I dette kapitel skal vi studere basisbegrebet. En
basis for et -vektorrum er en samling af elementer , så
ethvert element i entydigt kan skrives
som en linearkombination
af elementerne . Med
entydigt menes der her, at der kun er ét muligt
valg for skalarerne . Med andre ord så er en
basis, når den lineære transformation
er en lineær isomorfi. I givet fald, så er isomorf
med , og vi kan derfor vælge at tænke på som
det velkendte vektorrum .
Udgangspunktet for vores definition på en basis
er angivet nedenfor, og vi vil i det følgende se,
at denne definition netop beskriver situationen
ovenfor.
[Udspænde, lineær uafhængighed og basis]
For en samling af elementer i et
-vektorrum defineres:
Samlingen af elementer siges at
udspænde , såfremt
; dvs. hvis ethvert element i
er en linearkombination af .
Samlingen af elementer siges at være
lineært uafhængig, såfremt en identitet af formen
for skalarer , kun kan være opfyldt, når alle skalarer
er nul; dvs. når
I modsat fald kaldes samlingen af
elementer i for lineært afhængig.
Samlingen af elementer kaldes
en basis for , såfremt
både udspænder og er lineært uafhængig.
Vektorerne , og definerer en samling af elementer, der er en basis for .
Forkert.
Vektorene er ikke lineært uafhængige, da
.
Korrekt!Korrekt!Korrekt!Forkert.
Udfra beskrivelsen (7.1) af ,
så er det klart, at billedet af er
lig . Specielt er surjektiv
hvis og kun hvis . Hermed følger
(1.).At er injektiv er, jf. Sætning 6.11, ækvivalent
med, at kernen for er lig
. Men er et element i
kernen for hvis og kun hvis
identiteten
er opfyldt. At er injektiv er altså ækvivalent
med, at identiteten (7.4) kun
kan være opfyldt når , for
, hvilket jo er definitionen
på, at er lineært uafhængig. Dette
viser (2.).At Lemma 7.3(3.) gælder, følger
fra det allerede viste, idet er en
isomorfi netop når er både injektiv
og surjektiv.
I tilfældet hvor , der har vi allerede stiftet
bekendtskab med basisbegrebet. Der gælder nemlig:
Lad betegne en matrix med søjler
. Så er invertibel hvis
og kun hvis er en basis for .
Sæt og bemærk,
at der, jf. (5.23), så gælder, at
. Specielt er dermed en basis
for hvis og kun hvis er en
isomorfi, jf. Lemma 7.3(3.). Men
ifølge Proposition 6.26, så er en
isomorfi hvis og kun hvis er invertibel.
Hermed er det ønskede vist.
Vektorerne
udgør sammen med en samling af elementer, der er en basis for
det reelle vektorrum .
Korrekt!Forkert.
Vi har tidligere defineret (jf. Afsnit 5.2) hvad det vil sige, at
en samling af elementer udspænder et vektorrum . I den
ovenfor indførte notation så er dette begreb ækvivalent med, at
udspænder . De to indførte versioner
af at udspænde er derfor nærmest
identiske. Tilsvarende siger vi ofte blot, at er lineært
uafhængig eller en basis, såfremt det tilsvarende er opfyldt for .En identitet af formen
kaldes for en lineær relation mellem . F.eks. har vi altid den trivielle lineære relation
Ifølge Definition 7.1 så er
lineært uafhængig, netop når der ikke findes andre end den trivielle
lineære relation mellem 'erne. Følgende
resultat skal ses som en generalisering af dette
udsagn.
Lad
og betegne
skalarer, og lad
betegne en lineært uafhængig samling af elementer
i . Hvis
så er , for .
Bemærk, for det første, at er injektiv,
jf. Lemma 7.3(2.). Men
identiteten (7.6)
er ækvivalent med, at
og det ønskede følger.
En samling
bestående af et enkelt element er lineært uafhængig hvis og kun
hvis : hvis , så vil
være en ikke-triviel lineær relation, og er derfor
lineært afhængig. Hvis modsat er lineært afhængig, så
eksisterer der en ikke-triviel lineær relation (dvs. )
Specielt er
Lad betegne
en samling af to elementer fra . Så er lineært afhængig
hvis og kun hvis der eksisterer en skalar så enten eller : Antag, at er lineært
afhængig, og lad
være en ikke-triviel lineær relation. Hvis , så
sættes , og relation (7.8)
omskrives da let til . Tilsvarende overvejelser
udføres hvis . Antag omvendt, at . Så er
en ikke-triviel relation, og er dermed lineært
afhængig. Tilsvarende argumenteres hvis .
I vektorrummet af reelle
polynomier er enhver samling af elementer på formen
lineært uafhængig. Dette udsagn følger umiddelbart af Korollar B.14, idet
en relation af formen
for reelle skalarer , kun kan være nulpolynomiet,
såfremt
Ingen af mængderne udspænder dog
, og er derfor ikke en basis for . Derimod er
en basis for .
I det reelle vektorrum
er med og , for alle , lineært uafhængige. Dette skyldes, at hvis der for reelle skalarer
og gælder, at
er nulfunktionen, så er
Derimod er ikke
lineært uafhængig, idet linearkombinationen
er nulfunktionen (idet: , for alle ).
Lad betegne et
komplekst tal. Funktionerne
for et heltal ,
er da elementer i . For ethvert heltal vil
samlingen af elementer være lineært uafhængig. Antag nemlig, at
hvor 'erne betegner komplekse tal; dvs. at
for alle . Ved division af (7.14) med
så opnås den polynomielle identitet
for alle , hvilken kun kan opfyldes, hvis alle
'erne er lig , jf. Korollar B.14. Dermed er det
vist, at er lineært uafhængig. Spannet
betegnes med notationen .
Lad , for
, betegne elementet, hvis 'te koordinat er lig
mens de øvrige koordinater er lig . Så er
en basis for vektorrummet : hvis
betegner
skalarer, så viser identiteten
at ethvert element i på entydig vis er en
linearkombination af elementerne . Basen
kaldes også for standardbasen
for , mens kaldes for det 'te
standardbasiselement. Hvis vi ønsker at specificere i
notationen, så skriver vi også i stedet for .
Hvis er en lineært
uafhængig samling af elementer i et vektorrum , så er en
basis for . For det første, så er det oplagt, at
udspænder . Derudover er lineært uafhængig
pr. antagelse.
De fleste grundlæggende egenskaber ved begreberne lineært uafhængighed
og udspænde er indeholdt i følgende resultat.
Lad betegne elementer i et
-vektorrum .
Hvis er lineært afhængig og , så eksisterer der et , , så
(1) Idet er lineært afhængig, så eksisterer der en ikke-triviel
lineær relation
for passende skalarer . At (7.17) er ikke-triviel, betyder, at
der eksisterer et , så . Ved at multiplicere
(7.17) med , så kan vi ydermere
antage, at .Vi konkluderer, at
hvilket betyder, at er et element i
.
Jf. Lemma 5.12, så er det mindste underrum i
indeholdende , og
må derfor være en delmængde af
. Idet det
samtidig er oplagt, at er en delmængde af , så følger det ønskede.(2) "": Antag at
, og lad betegne skalarer, så
Hvis , så følger det, at
hvilket er i modstrid med antagelsen. Altså er , og vi opnår, at
. Da er lineært uafhængig, så følger det nu, at
for alle . Samlet set er altså lineært
uafhængig."": Antag at er lineært uafhængig. Hvis
så eksisterer der skalarer , så
Dermed er
en ikke-triviel lineær relation. Dette er i modstrid med antagelsen om, at er lineært uafhængig, og beviset er afsluttet.
Lad betegne et vektorrum
og betegne et heltal.
Så har endelig dimension hvis og kun
hvis har en basis bestående af
elementer.
Antag i første omgang, at har en basis
bestående af elementer. Ifølge
Lemma 7.3(3.) så er da
en isomorfi mellem og , og dermed
gælder der, at
jf. Proposition 6.20 og Proposition 5.19.Antag nu omvendt, at har dimension .
Specielt vil kunne udspændes
af elementer .
Vi påstår, at er lineært uafhængig: antag nemlig,
at var lineært afhængig. Hvis , så
er , jf. Eksempel 7.7(1.),
og dermed er , hvilket er i modstrid
med, at . Hvis derimod , så kan
udspændes af elementer, jf.
Lemma 7.8(1.), hvilket er
i modstrid med antagelsen om, at .Vi konkluderer, at er en basis for , og
det ønskede er dermed opnået.
Antallet af elementer i en basis for et vektorrum
er dermed entydigt bestemt.
Idet har dimension , så eksisterer der,
jf. Proposition 7.9, en basis
for bestående af elementer.
Specielt er en
isomorfi, jf. Lemma 7.3(3.).
Betragt nu den sammensatte afbildning
Ifølge Lemma 7.3(2.), så er
injektiv, og dermed er en
sammensætning af injektive lineære transformationer.
Vi konkluderer, at selv er en injektiv
lineær transformation. Men så er
ifølge Proposition 6.25.
Lad betegne et vektorrum af endelig dimension , og lad betegne en samling af elementer i . Så er følgende
udsagn ækvivalente:
Udsagn (1) (3): Antag at er lineært uafhængig.
Hvis ikke er lig , så kan vi
finde et , der ikke er
indeholdt i . Ifølge
Lemma 7.8(2.), så
vil
være lineært uafhængig, og dermed er , jf.
Lemma 7.11. Dette er en oplagt modstrid, og vi konkluderer,
at . Dvs. udspænder og er dermed samlet set en
basis.Udsagn (2) (3): Antag at
udspænder . Hvis er lineært afhængig, så må ,
jf. Eksempel 7.7(1.). Vi kan derfor anvende
Lemma 7.8(1.) og konkludere, at kan
udspændes af elementer. Specielt vil ,
pr. definition af dimension. Dette er en oplagt modstrid, og dermed
må være lineært uafhængig. Samlet set er derfor en basis.De resterende implikationer er nu oplagte og overlades til læseren.
Lad være en samling af elementer i , hvor betegner et vektorrum af dimension . Antag, at
Hvis , eksisterer der et , således
er en isomorfi .
har dimension .
Korrekt!Forkert.
er lineært uafhængig
er lineært uafhængig og
er lineært afhængig
7.1 Udvidelse og udtynding
At en samling af elementer i et vektorrum
er en basis, betyder, at både udspænder
og er lineært uafhængig. Såfremt kun opfylder
en enkelt af disse to betingelser, så er
ikke umiddelbart en basis, men man kan alligevel
anvende til at konstruere en basis for .
Dette er indholdet af begreberne udtynde
og udvide, der er beskrevet i følgende
sætning.
Lad betegne et vektorrum af endelig dimension , og lad
betegne en samling af elementer i .
Hvis udspænder , så er
, og kan udtyndes til en basis for ; dvs.
der eksisterer en følge af heltal
så er en basis for
.
Hvis er lineært uafhængig,
så er , og kan udvides til en basis for ;
dvs. der eksisterer elementer
så er en basis for .
(1): Vi viser først, at kan udtyndes til en
basis for . Til dette argumenterer vi
via induktion i . Hvis , så vil
udspænde , og da (idet ), så vil være
lineært uafhængig, jf.
Eksempel 7.7(1.). Specielt er
en basis, og vi kan derfor
anvende .
Antag herefter, at og at udsagnet er
vist i tilfældet . Hvis er lineært
uafhængig, så er en basis, og vi kan derfor
anvende . Hvis derimod er lineært
afhængig, så eksisterer der, jf.
Lemma 7.8(1.), et ,
, så
udspænder . Pr. induktion kan dermed
udtyndes til en basis for , og denne basis
er nødvendigvis også en udtynding af .At følger nu, idet er
antallet af elementer i basen ,
jf. Proposition 7.9.(2): At følger af
Lemma 7.11.
At kan udvides til en basis
for vises nu ved
induktion i tallet . Hvis ,
så er er en basis for , jf.
Proposition 7.12.Antag nu, at
, og at udsagnet er vist i tilfælde,
hvor det tilsvarende tal er én mindre.
Idet , så er ikke en basis
for , jf. Proposition 7.9,
og kan derfor ikke udspænde . Vi kan
derfor vælge et i , som ikke
er indeholdt i . Pr.
Lemma 7.8(2.)
er
da lineært uafhængig.
Pr. induktion, så kan nu udvides til en basis for , og en
sådan udvidelse er samtidig en udvidelse af . Dette afslutter
argumentet.
Lad betegne et vektorrum af uendelig dimension. Lad
betegne et heltal. Så findes der en samling af elementer
i , som er lineært uafhængig.
Udsagnet vises ved induktion i . For skal vi, ifølge
Eksempel 7.7(1.), blot vise eksistensen af et element
i forskellig fra . Men dette er oplagt, idet hvis
, så var dimensionen af lig , hvilket ikke er
tilfældet.Antag nu, at og at udsagnet er vist for tallet . Vi kan
da finde en samling af lineært uafhængige elementer i . Såfremt , så
ville være en øvre grænse for dimensionen af . Men dette er
i modstrid med antagelsen, og derfor må være forskellig
fra . Vi kan dermed finde et element , som ikke er
indeholdt i . Ifølge Lemma 7.8(2.)
er dermed lineært uafhængig. Dette
afslutter induktionsbeviset.
Lad betegne et underrum af et vektorrum . Så er . Hvis og , så er .
Hvis , så er udsagnet oplagt. Tilsvarende hvis
. Vi kan derfor antage, at og at
. Sæt . Vi påstår, at dimensionen af er
endelig. I modsat fald vil vi, ifølge Lemma 7.15, kunne
finde en samling af lineært uafhængige elementer i
. Specielt er også lineært uafhængig i , og
Lemma 7.11 implicerer derfor, at , hvilket er
en åbenlys modstrid.Vi konkluderer, at har endelig dimension, og dermed har en
basis bestående af elementer
(jf. Proposition 7.9). Såfremt , så vil en
basis for indeholde mindst lineært uafhængige elementer,
og et argument som ovenfor fører da til en modstrid. Vi har dermed
nødvendigvis, at .Antag nu, at . Vi kan da vælge en basis
for bestående af elementer.
Så er en lineært uafhængig samling af elementer i bestående
af elementer, og Proposition 7.12 implicerer da, at
er en basis for . Specielt udspænder både vektorrummet
og , og vi har derfor nødvendigvis .
Lad betegne et underrum af dimension
i det reelle vektorrum . Angiv, hvilke af
følgende udsagn der med sikkerhed er sande.
Hvis hverken er lig nulvektorrummet eller
, så er
Hvis , så er
indeholder mindst to elementer
7.2 En dimensionsformel
Vi ønsker nu at studere dimensionsbegrebet i forbindelse med lineære
transformationer. I første omgang bemærker vi:
Lad betegne en isomorfi af -vektorrum, og
lad betegne en samling af elementer i . Sæt
, for , og lad
betegne den dertil hørende samling af elementer i . Da gælder
der:
er lineært uafhængig hvis
og kun hvis er lineært uafhængig.
Idet er lineær , så vil der for ethvert valg af skalarer
, gælde, at
(jf. Proposition 6.2)
Specielt vil sammensætningen være identisk med
. Idet samtidig er en isomorfi (dvs. specielt invertibel),
så vil være invertibel (resp. injektiv eller surjektiv) hvis
og kun hvis det tilsvarende er gældende om . Påstandene følger nu umiddelbart fra
Lemma 7.3.
Betragt en isomorfi af formen . Vi har allerede set, at standardbasen er en basis for , og dermed er
en basis
for ifølge Proposition 7.18. Specielt er en
isomorfi. I dette tilfælde er identisk med idet
I Eksempel 6.18(5.) så vi, at
afbildningen
var en lineær isomorfi. Hvis
betegner en basis for , så er dermed en
basis for .
Lad og betegne elementer i mængden . Vi arbejder i den følgende sætning med
konventionen, at er lig , hvis eller er lig
. Hvis både og er forskellig fra , så betegner
blot den sædvanlige sum indenfor .
Lad betegne en lineær transformation mellem
-vektorrum. Så er
Antag nu, yderligere, at kernen og billedet begge er
af endelig dimension . Lad betegne en
basis for , og lad betegne
elementer i , så er en basis
for . Så er en
basis for .
Hvis , så er den lineære transformation en isomorfi. Specielt er , ifølge Proposition 6.20, og identiteten
(7.23) følger dermed. Hvis derimod , så er , og identiteten (7.23) er
så også opfyldt.Vi kan derfor antage, at og begge er af dimension
. Ifølge Proposition 7.16,
er , og dermed er
formel (7.23) også gældende, når
. I tilfældet hvor , vil også have uendelig dimension: modsat ville
kunne udspændes af en endelig samling af elementer i , og dermed, ifølge
Eksempel 6.10(3.), vil
Dvs. ville kunne udspændes af elementer, hvilket er i
modstrid med antagelsen .Vi har dermed reduceret til tilfældet, hvor både og
er vektorrum af endelig dimension . Vi vælger da som i formuleringen af
sætningen, og kan da nøjes med at vise, at er en basis for ,
jf. Proposition 7.9. Vi viser først, at er lineært
uafhængig. Lad og betegne skalarer, og antag, at
Anvendes på begge sider af relationen (7.24), så
opnås
Men , for , idet ,
og dermed reducerer (7.25) til
Idet er en basis for , så konkluderes det dermed, at
for . Specielt reducerer den oprindelige
ligning (7.24) til
og dermed er , for , idet er en basis
for . Dette viser, at er lineært uafhængig.Vi mangler nu blot at vise, at udspænder . Lad derfor betegne et arbitrært element i . Idet er en basis for
, så eksisterer der skalarer , så
Betragt nu
Så
ifølge (7.28). Altså vil , og dermed
eksisterer der skalarer , så
Alt i alt har vi opnået
Idet var vilkårlig, så må . Dette viser det
ønskede og afslutter beviset.
Lad betegne en lineær transformation.
Hvis og ,
så er .Korrekt!Forkert.
Lad betegne
produktet af -vektorrummene og . Vi kan anvende
Sætning 7.20 til at bestemme en basis for ud fra baser for hhv. og . Vi betragter i den
forbindelse projektionsafbildningen
hvis kerne vi allerede har fundet til
(jf. Eksempel 6.10(5.)). Lad og
betegne baser for hhv. og . Ifølge
Eksempel 7.19(2.) er da en basis
for kernen til . Billedet af er lig , og idet
for , så konkluderes det, at
er en basis for , jf. Sætning 7.20.
Specielt er
Bemærk, at vi kun har argumenteret for denne formel når og
har baser. Formlen gælder dog også for generelle vektorrum
(overlades til læseren). Samme ide kan anvendes til at konstruere
baser for vilkårlige produkter af vektorrum; herunder også
. Man finder her, at
ved induktion i .
Lad , og
lad betegne den tilsvarende lineære
transformation. I Eksempel 6.10(1.) har vi
beskrevet billedet og kernen af som hhv. søjlerummet
og nulrummet for . Ved anvendelse af
Sætning 7.20 så opnår vi derfor dimensionsformlen
I det kommende afsnit angiver vi en konkret metode til at bestemme
baser for hhv. og ; specielt vil vi her genfinde
identiteten (7.33).
7.3 Rækkerum, søjlerum og nulrum
Vi har allerede introduceret søjlerummet og nulrummet for en matrix
, og vi vil nu introducere yderligere et vektorrum, nemlig
rækkerummet, hørende til . Vi starter med definitionen og
genopfrisker samtidig definitionerne på de tidligere indførte
begreber.
Lad betegne en matrix
med søjler betegnet med og rækker
betegnet med . Vektorrummene og kaldes for hhv.
søjlerummet og
rækkerummet for . Herudover definerer
endnu et vektorrum, nemlig nulrummet , der defineres som løsningsmængden til det homogene
ligningssystem .
Lad Mat betegne den
reelle matrix
Søjlerummet er defineret som spannet af vektorerne
, , og .Rækkerummet er defineret som spannet af vektorerne
, .Korrekt!Forkert.
Vi vil i dette afsnit diskutere, hvordan man bestemmer baser (såfremt
disse eksisterer) for disse tre typer af vektorrum. Vi starter med at
undersøge, hvordan vektorrummene ændrer sig under rækkeækvivalens, og
lader i det følgende betegne en matrix, der er
rækkeækvivalent med . For søjlerne og rækkerne i anvender vi
hhv. betegnelsen og .Vi starter med at præcisere en af de grundlæggende ideer bag
anvendelsen af elementære rækkeoperationer til løsninger af lineære
ligningssystemer.
Idet og er rækkeækvivalente, så fremkommer det homogene
ligningssystem fra ved
anvendelse af en successiv følge af elementære operationer. Ifølge
Lemma 1.6 er løsningsmængderne og for de to
ligningssystemer da identiske.
Elementer i nulrummet beskriver ifølge identiteterne i
(5.23), hvilke lineære relationer der er blandt
søjlevektorerne i . Derfor kan Proposition 7.26 også
reformuleres som:
For givne skalarer er følgende udsagn
ækvivalente:
Lad betegne vektoren . Så er
(1.), jf. (5.23), ækvivalent
med, at ; dvs. ækvivalent med at er
indeholdt i nulrummet for . Tilsvarende er
(2.) ækvivalent med, at er indeholdt i
nulrummet for . Men og er rækkeækvivalente, og har
dermed identisk nulrum ifølge Proposition 7.26. Udsagnet er
hermed oplagt.
Idet søjlerummet , pr. definition, er
udspændt af ,
så vil , jf. Sætning 7.14(1.),
have en basis på formen
(med mindre er nulmatricen). Vi påstår:
Antag at og begge er forskellige fra nulmatricen .
Lad
betegne en samling af heltal. Så er følgende udsagn ækvivalente
Antag, at er en basis for .
Vi påstår, at er lineært uafhængig: betragt
nemlig en lineær relation
for skalarer . Ved at sætte
, for forskellig fra , så kan
vi opfatte (7.35) som en lineær relation som
i Lemma 7.27(2.). Specielt må vi, ifølge
Lemma 7.27, have
Men er en basis for
, så skalarerne er derfor
lig , og den påståede lineære uafhængighed
er dermed vist.Det følger nu, jf. Lemma 7.11 og Proposition 7.9, at
Et tilsvarende argument viser, at , og vektorrummene
og har dermed samme dimension.
Specielt er en basis for , jf.
Proposition 7.12.
Sammenhængen mellem rækkerummene for og er forklaret ved:
Idet fremkommer fra via en successiv følge af elementære
rækkeoperationer, så er det tilstrækkelig at vise, at i tilfældet hvor fremkommer fra via en enkelt
elementær rækkeoperation. I dette tilfælde er enhver række i en
linearkombination af (maksimalt to) rækker i (pr. definition af
elementære rækkeoperationer). Specielt vil rækkerne i være
indeholdt i rækkerummet for . Ved anvendelse af
Lemma 5.12 så konkluderer vi hermed, at . Idet også fremkommer fra via en
enkelt elementær rækkeoperation, så vises den modsatte inklusion
tilsvarende.
Vi ønsker nu at anvende ovenstående resultater i tilfældet, hvor
er på RREF. Pointen er, at rækkerum, søjlerum og nulrum let bestemmes
for matricer på RREF. Idet enhver matrix er rækkeækvivalent med en
matrix på RREF, så opnås hermed en konkret metode til bestemmelse af
rækkerum, søjlerum og nulrum for en arbitrær matrix. Vi lader, i det
følgende, betegne en matrix på RREF med søjler
og rækker betegnet med hhv. og . Vi antager yderligere, at , og at de pivoter er placeret i søjlenumrene
Vi minder om at Kroneckers delta er en
betegnelse for skalaren , hvis , mens betegner
skalaren hvis .
Nulrummet for er beskrevet på en af følgende måder:
Hvis , så er .
Hvis , så lader vi
betegne de heltal i intervallet , der ikke er på formen
. For , så eksisterer der et entydigt
element med 'te koordinat lig
, for . Da er
en basis for .
Idet nulrummet er løsningsmængden til det homogene lineære
ligningssystem , så kan vi argumentere
vha. Proposition 1.12. Tilfældet Lemma 7.30(1.) følger
umiddelbart, og vi kan derfor antage, at . Indholdet af
Proposition 1.12 er nu, at elementerne i nulrummet er bestemt
entydigt ud fra koordinaterne på pladserne
. Med andre ord, er afbildningen
defineret ved
en bijektion. Men er også oplagt en lineær afbildning, og dermed
en lineær isomorfi. Pr. definition af , så vil
være det 'te standardbasiselement for . Specielt er
en basis for ,
og dermed er en basis for ifølge
Proposition 7.18.
Pr. definition af RREF så er de øverste rækker i forskellig
fra nulrækken, mens de nederste rækker er nul. Søjlerummet
for er dermed indeholdt i vektorrummet
hvor angiver de første
standardbasiselementer for . Idet er på RREF, så
konkluderes det yderligere, at , for , er
lig . Specielt må . Sætningens udsagn er
nu umiddelbart klart.
Idet for , så er det oplagt, at udspænder rækkerummet
. Vi skal derfor alene vise, at er lineært uafhængig. Vi
bemærker først, at idet er på RREF, så vil den 'te søjle
i være lig standardbasiselementet i
. På den anden side, så kan den 'te søjle i også
beskrives som produktet af med det 'te standardbasiselement
for , jf. formel (5.23). Vi konkluderer
dermed, at
Bemærk nu, jf. definitionen af matrixproduktet, at den 'te
indgang i er lig , for
. Sammenholdt med (7.37) så opnår
vi derfor samlet, at
for alle , ,
hvor betegner Kroneckers delta. For en given lineær
relation
har vi dermed, at
for . Specielt er enhver lineær relation mellem
elementerne triviel, og den ønskede lineære uafhængighed er hermed vist.
Som korollarer til ovenstående lemmaer og propositioner har vi nu:
Lad , med , og lad betegne en matrix på RREF,
der er rækkeækvivalent med . Så er , og kan
derfor bestemmes ud fra som beskrevet i
Lemma 7.30.
Lad , og lad betegne en matrix på RREF,
der er rækkeækvivalent med . Antag at , og at
pivoterne for er placeret i søjlenumrene
Så er en basis for
søjlerummet til .
Lad , og lad betegne en matrix på RREF,
der er rækkeækvivalent med . Antag at , og at
har rækker der er forskellig fra . Så er en basis for rækkerummet til .
Lad , og lad betegne en matrix på RREF,
der er rækkeækvivalent med . Lad betegne antallet af
pivoter i . Så:
I tilfældet hvor der er , mens . I dette tilfælde er
nødvendigvis lig , og specielt er . De påståede
identiteter er dermed opfyldte.Så antag at . Da følger (1.) af
Korollar 7.34 og Korollar 7.35, mens
(2.) følger af
Korollar 7.33. Udsagn (3.)
er en direkte konsekvens af (1.) og
(2.).
[Rang]
For en matrix kaldes den fælles værdi for
dimensionen af søjlerummet og rækkerummet for
rangen af matricen . Rangen af betegnes
også med .
Det oplyses at en reel matrix er rækkeækvivalent med
matricen
Angiv rangen af .
Betragt givet ved
Anvendes elementære rækkeoperationer på opnås
hvor er på RREF. Vi aflæser umiddelbart, at har pivoter i
søjle og . Specielt er . Ifølge
Korollar 7.34 er
en basis for søjlerummet til . Rækkerummet for har,
jf. Korollar 7.35, basen
Nulrummet af (og dermed af ,
jf. Korollar 7.33) kan, jf. Lemma 7.30,
beskrives ved at lade
betegne det entydige element i med . Vi ser
umiddelbart, at dette betyder, at
Konklusionen er, at er en basis for nulrummet .
Angiv nedenfor en algoritme til bestemmelse af baser for rækkerum
og søjlerum, samt bestemmelse af rang for en matrix (forskellig
fra nulmatricen).
Rangen af er da .
Udfør ERO på og opnå en matrix
på RREF.
Søjlerne i
udgør en basis for .
Lad betegne
søjlenumrene i med pivoter.
De første rækker i
udgør en basis for .
De første rækker i
udgør en basis for .
Søjlerne i
udgør en basis for .
Korrekt!Forkert.
Prøv igen!
7.4 Baser i
Vi vil nu betragte basisbegrebet i det specielle vektorrum . Vi lader betegne en samling af elementer
i og ønsker at bestemme dimensionen
af og om er en basis for .I den forbindelse indfører vi matricen
med søjler , og observerer, at
Vi kan derfor anvende Korollar 7.34
til at udtale os om egenskaber ved .
F.eks. så opnår vi på denne måde en udtynding
af til en basis for (såfremt
), hvilket specielt
betyder, at vi kan bestemme dimensionen
af , jf. Proposition 7.9.Vi illustrerer disse overvejelser med et eksempel:
Betragt vektorrummet og elementerne
Vi indfører matricen
og udfører elementære rækkeoperationer
Idet er på RREF og har to pivoter placeret i hhv. søjle og
søjle , så konkluderes det, at er en basis for
. Specielt er lineært afhængig og udspænder et
vektorrum af dimension lig .
Ovenstående ideer kan anvendes til at afgøre, om udspænder
eller er en basis for : at udspænder betyder, at
, og er opfyldt, netop når dimensionen af er
lig , jf. Proposition 7.16. I givet fald, så er en basis for , blot er
identisk med den udtyndede basis beskrevet ovenfor.Udover at udtynde udspændende mængder til
baser, så kan vi også anvende teorien i
Afsnit 7.3 til at udvide
lineært uafhængige samlinger af elementer
til baser for . Tricket er her at
betragte mængden
hvor betegner standardbasen for
. Det er da oplagt, at udspænder , og vi kan derfor
udtynde til en basis for via metoderne beskrevet ovenfor. At den
herved opnåede basis er en udvidelse af , er ikke helt oplagt, men følger
af:
Lad betegne en matrix med søjler
, og lad
betegne en matrix på RREF, der er rækkeækvivalent med .
Antag, for et givet , at er lineært
uafhængig. Så har (som minimum) pivoter i de første søjler.
Lad betegne matricen med søjler
, og lad tilsvarende betegne matricen bestående af de første søjler i
. Så er og rækkeækvivalente, og er på RREF.
Pr. antagelse er søjlerne i lineært uafhængige og dermed en
basis for søjlerummet . Antallet af pivoter i er
derfor , jf. Korollar 7.36. Derfor har , og dermed
også , pivoter i de første søjler.
Ovenstående resultat viser, at den opnåede udtynding af stadig
vil indeholde elementerne , og at vi dermed
opnår en udvidelse af til en basis for . Vi illustrerer
denne metode med et eksempel:
Betragt vektorrummet og elementerne
Ifølge Eksempel 7.39 så er lineært uafhængig.
Vi ønsker at udvide til en basis for , og indfører
mængden og den tilsvarende
matrix
Herefter udfører vi elementære rækkeoperationer på :
Den resulterende matrix har pivoter i søjlerne , og ,
og derfor er en udvidelse af
til en basis for .
Samlingen af vektorer bestående af og er lineært uafhængige i .
Forkert.
Bemærk, at ingen vektorer er lineært uafhængige med
, da .
Forkert.
og er ikke lineært uafhængige, da
.
Korrekt!Forkert.