heraf gælder, jf.
Proposition 1.18, at
. Tilsvarende vil identiteten
implicere, at
, og samlet set er som
påstået.
Invertibilitet er bevaret
under matrixprodukt:
Såfremt er invertible matricer, så er produktet
invertibel med invers
Udsagnet vises via induktion i . Hvis er udsagnet
trivielt. Antag derfor, at , og at udsagnet er vist i
tilfældet . Dermed er matricen
invertibel med invers
Idet
så følger det nu af Proposition 4.10, at er invertibel med invers
som ønsket.
4.1 Bestemmelse af den inverse matrix
Som beskrevet i slutningen af Kapitel 2 så egner
matrixnotationen sig specielt godt til tilfælde, hvor vi ønsker at løse
flere lineære ligningssystemer af formen
på samme tid. Ideen er at samle vektorerne , , som
søjler i en matrix og herefter udføre elementære rækkeoperationer
på den opdelte matrix . Denne idé danner grundlaget for en konkret metode til bestemmelse af inverse matricer.
Lad betegne en invertibel matrix og . Matricen er da rækkeækvivalent
med en entydig matrix på formen , hvor . Matricen er lig produktet .
Ifølge
Proposition 4.6
så er rækkeækvivalent med
. Specielt kan vi rækkereducere til formen
for en matrix . Vi
skal vise, at nødvendigvis er lig : lad
(hhv. ) betegne den 'te søjle i (hhv. ). Så er
(ifølge den ovenfor omtalte diskussionen i slutningen af
Kapitel 2) de lineære ligningssystemer og ækvivalente. Men
ligningssystemet har den entydige
løsning , mens løsningen til er
beskrevet ved . Vi konkluderer dermed, at , for . Bemærk nu, at , pr. definitionen af matrixproduktet, er
den 'te søjle af produktet . Dermed er søjlerne i og identiske, og specielt er .
Bemærk, at ovenstående resultat giver en konkret metode til at bestemme
vha. elementære rækkeoperationer. Specielt kan vi
anvende resultatet på tilfældet og
herved opnå en metode til
bestemmelse af den inverse til . Vi illustrerer denne
vigtige metode med et eksempel.
I Eksempel 4.7 viste vi, at matricen
var invertibel, og vi vil nu bestemme den inverse. Vi indfører
matricen
og udfører elementære rækkeoperationer
Vi kan hermed konkludere, at den inverse til er lig
Ovenstående metode til bestemmelse af kræver, at man på
forhånd ved, at er invertibel. Hvis invertibiliteten af er
ukendt, så kan man stadigvæk udføre elementære rækkeoperationer på
og opnå en matrix på formen , hvor
er på RREF. Om er invertibel afgøres da af, om er lig
(jf. Proposition 4.6). I givet fald, så aflæses den
inverse til (jf. Proposition 4.12). Man
bestemmer altså i samme proces, om er invertibel og, i givet fald,
udseendet af .Man kan sammenfatte ovenstående konklusioner til en algoritme til
bestemmelse af en mulig invers til en matrix .
I det følgende kan du undersøge, om du har forstået rækkefølgen
af de enkelte skridt i algoritmen.
Angiv en
algoritme til bestemmelse af :
Den inverse til er da lig .
Udfør ERO på til den
har formen , hvor
er på RREF.
Hvis , så er ikke invertibel
og vi stopper.
Opskriv den opdelte matrix .
Ellers fortsætter vi og konkluderer, at
er invertibel.
Korrekt!
Ja, dette er den rigtige rækkefølge til bestemmelse af en mulig invers.Forkert.
Prøv igen!