For et legeme skal vi nu introducere begrebet
-vektorrum, der betegner en mængde, hvorpå der er
defineret en addition og en skalarmultiplikation, som vi
kender det fra . De vigtigste og simpleste eksempler på
-vektorrum er dermed mængderne .I første omgang skal vi gøre os klart, hvad vi skal mene med
begreberne addition og skalarmultiplikation. Grundlæggende er begge
begreber blot visse afbildninger med passende naturlige egenskaber;
dvs. egenskaber der ligner dem, som vi er vant til fra
. Addition defineres ud fra en afbildning
hvor vi minder om, at består af mængden af par , for . Vi kan derfor tænke på som en
måde, hvorpå man ud fra to givne elementer og i opnår
et nyt element i . Elementet betegnes sædvanligvis med den simplere notation ,
og omtales som summen af og . Tilsvarende er
skalarmultiplikation defineret ud fra en afbildning
hvor betegner mængden af par , hvor og . Med andre ord, er skalarmultiplikation en
måde, hvorpå man til en skalar og et element i
kan knytte et nyt element i . Vi
anvender her den simplere notation for (til tider skriver vi endda blot ). Før vi
kan omtale og som hhv. en addition og en
skalarmultiplikation, så kræves det, at visse identiteter er
opfyldt. Dette er netop indholdet af den præcise definition af et
-vektorrum:
[Vektorrum]
Et -vektorrum består af en mængde samt
to afbildninger og som ovenfor. Derudover så skal der eksistere et
element , så
følgende egenskaber er opfyldt:
, (den kommutative lov)
, (den
associative lov)
, (eksistens af neutral
element)
, (eksistens af
inverse elementer)
, (en distributiv lov)
, (en distributiv lov)
, (en associativ lov)
.
Selvom et -vektorrum dermed både består en mængde samt to
kompositioner, addition og skalarmultiplikation, så vælger vi
sædvanligvis blot at betegne vektorrummet med . Dette skyldes, at
addition og skalarmultiplikation sædvanligvis er givet ud fra
sammenhængen. F.eks. betegner altid -vektorrummet med
addition og skalarmultiplikation givet som i Afsnit A.1.
Tilsvarende omtaler man ofte blot som et vektorrum, fremfor et
-vektorrum, hvis det tilhørende legeme er givet ud fra
sammenhængen.Fremover anvender vi en notation, hvor skalarmultiplikation
er prioriteret højere end addition. Udtryk af formen: for og
(jf. Bemærkning A.2), er dermed
ikke tvetydige, men skal opfattes
som summen af
med . Notationen er dermed i overensstemmelse med den notation, som vi er vant
til fra .Elementet i Definition 5.1 omtales
som et neutralelement mht. addition
eller blot som nulelementet.
Det bemærkes, at der kun kan eksistere ét
neutral element, idet hvis opfyldte
samme egenskaber som , så ville
hvor vi undervejs har brugt egenskaberne
(a.) og (c.)
i Definition 5.1. Såfremt vi ønsker
at specificere det bagvedliggende vektorrum , så anvender vi også
notationen om . Det såkaldte additive
inverse element i
(d.) er tilsvarende entydigt
bestemt ud fra , idet ethvert andet
element med tilsvarende egenskaber ville
opfylde, at
Notationerne og
opfører sig samtidigt som man
bør forvente, idet:
Lad betegne et vektorrum og betegne et neutral element som beskrevet
i Definition 5.1. For ethvert gælder der, at
Udsagn (1.): Lad betegne .
Ifølge egenskab (f.) i Definition 5.1 gælder, at
Dermed
som ønsket.Udsagn (2.): Dette følger fra, hvad vi just har
vist samt regneregler for vektorrum:
Udsagn (3.): Ifølge
udsagn (1.), som vi allerede har
vist, så gælder der, at
Dermed opfylder den samme egenskab som , og pga. entydigheden af additive inverse
elementer, så må .
Identiterne i Definition 5.1 gør, at
vi kan regne med addition og skalarmultiplikation, som vi er vant til
det fra . Vi vælger derfor også at anvende notationen om summen , der, ifølge det just viste resultat,
også er lig . Følgende resultat omhandler andre
naturlige egenskaber ved vektorrum. Vi overlader beviset herfor til
læseren som en simpel og lærerig opgave.
Lad og betegne elementer i et vektorrum . Så gælder der:
Hvis så er .
Hvis så er .
Følgende er eksempler på vektorrum:
Mængden med addition og
skalarmultiplikation som beskrevet i Afsnit A.1 er et
-vektorrum ifølge Proposition A.7. Idet vi
kan identificere med , så er specielt et
-vektorrum.
Mængden af matricer
med addition og skalarmultiplikation som
defineret i Kapitel 3 er et -vektorrum ifølge
Proposition 3.3.
Mængden af polynomier med
koefficienter i et legeme med uendeligt mange elementer er et
-vektorrum, såfremt addition og skalarmultiplikation defineres
som i Afsnit B.1.
Lad betegne en ikke-tom
mængde og betegne et -vektorrum, og definer herudfra
mængden
Så er et -vektorrum med addition defineret ved
og skalarmultiplikation defineret ved
I begge definitioner har vi udnyttet, at addition og
skalarmultiplikation giver mening indenfor . Bemærk, at
funktionen i der antager værdien overalt er
neutralelementet i vektorrummet . Dermed må den inverse
funktion til et være givet ved
Vi overlader de resterende detaljer til læseren.
En mængde
bestående af et enkelt element kan opfattes som et
-vektorrum, hvis vi definerer addition ved
og skalarmultiplikation ved
Dette vektorrum kaldes også
nulvektorrummet.
Hvis og er
-vektorrum, så kan mængden naturligt opfattes som
et -vektorrum. Elementerne i er par
bestående af elementer og . Vi definerer da
addition og skalarmultiplikation koordinatvis; dvs. ved:
for alle og . Neutralelementet er da , mens det inverse
element til er . Vektorrummet defineret på denne måde kaldes også for
produktet af og .
Såfremt , så skriver vi også om . Mere
generelt er et
-vektorrum, såfremt hver af 'erne, for ,
er et -vektorrum. Her angiver mængder af tupler
med , for . Notationen
anvendes desuden om vektorrummet ( kopier af ). Bemærk, at denne notation er konsistent
med notationen , såfremt vi identificerer rækkevektorer med
de tilsvarende søjlevektorer.
Ifølge
ovenstående
så er et -vektorrum. Men
vi kan også opfatte som et -vektorrum. Som addition
der kan vi anvende den almindelige addition, som vi har
på legemet
. Skalarmultiplikationer er givet ved, at hvis
og , så sættes skalarproduktet blot lig produktet
af og som elementer i .
5.1 Underrum
En delmængde af et -vektorrum kaldes stabilt overfor
addition, hvis summen er indeholdt i , såfremt og
er elementer i . I givet fald, så definerer addition på
en afbildning
Tilsvarende så kaldes stabilt overfor skalarmultiplikation, hvis
såfremt og . I
givet fald opnås en afbildning
Lad betegne en delmængde af et -vektorrum . Hvis og samtidig er stabil overfor addition og
skalarmultiplikation, så definerer , sammen med funktionerne
og , et -vektorrum.
Vi skal tjekke, at egenskaberne
(a.)-(h.) i Definition 5.1 er
opfyldt for . For egenskab (a.) skal vi
f.eks. tjekke, at
Men idet er en delmængde af , så kan vi opfatte (5.10)
som en identitet i . Udnytter vi samtidig at er et vektorrum,
og at addition og skalarmultiplikation på er induceret fra de
tilsvarende begreber for , så ser vi at (5.10) er
opfyldt. Tilsvarende viser man, at egenskaberne
(b.), (c.) samt
(e.)-(h.) i Definition 5.1 er
opfyldt for . Endelig vil egenskab (d.) være
opfyldt, hvis blot er indeholdt i , så snart er et
element i . Dette følger fra udsagn (3.) i
Proposition 5.2, idet er stabilt overfor
skalarmultiplikation og dermed indeholder .
Vi definerer nu:
[Underrum]
Et underrum af et
-vektorrum er en delmængde af , der indeholder
og som er stabil overfor addition og skalarmultiplikation. Dvs. at
en delmængde af er et underrum når
.
For alle er .
For alle og alle
er .
Vi opfatter, i givet fald, som et -vektorrum via den
inducerede addition og skalarmultiplikation fra
(jf. Sætning 5.5).
Hvilke af følgende delmængder af det reelle vektorrum
er underrum.
Hvis er et -vektorrum, så
er og underrum af . At er et underrum, er
oplagt. At er stabil overfor addition og
skalarmultiplikation, følger fra identiteten
idet er et neutralelement, samt idet
jf. Proposition 5.2.
Lad betegne løsningsmængden
til et homogent lineært ligningssystem , med
. Vi påstår, at er et underrum i
. I første omgang indeholder elementet . Lad nu
og betegne elementer i . Så vil
Ifølge regneregler for matrixmultiplikation har vi derfor, at
og vi konkluderer, at . Tilsvarende har vi, at
, for , idet
Samlet set så besidder egenskaberne
for at være et
underrum af -vektorrummet . Vi kalder også for
nulrummet for matricen , og
betegner denne mængde med notationen .
En delmængde af -vektorrummet
er et underrum, hvis delmængden indeholder
(dvs. funktionen der antager værdien overalt), og delmængden
er stabil overfor addition og skalarmultiplikation. Hvis
f.eks. er et interval indenfor , så vil delmængden
af kontinuerte funktioner være et underrum af
. Stabiliteten følger, idet og
er kontinuerte funktioner, hvis og betegner kontinuerte
funktioner, og er et reelt tal. Derudover er
nulfunktionen på kontinuert og dermed et element i . Tilsvarende vil, hvis er et åbent interval i ,
delmængden af gange kontinuert differentiable
funktioner være et underrum i . Faktisk vil
være et underrum af ethvert for . Fællesmængen af alle underrum , , kaldes for mængden af vilkårligt ofte differentiable
funktioner, og betegnes . Da er
et underrum i alle , for .
Lad betegne en mængde. Enhver
funktion
bestemmer to reelle funktioner
så identiteten
er opfyldt for alle . Vi kalder og for
hhv. realdelen og imaginærdelen af , og anvender også
betegnelserne og herfor. Såfremt betegner et
åbent interval i , så definerer vi som
delmængden af bestående af funktioner opfyldende, at
Tilsvarende defineres . Delmængderne
og er dermed underrum af
. Tilsvarende kan vi definere underrummet af
kontinuerte komplekse funktioner på et arbitrært
interval .
Vektorrummet af reelle polynomier
er et underrum af -vektorrummet .
Faktisk er et underrum af alle og dermed
også af .
Mængden af reelle
polynomier af grad er et underrum af . Tilsvarende
gælder hvis erstattes af .
De eneste underrum af er og . Lad nemlig betegne et
underrum i , og vælg forskellig fra . Så
for alle .
Lad betegne produktet
af to -vektorrum og som defineret i
Eksempel 5.4. Hvis betegner et underrum i , så kan
på oplagt vis betragtes som en delmængde af mængden
. Som sådan er et underrum; faktisk er
det som vektorrum identisk med produktet af og .
Lad betegne -vektorrummet af kontinuerte reelle funktioner, . Hvilke af følgende delmængder af er underrum?
.
.
5.2 Span
I det følgende betegner et -vektorrum, og betegner en samling af elementer i . Vi ønsker at
undersøge, hvilke elementer i man kan konstruere ved at anvende
operationerne addition og skalarmultiplikation på 'erne. I den
forbindelse defineres:
[Linearkombination]
Et element i vektorrummet kaldes
en linearkombination af , hvis der
eksisterer skalarer , så
I givet fald anvender vi også den korte notation .
Bemærk, at betingelserne
(a.)-(h.) i Definition 5.1
(faktisk alene (a.) og (b.))
sikrer, at notationen ikke kan opfattes
tvetydigt.
Betragt det reelle vektorrum og vektorerne
En linearkombination af er et element i på formen
for . En linearkombination af og er et
element i på formen
for . Ethvert element i er dermed en
linearkombination af og . Derimod er ikke alle elementer
i en linearkombination af alene.
[Span]
Mængden af alle linearkombinationer af
kaldes for spannet af elementerne
, og betegnes med
Bemærk, at alene afhænger af elementerne
og ikke af deres rækkefølge.Det følgende resultat viser, at ikke blot er en
delmængde af , men faktisk udgør et underrum af
. Tilmed er det mindste underrum, der indeholder
alle 'erne. Mere præcist:
Mængden udgør et underrum i indeholdende alle
elementerne , for . Ethvert underrum af
indeholdende , for alle , vil indeholde
som delmængde.
Jf. Proposition 5.2(1.), så vil
være neutralelementet i . Specielt indeholder
elementet . Herudover gælder der, at
samt
jf. regnereglerne i Definition 5.1. Vi konkluderer hermed,
jf. Definition 5.6, at er et underrum
af . At indeholder , for ,
følger af identiteten
Lad nu betegne et underrum af , som indeholder alle ,
for . Dermed indeholder ethvert element på formen
for , og specielt indeholder
da alle endelige summer af elementer af denne form. Alle
linearkombinationer af 'erne er dermed indeholdt i , og
vil derfor indeholde som delmængde.
Såfremt , så siger vi,
at mængden
udspænder , og vi omtaler
som en udspændende mængde. I givet fald, så er den udspændende mængde
blot en ud af mange mulige udspændende
mængder for . F.eks. vil da også være udspændt af elementerne
, hvor betegner et arbitrært
element i .
Som beskrevet i Eksempel 3.13 så
er løsningsmængden for det homogene ligningsystem
lig mængden af vektorer på formen
hvor . Specielt er
og en udspændende mængde for .Korrekt!Forkert.
I Eksempel 5.10 fandt vi, at var udspændt af de to
vektorer
men at ikke kunne udspændes af alene.
Såfremt er udspændt af en endelig mængde, så er det ofte
interessant at afgøre, hvor mange elementer man kan nøjes med i den
udspændende mængde. Dette minimale antal kan anvendes som et mål for
størrelsen af , og udgør grundlaget for dimensionsbegrebet
for vektorrum, som vi nu vil definere.
[Dimension]
Lad betegne et
-vektorrum. Vi definerer da:
Hvis , så siger vi, at har dimension .
Hvis er forskellig fra og kan udspændes af
elementer, men ikke af færre end elementer, så siger vi, at
dimensionen af er lig .
Hvis ikke kan udspændes af en endelig mængde, så siges
at have uendelig dimension.
Dimensionen af betegnes med . Hvis har uendelig
dimension skriver vi .
Et vektorrum med er nødvendigvis lig .
Et vektorrum har dimension , hvis
og kan udspændes af blot et element.
Lad , for , betegne vektoren hvis 'te koordinat er lig ,
mens de resterende koordinater er lig . Idet
så vil være udspændt af elementerne . Specielt er dimensionen af maksimalt lig . Senere viser vi, at dimensionen af faktisk er lig
.
Betragt en endelig samling af polynomier forskellige fra nulpolynomiet. Lad betegne den
maksimale grad af 'erne. Så vil være
indeholdt i underrummet , og vi har dermed, ifølge
Lemma 5.12, at
Idet ikke udgør hele mængden , så kan
'erne dermed ikke udspænde . Vi konkluderer, at
-vektorrummet af reelle polynomier har uendelig dimension;
altså .
Lad betegne et -vektorrum og lad . Da vil det altid gælde, at .
Korrekt!Forkert.
5.2.1 Matrixprodukter og linearkombinationer
Vi vil nu beskrive en ekstrem vigtig sammenhæng mellem
linearkombinationer og matrixproduktet. Betragt en matrix , med søjler betegnet med . Så
Matrixprodukter af formen , for , kan
dermed opfattes som linearkombinationer af søjlerne i . Faktisk ser
vi, at
Underrummet (5.24) i kaldes også for søjlerummet for og betegnes fremover med
(notationen er forklaret ud fra den engelske betegnelse
range for søjlerummet). Vi bemærker:
Et lineært ligningssystem har en løsning hvis
og kun hvis .
I Eksempel 5.16(c.) har vi allerede bemærket,
at kan udspændes af elementer. Vi skal dermed kun vise, at ikke kan udspændes af
færre end elementer.Antag at er udspændt af
elementer ; dvs. antag,
at
Lad nu betegne matricen,
hvis 'te søjle er lig , for . Så implicerer identiteten (5.25), at vil have en løsning for ethvert
, jf. Lemma 5.18.Lad nu betegne den 'te søjle i identitetsmatricen , og lad , for , betegne en løsning til det lineære ligningssystem . Lad herefter betegne matricen,
hvis 'te søjle er , for .
Så gælder der, at
Vi påstår nu, at det homogene lineære ligningssystem
kun har nulvektoren som
løsning. Antag nemlig, at
er en løsning til ; dvs. at . Så vil
som ønsket.Idet kun har nulvektoren som løsning, så implicerer
Proposition 1.18 nu, at som påstået.