I de euklidiske rum er vi vant til at arbejde med indlagte
koordinatsystemer. F.eks. skitserer man ofte planen ved at
tegne et tilhørende koordinatsystem bestående af to vinkelrette linjer
kaldet -aksen og -aksen. Faktisk er man så vant til dette billede,
at man let glemmer, at koordinatsystemet ikke er en del af mængden
. Koordinatsystemet bruges alene til at navngive punkter i
ud fra dets tilhørende koordinater. For et generelt
-vektorrum er basisbegrebet den naturlige generalisering af
koordinatsystemer. En basis for et -vektorrum giver
anledning til en bijektiv afbildning
Idet er
bijektiv, så vil punkterne i svare 1-1 til punkterne i , og
vi kan derfor bruge elementerne i til at navngive elementerne i
. Idet er lineær, så er denne navngivning ydermere så
fin, at addition og skalarmultiplikation i og er kompatible
(se Proposition 8.4 for den præcise
betydning). I praksis betyder dette, at
så snart man har valgt en basis for , så kan man
identificere med .
Betragt det reelle vektorrum af
reelle polynomier af grad . Polynomierne
og udgør elementerne i en
basis for . Den
tilsvarende identificering (eller navngivning)
af med er givet ved
afbildningen
Vi identificerer altså et
polynomium med
vektoren .F.eks. identificeres polynomiet med
, mens identificeres med
. Kompatibiliteten med addition
betyder her, at summen af
og identificeres med summen
af og .Havde vi i stedet valgt basen , så ville den valgte identifikation
være givet ved
Med denne identificering opfattes
polynomierne og som hhv.
vektorerne og .
Ovenstående eksempel illustrerer, at den
betragtede identificering af med
afhænger af den valgte basis.
Faktisk er dette en vigtig pointe, idet et smart
valg af basis kan simplificere visse problemstillinger voldsomt. Vi
illustrerer denne pointe med et eksempel.
Betragt den lineære operator
og lad os antage, at vi ønsker at beskrive sammensætningerne for .
I princippet kan bestemmes ved konkrete
beregninger ud fra beskrivelsen (8.1), men i praksis så er
dette kun muligt for små værdier af .Lad os angribe opgaven ved at udtrykke
ved hjælp af en basis
for . I første omgang betragtes basen
for . Dette giver anledning til en isomorfi
som vi kan bruge til at identificere elementer i og
. Idet
så svarer , med den valgte identificering, til den lineære afbildning
defineret ved matricen
At beskrive , via den valgte
identificering af med
, svarer altså til at beregne potenser
af . Desværre er det heller ikke
klart, hvordan er givet for store
værdier af . Vi påstår, at situationen er
mere overskuelig, hvis vi i stedet for havde valgt basen
for . For denne basis ville man identificere med
via isomorfien
Idet
så vil , via identificering vha. , svare til afbildningen
defineret ved matricen
I dette tilfælde er diagonal, og vilkårlige potenser af bestemmes derfor let
Specielt har vi dermed også en fornuftig beskrivelse af potenserne
.
Den præcise betydning af den ovenfor diskuterede
navngivning er givet ved følgende begreb.
[Koordinatvektorer]
Lad betegne en basis for et
-vektorrum . Med
koordinatvektoren for et element mht. basen
menes elementet . Koordinatvektoren
betegnes også med ; dvs.
.
Betragt basen for det reelle
vektorrum bestående af polynomier
af grad . Angiv kooordinatvektoren
for polynomiet mht.
basen .
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Korrekt!Forkert.
Vi bemærker, at koordinatvektoren for et element
er karakteriseret som den vektor
der opfylder relationen
Lad betegne en basis for et
-vektorrum . Afbildningen
er en lineær transformation; dvs.
Dette følger af Proposition 6.16, idet er en
bijektiv lineær transformation med invers .
Lad betegne standardbasen for vektorrummet
(jf. Eksempel 7.7(6.)). Så er
for alle .
Såfremt man udover også arbejder med en
anden basis
for ,
så kan man tilsvarende definere koordinatvektoren
mht. . Koordinatvektorerne
og er
ikke nødvendigvis ens, men vi vil i det
følgende beskrive, hvordan de er forbundet.
I først omgang indfører vi følgende begreb.
[Koordinattransformationsmatrix]
Lad og betegne
baser for et -vektorrum . Koordinattransformationsmatricen
for overgangen fra -basen til -basen
defineres som matricen
Betragt de to baser og
for det reelle vektorrum bestående af polynomier af grad .
Angiv koordinattransformationsmatricen for overgangen fra -basen til -basen.
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Betragt det reelle vektorrum og de to baser
Lad . Så er koordinatvektoren for mht.
, mens er koordinatvektoren for
mht. . Koordinattransformationsmatricen
for overgangen fra -basen til -basen er
lig .Korrekt!Forkert.
At koordinattransformationsmatricen er
central i beskrivelsen af sammenhængen mellem
og , følger
af nedenstående resultat.
Lad betegne en vektor i . Idet
er en basis for , så vil
for passende skalarer . Koordinatvektoren
for mht. basen er da givet ved
Idet den 'te søjle i er givet ved , så følger
det af identiteten (5.23), at
hvor vi undervejs har brugt Proposition 8.4 samt
identiteten (8.11). Dette viser
udsagn (1.).Lad nu betegne en matrix der
opfylder identiteten i udsagn (2.). Bemærk da,
at , for , og derfor må
Men er identisk med den 'te
søjle i jf. (5.23), og dermed
konkluderes det, at de 'te søjler i og
er ens, for .
Specielt er , hvilket viser
udsagn (2.).Udsagn (3.)
følger nu fra udsagn (2.) (anvendt på
tilfældet ) idet
for alle . For at indse udsagn (4.)
bemærker vi, at der, for alle , gælder
hvor de sidste to lighedstegn følger ved anvendelse af
udsagn (1.). Dermed
følger (4.) fra
udsagn (2.). Endelig
implicerer (3.) og
(4.) (anvendt på tilfældet
), at
og dermed er
(5.) opfyldt.
Lad betegne et -vektorrum med baser ,
og . Antag, at
Angiv koordinattransformationsmatricen
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Korrekt!Forkert.
Lad betegne en basis for . Så er koordinattransformationsmatricen
fra -basen til
standardbasen (jf. Eksempel 7.7(6.)), lig
Dette følger
fra Definition 8.6 idet
for
jf. Eksempel 8.5.
Specielt er koordinattransformationsmatricen
lig den inverse til matricen
,
jf. Proposition 8.8(5.).
I Eksempel 8.2 arbejdede vi med to forskellige baser
og for det reelle vektorrum
. Idet
så følger det, at
og dermed, ifølge Definition 8.6,
at
Matricen er
sværere at bestemme direkte, men hvis vi udnytter, at
er den inverse matrix til
, så kan vi bestemme
via metoderne beskrevet i forbindelse med
Proposition 4.12. Vi udfører derfor elementære
rækkeoperationer, og opnår
hvoraf det konkluderes, at
Af dette aflæser vi bl.a., at
hvilket er ækvivalent med, at
Betragt vektorerne
i . Det tjekkes let, at
er en basis for , og at
Tilsvarende så kan det tjekkes, at
med
er en basis for , og at
Vi finder altså, jf. Proposition 8.8,
at
8.1 Matrixrepræsentationer
Vi har tidligere set, jf. Lemma 6.23, at enhver lineær afbildning , kan beskrives som multiplikation med en matrix . Matricen er ydermere
entydigt bestemt, og kaldes for
standardmatrixrepræsentationen (eller blot SMR) af . Dette leder frem til følgende
definition.
[Standardmatrixrepræsentation (SMR)]
For en lineær afbildning kaldes matricen
for
standardmatrixrepræsentationen (SMR) af .
Følgende observation er da en direkte konsekvens af Lemma 6.23.
Lad betegne en
lineær transformation med SMR lig .
Så vil
for
.
Betragt nu en generel
lineær afbildning
mellem -vektorrum og af endelige dimensioner . Hvis vi indfører baser og
for hhv. og ,
så kan vi (via koordinatvektorer) identificere og med hhv. og , og på den måde opfatte
som en afbildning, hvortil der hører en SMR. Det
præcise billede er gengivet i følgende diagram:
Ideen er nu, at SMR af den lineære afbildning er relateret til
egenskaber for . I den forbindelse bemærker
vi, at
og i betragtning af Definition 8.11, så definerer vi derfor følgende:
[Matrixrepræsentation]
Lad betegne en lineær afbildning mellem
-vektorrum og med baser hhv. og
. Matrixrepræsentationen for mht.
baserne og defineres da som
matricen
Lad hhv. og betegne baser for de
to reelle vektorrum og . Betragt den
lineære transformation
Angiv matrixrepræsentationen .
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Korrekt!Forkert.
Lad betegne en lineær
afbildning mellem -vektorrum og
med baser hhv. og . Så gælder:
Lad og være givet ved hhv.
og
.
Idet er en basis for , så vil
ethvert element kunne
skrives som
for passende skalarer . Specielt vil
jf. egenskaberne for en lineær transformation.
Ifølge egenskaberne for koordinatvektorer beskrevet i Proposition 8.4 så konkluderer vi, at
Men jf. (5.23) så kan højresiden af (8.28) også beskrives som
produktet
hvor det sidste lighedstegn følger af
(8.27). Hermed er
udsagn (1.)
vist.Antag nu, at en matrix opfylder
egenskaben i
udsagn (2.).
Hermed vil der specielt gælde, at
for ethvert . Men jf. (5.23), så er højresiden i
(8.29) også lig
den 'te søjle i . Venstresiden
i (8.29) er derimod
lig den 'te søjle i ,
og derfor må som
påstået.
Hvis betegner et vektorrum med to baser og , så er
matrixrepræsentationen for identitetsafbildningen lig
dvs. identisk med koordinattransformationsmatricen
.
I Eksempel 8.2 beskrev vi to matrixrepræsentationer
og hørende til en lineær operator . Med notation som i Eksempel 8.2 så er
forbindelsen til ovenstående notation givet ved, at
og
.
Lad og
betegne baser for hhv. og , og lad betegne en lineær transformation, der
opfylder, at
Specielt er
og matrixrepræsentationen er dermed lig
jf. Definition 8.6. Betragt
nu en vektor på formen
, for skalarer
.
Så
hvoraf det følger, at
Vi genfinder dermed formlen
8.15(1.) i
dette konkrete tilfælde.
Lad betegne en matrix, og lad betegne den tilsvarende lineære
afbildning. Idet og betegner standardbaserne for
hhv. og (jf. Eksempel 7.7(6.)), så er den
tilsvarende matrixrepræsentation
lig . Dette
følger fra Definition 8.14, idet
Standardmatrixrepræsentation for er altså lig
matrixrepræsentationen for mht. standardbaserne for
hhv. og .
I Eksempel 7.7(5.) definerede vi som
underrummet i , udspændt af de lineært uafhængige
funktioner
for og
for . Idet de afledte af 'erne er
lig (nedenfor skal tolkes som nulfunktionen):
så vil differentiationsafbildningen inducere en lineær operator
Den tilhørende matrixrepræsentation mht. basen
er da, ifølge Definition 8.14, lig
8.2 Matrixrepræsentationer og kompositioner
Vi vil nu undersøge, hvordan matrixrepræsentationer
opfører sig ifm. forskellige typer af kompositioner.
Vi starter med at beskrive matrixrepræsentationer for sammensætninger af lineære afbildninger.
Lad og betegne lineære
afbildninger mellem -vektorrum. Lad samtidig , og
betegne baser for hhv. , og . Så
Udsagnet følger ved anvendelse af
karakteriseringen af matrixrepræsentationer
beskrevet i Proposition 8.15(2.).
Vi sætter ,
og bemærker, at
for alle . Specielt opfylder
betingelserne i Proposition 8.15(2.)
mht. den lineære transformation
og baserne og . Hermed
følger (8.34) af
Proposition 8.15(2.).
Lad betegne en lineær afbildning mellem
-vektorrum. Lad og betegne baser for , og lad
og betegne baser for . Så er
Lad betegne en lineær operator på
det reelle vektorrum . Lad og betegne to baser for
, og antag, at
Angiv .
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Lad og betegne identitetsafbildningerne på hhv.
og , og bemærk, jf. Eksempel 8.16(1.), at
Påstanden er nu en konsekvens af
Proposition 8.17: i
første omgang følger det, at
Dernæst fås
som ønsket.
I Eksempel 8.16(2.) fandt vi matrixrepræsentationer
og for en
konkret lineær operator hørende
til to forskellige baser og . Herudover så har vi i
Eksempel 8.10(2.) beskrevet koordinattransformationsmatricerne
og . Vi kan derfor direkte tjekke,
at identiteten
er opfyldt som påstået i Korollar 8.18.
I Eksempel 8.16(5.)
studerede vi differentiationsoperatoren på vektorrummene
, og beskrev de tilhørende matrixrepræsentationer
. Sammensætningen af den lineære
operator med sig selv gange er ligeledes en lineær operator
på . Den tilsvarende matrixrepræsentation
mht. er, ifølge Proposition 8.17, lig
Hvis f.eks. og , så er
8.3 Beregninger af matrixrepræsentationer
Matrixrepræsentationer
for lineære transformationer mellem vektorrum af formen kan
beregnes ved hjælp af elementære
rækkeoperationer. Dette er beskrevet i følgende resultat.
Lad betegne en lineær transformation, og
lad og betegne
baser for hhv. og . Den opdelte matrix
er da rækkeækvivalent med en entydig matrix på formen
, hvor . Matricen
er lig matrixrepræsentationen .
Påstanden følger ved anvendelse af Proposition 4.12, såfremt
vi kan vise, at matricen
er invertibel, og at
At er invertibel følger, idet er en basis
(jf. Proposition 7.4). Faktisk er lig
koordinattransformationsmatricen
, jf.
Eksempel 8.10(1.), og dermed er lig
, jf.
Proposition 8.8(5.). Relationen (8.41)
er dermed ækvivalent med, at
for ,
ifølge Definition 8.14. Det sidste udsagn følger fra
Proposition 8.8(1.), idet
(jf. Eksempel 8.5).
Betragt den lineære afbildning
defineret ved matricen
Vælg baser for og
for bestående af vektorerne
og
og lad os anvende Proposition 8.21 til at beregne
. Vi opskriver derfor matricen
og udfører elementære rækkeoperationer, indtil vi opnår
Vi konkluderer dermed, at
Vi kan også anvende Proposition 8.21 til at beregne
koordinattransformationsmatricen mht. baser
og for .
Vi erindrer, at er identisk med
matrixrepræsentationen ifølge
Eksempel 8.16(1.). Dermed er
bestemt som matricen opfyldende, at
er rækkeækvivalent med
Hvis vi f.eks. betragter de to baser og for i Eksempel 8.10(3.), så vil
og vi genfinder derfor, at
8.4 Beregninger af kerner og billeder via
matrixrepræsentationer
Vi har tidligere set, hvordan man konkret kan bestemme kerner og
billeder for lineære afbildninger mellem -vektorrum af typen
(svarende til nulrum og søjlerum for de tilsvarende
SMR). Matrixrepræsentationer giver os nu mulighed for at overføre
disse resultater til mere generelle vektorrum. I den forbindelse er
følgende resultat anvendeligt.
Lad betegne en lineær afbildning, og lad
og betegne baser for hhv. og . Så gælder:
Et element tilhører kernen for hvis og kun hvis den
tilsvarende koordinatvektor er et element i nulrummet
for matrixrepræsentationen
.
Et element tilhører billedet af hvis og kun hvis den tilsvarende
koordinatvektor er et element i søjlerummet
til matrixrepræsentationen
.
Idet er en isomorfi, så er et element i
hvis og kun hvis
Men venstresiden af (8.49) er lig ,
som ifølge Proposition 8.15(1.) også kan beskrives som
Dermed følger
påstand (1.)
umiddelbart.Lad nu betegne et
element i . Hvis er et element i billedet , så
eksisterer der et , så . Som ovenfor har vi
derfor
og er derfor et element i søjlerummet til
. Hvis omvendt er et
element i søjlerummet til , så findes der en
vektor (hvor betegner dimensionen af ), så
Sæt nu , og observer, at
Idet er en isomorfi, så følger det dermed, at , og
er derfor et element i billedet af som ønsket.
Lad betegne en lineær afbildning og lad
og betegne baser for hhv. og . Lad betegne rangen af
matrixrepræsentationen . Så gælder:
Afbildningen
er veldefineret og en lineær isomorfi.
Specielt er: .
Afbildningen
er veldefineret og en lineær isomorfi.
Specielt er: .
At de angivne afbildninger er veldefinerede er en
konsekvens af Lemma 8.23.
Begge afbildninger er tilmed injektive lineære
transformationer, idet koordinatiseringsafbildningerne og begge opfylder
dette.For at vise surjektiviteten af (8.53)
så lader vi betegne et element i nulrummet
for , og lader herefter
betegne . Så vil
, og er derfor et element
i ifølge Lemma 8.23.
Specielt viser identiteten også,
at er i billedet for (8.53). Vi
konkluderer dermed, at (8.53) er
surjektiv. At (8.54) er surjektiv vises på
tilsvarende vis. Vi konkluderer, at (8.53)
og (8.54) er isomorfier.Dimensionsudsagnene er nu er
konsekvens af
Proposition 6.20 og Korollar 7.36.
Lad betegne en lineær afbildning og lad
og betegne baser for hhv. og . Så er en lineær
isomorfi hvis og kun hvis er en invertibel (kvadratisk)
matrix. I givet fald er
Lad betegne en
lineær operator på det reelle vektorrum . Lad
betegne en basis for og antag, at
Angiv
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Antag, i første omgang, at er en lineær isomorfi. Så er
ifølge Proposition 6.20. Specielt er
en kvadratisk matrix. Idet
er injektiv må og dermed også nulrummet
(jf. Proposition 8.24(1.)) være trivielt. Som konsekvens er
invertibel, jf.
Proposition 4.6.Antag omvendt, at er kvadratisk og
invertibel. Sæt . Så er nulrummet
af dimension ,
og er dermed lig ,
jf. Proposition 8.24(1.).
Vi konkluderer, at er injektiv,
jf. Sætning 6.11.
Ifølge
Sætning 7.20 så er ydermere af dimension
, og dermed må , jf.
Proposition 7.16. Vi konkluderer, at
både er injektiv og surjektiv og dermed en lineær isomorfi.Dette viser den første del af det påståede udsagn. Antag nu, at
er en lineær isomorfi mellem vektorrum af
samme dimension , og lad betegne den inverse lineære
transformation. Ifølge
Proposition 8.17 opnås nu
hvor betegner identitetsmatricen af størrelse . Specielt
er den inverse til lig .
Betragt det reelle vektorrum
med basis , og lad os beskrive kernen og
billedet for den lineære operator
Idet
så finder vi, at
Ved anvendelse af metoderne beskrevet i Afsnit 7.3 så
bestemmes en basis for nulrummet til til , mens søjlerummet har basis . Idet
så følger det, jf. Proposition 8.24, at
er en
basis for , mens er en basis for billedet af .
Specielt er lig mængden af konstante polynomier, mens
billedet er lig underrummet i .
I Eksempel 8.16(5.)
fandt vi matrixrepræsentationen
for den lineære operator mht. basen . Hvis , så er
invertibel, og er dermed en invertibel
afbildning (jf. Korollar 8.25).Tilfældet er en generalisering af situationen i
Eksempel 8.26(1.), og det overlades
til læseren at beskrive, hvad der sker i dette
tilfælde.