I dette kapitel betegner en lineær operator på et
-vektorrum af endelig dimension . Med mindre andet er
anført, så er der ingen begrænsninger på legemet .
[Diagonaliserbar]
Den lineære operator kaldes
diagonaliserbar, såfremt der eksisterer
en basis for bestående
af egenvektorer for . En matrix siges at være
diagonaliserbar, hvis det tilsvarende er gældende for den lineære
operator .
Lad betegne matricen
Så diagonaliserbar, idet med og er
en basis for bestående af egenvektorer for operatoren .
Korrekt!Forkert.
Betragt følgende matricer som elementer i . Markér dem, der er diagonaliserbare.
At vi anvender betegnelsen diagonaliserbar er forklaret ved
følgende resultat.
Lad betegne en basis for . Så er
en basis af egenvektorer for hvis og kun hvis
matrixrepræsentationen er diagonal. I givet
fald er den 'te diagonalindgang i lig
egenværdien for .
Lad betegne en operator på et reelt vektorrum
af dimension . Antag, at er en basis
for bestående af egenvektorer for . Antag yderligere, at matrixrepræsentationen
er lig
Så er egenværdierne for , og lig hhv.
og .
Korrekt!Forkert.
Start med at bemærke, at den 'te søjle i
er lig koordinatvektoren ,
jf. Definition 8.14.Hvis er
en basis for bestående af egenvektorer
for , så vil den 'te søjle i være lig
hvor betegner egenværdien for .
Specielt er da diagonal med 'te
diagonalindgang lig .Hvis omvendt er
diagonal med diagonalindgange , så er
og dermed gælder der nødvendigvis, at
for .
Specielt består af egenvektorer, og
egenværdien for er lig ,
for .
I tilfældet , for , kan vi reformulere dette
som:
Lad . For en invertibel matrix
vil
være en diagonalmatrix hvis og kun hvis søjlerne i udgør en
basis for bestående af egenvektorer for . I givet fald
vil egenværdien for den 'te søjle i være identisk med den
'te diagonalindgang i . Specielt er diagonaliserbar hvis
og kun hvis er similær til en diagonalmatrix.
Lad betegne en matrix med søjler . Jf. Proposition 7.4, så udgør
en basis for , netop når er
invertibel. Såfremt er invertibel, så vil vi yderligere have, at
ifølge Eksempel 8.10(1.), og dermed er
jf. Korollar 8.18 og Proposition 8.8.
Udsagnet følger da af Proposition 13.4.
Angiv en reel matrix, der er diagonaliserbar, men som ikke er diagonal.
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Korrekt!Forkert.
At er en lineær operator, gør, at man kan sammensætte med sig
selv; dvs. sammensætningen giver mening. Faktisk kan man
sammensætte med sig selv et vilkårligt antal gange. Vi anvender
betegnelsen , for et heltal , om sammensætningen af med sig selv gange.
Hvis er en egenvektor for
med egenværdi , så er en
egenvektor for med tilhørende egenværdi
.
Vi argumenterer via induktion i .
Hvis , så er udsagnet oplagt. Antag
derfor, at , og at udsagnet er opfyldt
for . Så gælder der, at
og det ønskede er opnået.
I
konkrete tilfælde er det ofte nyttigt, men også svært, at sige noget
fornuftigt om , når er et stort tal. For diagonaliserbare
lineære operatorer er det dog let at håndtere potenserne .
Antag at er en diagonaliserbar lineær operator, og lad betegne en basis for bestående af
egenvektorer for . For skalarer gælder der, at
hvor , for , betegner
egenværdien for ift. .
Ifølge Lemma 13.7, så er en
egenvektor for med egenværdi .
Derfor fås
som påstået.
Bemærk, at der med antagelserne i
Proposition 13.8 gælder, at ethvert
element i er på formen
,
og at Proposition 13.8 dermed giver
en fuldstændig beskrivelse af .Såfremt vi kender alle egenværdier for , så kan følgende kriterium
anvendes til at afgøre, om en lineær operator er diagonaliserbar.
Lad betegne samtlige egenværdier for . Så er diagonaliserbar hvis og kun hvis
I givet fald så kan man konstruere en basis
for bestående af egenvektorer for
på følgende vis: sæt , for ,
og lad
betegne en basis for egenrummet . Samlingen (ordnet
i vilkårlig rækkefølge)
er da en basis for bestående af egenvektorer for .
Konstruer som angivet ovenfor, og bemærk, at
består af egenvektorer for . Ifølge
Proposition 12.13 er lineært uafhængig
og derfor en basis for . Specielt er
et underrum i af dimension
Antag nu, at (13.2) er opfyldt.
Så er ,
og, jf. Proposition 7.16, så
har vi dermed, at . Vi
konkluderer, at en basis for .
Specielt er diagonaliserbar.Antag nu omvendt, at er diagonaliserbar
og lad
betegne en basis for bestående af egenvektorer
for . Idet , for
, er en egenvektor, så er indeholdt i egenrummet for et passende . Specielt er
en linearkombination af elementerne i . Men elementerne i
er en delmængde af elementer i , og dermed er
indeholdt i . Da dette gælder for alle basiselementerne i
, så må
og dermed må . Vi konkluderer hermed,
at
som ønsket.
Lad betegne en matrix i .
Vha. Proposition 13.9 så kan man beskrive en algoritme,
der bestemmer om matricen er diagonaliserbar.
Angiv skridtene i den rækkefølge man skal udføre dem.
Bestem samtlige egenværdier for .
Bestem dimensionen af hvert egenrum.
Bestem for hver egenværdi en RREF for matricen .
Sammenlign summen af dimensionerne af egenrummene med .
Find den inverse matrix til .
Forkert.
Det kan være en god idé at bestemme egenværdierne for først.Forkert.
For at bestemme dimensionerne af egenrummene, så skal man først kende egenværdierne.Forkert.
For at bestemme dimensionen af egenrummet hørende
til , så skal man først kende en RREF
for .Forkert.
For at bestemme summen af dimensionerne af egenrummene, så skal man
først kende dimensionerne af hvert egenrum.Forkert.
Hvad vil du bruge den inverse matrix til?
Og hvad hvis ikke er invertibel?Korrekt!
Nemlig! Summen af dimensionerne af egenrummene er lig , hvis og kun hvis er diagonaliserbar.Forkert.
Prøv igen!
Såfremt man med ovenstående algoritme finder, at er
diagonaliserbar, så fortæller Proposition 13.9 også,
hvordan man bestemmer en basis for bestående af egenvektorer for .
Angiv skridtene i den rækkefølge man skal udføre dem.
Bestem for hver egenværdi
den RREF for .
Find den inverse matrix til .
Saml basisvektorene for hvert af egenrummene
og opnå herved en basis for bestående
af egenvektorer for .
For hver egenværdi
er basen for nulrummet
også en
basis for egenrummet .
Bestem samtlige egenværdier for .
Bestem for hver egenværdi
en basis for nulrummet
af
.
Forkert.
Det kan være en god idé at bestemme egenværdierne for
som det første.Forkert.
For at arbejde med egenværdier, så skal man først kende dem.Forkert.
For at kunne betragte mængden af alle basisvektorene for
egenrummene, så skal man kende dem først!Forkert.
For at kunne bestemme en basis for nulrummene
, så er det en god ide
først at kende den RREF af .Forkert.
Hvad vil du bruge den inverse matrix til?
Og hvad hvis ikke er invertibel?Korrekt!
Nemlig! Hvis matricen er diagonaliserbar, så udgør mængden
af basisvektorene for egenrummene en basis for .Forkert.
Prøv igen!
Til tider er følgende konsekvens af Proposition 13.9 anvendelig.
Lad betegne en lineær operator på et
vektorrum af dimension . Hvis
har parvist forskellige egenværdier,
så er diagonaliserbar.
Lad
betegne parvist forskellige egenværdier for
. Jf. Proposition 12.5, så udgør disse
egenværdier nødvendigvis alle mulige egenværdier
for . Herudover så er , for . Proposition 12.13
implicerer da, at
og dermed gælder der nødvendigvis, at er
diagonaliserbar, jf. Proposition 13.9.
Det modsatte af udsagnet i Korollar 13.10 gælder ikke.
Med andre ord så behøver diagonaliserbare lineære operatorer
ikke have
forskellige egenværdier.
Angiv en reel matrix ,
der er diagonaliserbar, men som ikke
har to forskellige egenværdier.
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Korrekt!Forkert.
Antag at indeholder uendeligt mange elementer. Såfremt er
diagonaliserbar, så er
for alle skalarer .
Hvis ikke er en egenværdi for , så er
Lad herefter betegne
samtlige egenværdier for . Så er
for , jf. Proposition 12.30. Herudover giver
Proposition 12.31, og antagelsen, jf. Proposition 13.9, at
hvilket kun er muligt, hvis vi har lighedstegn i (13.5)
for alle .
Betragt den reelle matrix
fra Eksempel 12.17(1.). Vi fandt tidligere, at har egenværdierne
og . De tilhørende egenrum er givet
ved
hvor
Specielt er
og er dermed diagonaliserbar, jf. Proposition 13.9 (alternativt kan man
anvende Korollar 13.10 til at
indse dette). Yderligere er
en
basis for bestående af egenvektorer
for . Derudover er matricen
invertibel og opfylder, at
ifølge Lemma 13.5.
Betragt den reelle matrix
fra Eksempel 12.11 (se også Eksempel 12.17(2.)). Vi har tidligere
bestemt egenværdierne for til
og . De
tilhørende
geometriske multipliciteter er givet ved
Idet
så er diagonaliserbar ifølge Proposition 13.9. Yderligere er
med
en basis for bestående af egenvektorer.
Matricen
er da invertibel og opfylder, at
ifølge Lemma 13.5.
Betragt den reelle matrix
fra Eksempel 12.29. Vi fandt tidligere, at alene har
egenværdien , og at
Matricen er dermed ikke diagonaliserbar,
jf. Proposition 13.9. Dette følger også af
Korollar 13.13, idet er forskellig fra
.
Følgende eksempel illustrerer, hvordan potenser af matricer kan tænkes
at forekomme i konkrete problemstillinger, og
viser samtidig, hvordan en
diagonalisering kan være yderst anvendelig.
Lad os tænke os givet følgende konkrete problem: i kurset
Lineær Algebra starter der 400 studerende. Antallet af
studerende der deltager i forelæsningerne, varierer på følgende vis:
(cirka) af de studerende der deltager i en
forelæsning, vil også deltage i den følgende forelæsning. Af dem som ikke deltog i en forelæsning, der vil deltage
i den følgende forelæsning. Hvis vi antager,
at alle møder op til den første forelæsning, hvor mange studerende
er der så tilbage ved den 28. forelæsning?
(Svarende til forelæsninger pr. uge i uger).Lad os med og betegne antallet af studerende der
hhv. deltager og ikke-deltager i forelæsning
nr. . Med de givne
forudsætninger har vi da
eller, ækvivalent hermed,
hvor
Vi konkluderer, at
som vi skal beregne for . Det karakteristiske polynomium for
beregnes til
med rødder
De tilsvarende egenrum beregnes til og
, hvor
Bemærk nu, at
og dermed, jf. Proposition 13.8, er
Der vil altså være cirka studerende tilbage ved den sidste
forelæsning.