I dette kapitel vil vi indføre
determinanten af en kvadratisk matrix
over et legeme . Determinanten af betegnes i det
følgende med , og er i første omgang blot en nærmere
specificeret skalar i afhængende af . Determinanten indeholder
vigtig information om ; f.eks. så afgør , om er
invertibel (jf. Proposition 11.12(1.)). Herudover
opfylder determinanten visse strukturelle identiteter (f.eks. Proposition 11.12(2.)), og determinanten bliver på denne
måde et meget vigtigt begreb i beskrivelsen af egenskaber for
matricer.
11.1 Definition af determinanten
Inden vi kan definere determinanten, så er det nødvendigt at indføre
følgende begreb.
Lad med . For et heltalspar
, med , lader vi
betegne matricen
der fremkommer ved at slette den 'te række samt den 'te søjle
i . Matricen omtales også som den 'te
undermatrix af .
Lad
Angiv den (2,2)'te undermatrix af .
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Korrekt!Forkert.
Determinanten af en matrix defineres nu rekursivt på følgende vis.
Lad betegne en kvadratisk
matrix af størrelse . Hvis så defineres
determinanten af ved
Såfremt og , så defineres
Ovenstående definition er rekursiv i den forstand, at determinanten i
tilfældet er givet i definitionen. For er determinanten herefter
defineret ud fra determinanterne af undermatricerne , for
. Men undermatricerne , for , er kvadratiske
matricer af størrelse , og deres determinanter er derfor allerede
defineret. Specielt er determinanten for kvadratiske matricer af
størrelse hermed defineret. Herefter defineres determinanten i
tilfældet ud fra determinanter for undermatricer af størrelse
, og idet vi just har defineret determinanten i tilfældet
, så opnår vi hermed en definition i tilfældet . Generelt
kan højresiden af (11.3) beregnes ud fra
determinanter af kvadratiske matricer af størrelse , og
ovenstående proces fortsætter derfor i det uendelige, og vi opnår
hermed en definition på determinanten for kvadratiske matricer af
vilkårlig størrelse.
Hvis , så
følger det direkte af definitionen, at
Hvis og
så er
Hvis og
så er
hvor vi i det sidste lighedstegn har anvendt vores allerede
opnåede viden om determinanter af matricer i .
En øvre triangulær matrix er en
kvadratisk matrix, hvor alle indgange under diagonalen er lig .
Hvis og
er en øvre triangulær matrix, så bemærkes det, at der kun er en
enkelt af indgangene i første søjle der kan være forskellig fra
nul. Højresiden af (11.3) er derfor speciel
simpel, og vi opnår
Idet også er øvre triangulær og lig
så konkluderes det nu let, via et induktivt argument, at
Altså er determinanten af blot lig produktet af
diagonalindgangene. Specielt så gælder dette også, hvis er en
diagonalmatrix
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Korrekt!Forkert.
11.2 Egenskaber ved determinanten
Vi ønsker nu at specificere en række egenskaber, som determinanter
opfylder. I den forbindelse er det nyttigt at arbejde med notationen
der præciserer rækkerne
i
matricen . Vi påstår nu, at følgende resultat gælder.
For et givet heltal der vil determinanten
opfylde følgende egenskaber:
Lad
samt
betegne rækkevektorer i . For ethvert
heltal der er
Lad
betegne
rækkevektorer i , og lad betegne en
skalar. For ethvert heltal er
Lad
betegne
rækkevektorer i , og antag, at
for et passende heltal
. Så
Hvis betegner
identitetsmatricen af størrelse , så er .
Angiv, hvilke af følgende udsagn, der følger
direkte ud fra en kombination af påstandene angivet i denne
Proposition.
Vi argumenterer via induktion i . Hvis så er alle
egenskaber oplagte. Antag derfor, at , og at udsagnene er vist
i tilfældet .Vi starter med at vise
egenskab (1.), og lader
og
betegne elementer i , og sætter
Da har vi pr. induktion, at
mens
idet . Pr. definition af
determinanten så opnår vi hermed, at
hvor vi ved det næstsidste lighedstegn yderligere har anvendt, at
, for . Dette viser
(1.). For at vise
(2.), så ændrer vi notationen fra ovenfor en
smule, og lader nu
Da følger det pr. induktion, at
mens , idet
. Specielt finder vi, at
som ønsket. For at indse (3.), så antager
vi, at har to ens naborækker. Dvs. at
for et passende . Da vil
også have to ens naborækker når . Specielt vil
pr. induktionsantagelsen. Idet vi bemærker, at
og at , så finder vi
derfor, at
Dette afslutter beviset for, at determinanten opfylder
(3.). Sluttelig følger
(4.) af Eksempel 11.3(4.).
Yderligere, så har vi følgende korollar til ovenstående proposition.
Lad , og antag, at fremkommer ved at ombytte
to rækker i . Så er
Antag at fremkommer ved at ombytte række og række i
, hvor angiver passende heltal. Vi argumenterer nu via
induktion i . Hvis , så fremkommer fra ved at
ombytte to naborækker og i
. Betragt da matricen
med to identiske rækker placeret i række og række . Ifølge
egenskab (3.) i Proposition 11.6 så
vil der gælde, at . På den anden side så har vi også, at
hvor vi undervejs i beregningerne har anvendt egenskaberne
(1.) og (3.) fra
Proposition 11.6. Dette viser, at i tilfældet
.Antag nu, at og at udsagnet er vist i tilfældet . Lad da
betegne matricen, der fremkommer ved at ombytte række og
række i . Så er ifølge det just
viste. Lad yderligere betegne matricen, der fremkommer ved at
ombytte række og række i . Så er
pr. induktionsantagelsen. Nu bemærkes det, at fremkommer fra
ved at ombytte række og række i , og dermed er
. Alt i alt har vi derfor, at
som ønsket.
Lad . Hvilke af følgende udsagn kan man med sikkerhed konkludere?
Hvis , så er .
Hvis , så er .
Hvis , så er .
Hvis , så er .
11.3 Elementære rækkeoperationer
Hvis man anvender Definition 11.2 til at beregne determinanten
for konkrete matricer i , så bliver beregningerne let
uoverskuelige, når er stor. Man har derfor ofte brug for
alternative metoder til at beregne determinanter. Følgende resultat
giver en forbindelse mellem determinanter og rækkeoperationer, og er
ofte meget nyttig i konkrete tilfælde.
Fasthold et heltal , og lad og i betegne
kvadratiske matricer af størrelse . Så gælder der:
Såfremt
fremkommer fra ved ombytning af to rækker, så er
Såfremt
fremkommer fra ved multiplikation af en række med en skalar
, så er
Såfremt
fremkommer fra ved at addere et multiplum af en række til en
anden række, så er
Udsagn (1.) følger ved anvendelse
af Korollar 11.7, mens
udsagn (2.) følger direkte fra
egenskab (2.) i
Proposition 11.6.For at indse den resterende påstand, så antager vi, at
fremkommer ved at addere et multiplum
af den 'te række til den 'te række
i . Så gælder der, jf.
(1.) og (2.) i
Proposition 11.6, at
Det er dermed tilstrækkelig at vise, at determinanten af matricen
er lig . Men har to identiske rækker; den 'te række og den
'te række. Hvis disse er naborækker, så følger det ønskede af
(3.) i Proposition 11.6. Hvis og
ikke er naborækker, så kan man ombytte række med en
naborække til række , og på den måde opnå en matrix , der har
to identiske naborækker. Så vil , jf.
(3.) i Proposition 11.6. Men ud fra
det allerede viste, så er , og dermed er
som ønsket.
Ovenstående viser specielt, at hvis en matrix fremkommer fra en
anden matrix via en enkelt elementær rækkeoperation, så vil
for en skalar i forskellig
fra . Skalaren afhænger ydermere kun af den anvendte elementære
rækkeoperation.
Antag i første omgang, at den 'te række i er
en nulrække. Så kan vi opfatte som
, og er da lig ifølge Proposition 11.9(2.).I tilfældet hvor har to identiske rækker og
, for , så lader vi betegne matricen, der
fremkommer ved at trække den 'te række i fra den 'te række
i . Så har en nulrække, og dermed er ifølge det
just viste. Men er også lig ifølge
Proposition 11.9(3.).
Vi giver nedenfor et eksempel, der viser, hvordan elementære
rækkeoperationer kan anvendes til at beregne determinanter.
Betragt den reelle matrix
Så kan bringes på RREF via følgende elementære rækkeoperationer
For at opnå ud fra , så har vi udført en enkelt ERO af
Type (Ⅰ.), en af Type (Ⅱ.) samt seks af
Type (Ⅲ.). Derfor har vi,
jf. Proposition 11.9, at
og dermed er . I princippet behøver vi ikke at udføre
rækkeoperationer indtil vi opnår en matrix på RREF. Hvis vi blot på
et tidspunkt i processen opnår en matrix, hvis determinant er kendt,
så kan vi udregne determinanten af den oprindelige matrix
. F.eks. så er determinanten af den øvre triangulære matrix
lig ifølge Eksempel 11.3(4.). Ydermere så er
opnået fra via tre ERO af Type (Ⅲ.) og en enkelt
af Type (Ⅰ.). Altså er
og vi konkluderer igen, at .
Vi starter med følgende observation: hvis er
rækkeækvivalent til en matrix , så vil der eksistere en følge af
matricer
hvor , for , fremkommer fra via en
enkelt elementær rækkeoperation. Jf. Proposition 11.9, så
eksisterer der dermed skalarer ,
for , så
og skalarerne afhænger alene af den anvendte elementære
rækkeoperation. Specielt vil
hvor alene
afhænger af de anvendte elementære rækkeoperationer i overgangen fra
til .Med denne observation in mente, så lader vi nu betegne en matrix
på RREF, der er rækkeækvivalent til . Så eksisterer der en skalar
, så
Hvis er singulær, så er den nederste række i en nulrække, og
dermed er , jf. Korollar 11.10(1.). Idet
, så må , jf. (11.25). Hvis
omvendt er invertibel, så er lig identitetsmatricen, og
dermed er , jf. (4.) i
Proposition 11.6. Specielt implicerer (11.25) at
. Dette viser
udsagn (1.).For at vise udsagn (2.) så antager vi
i første omgang, at er singulær. I givet fald, så er også
singulær, idet matricen i modsat fald ville opfylde,
at
og dermed ville være en invers til . Det sidste er
en modstrid. Ud fra det allerede viste, så har vi dermed, at
, og identiteten i
udsagn (2.) er derfor
opfyldt. Vi mangler dermed kun at vise
udsagn (2.) i tilfældet, hvor
er invertibel. I dette tilfælde er og
rækkeækvivalente, jf.
Proposition 4.12. Ydermere så implicerer rækkeækvivalensen
mellem og , at man kan vælge
en successiv følge af rækkeoperationer, der ændrer til ,
og som samtidig ændrer til . Idet skalaren
indført ovenfor (11.24) alene afhang af de anvendte
rækkeoperationer, så vil der for et passende gælde,
at
Heraf fås umiddelbart, at
som ønsket.
Lad betegne kvadratiske matricer.
Hvis er og er , så er .Korrekt!
Det er nemlig rigtigt.Forkert.
Vink: Overvej identiteten .
singulær
singulær
invertibel
11.4 Ombytning af søjler
Vi vil nu undersøge, hvad der sker med determinanten, når man ombytter
to søjler. Vi betragter mængden af kvadratiske matricer
af størrelse , og fastholder i det følgende to heltal
. For en matrix der lader vi
da betegne matricen, der fremkommer ved at ombytte søjle og
søjle i . Vi har da følgende forbindelse mellem determinanterne
for hhv. og .
Lad betegne
standardbasen for , og bemærk, at
der for gælder, at
hvor betegner den 'te søjle i .
Bemærk yderligere, at hvis betegner identitetsmatricen,
så er
Vi kan hermed beregne, at
Vi konkluderer, at ,
og (2.) i
Proposition 11.12 implicerer
da, at
Det er derfor tilstrækkeligt at vise, at
. Bemærk nu, at matricen også fremkommer
ved at ombytte række og i , og derfor følger det ønskede af
(1.) i Proposition 11.9.
11.5 Udvikling efter rækker og søjler
I den rekursive definition af determinanter, der optræder formlen
der gælder, når for . Formlen beskriver,
hvordan determinanten kan udtrykkes ud fra en kombination af indgangene i
første søjle i og af visse determinanter af kvadratiske
matricer af størrelse . Denne måde at beregne determinanten på
omtales som udvikling af determinanten efter første
søjle. Faktisk kan man udvikle determinanten efter en vilkårlig
søjle eller række, hvilket vi beskriver i det følgende.
[Kofaktor]
Lad med . For et heltalspar
, med , der kaldes skalaren
for den 'te kofaktor af .
Lad
Angiv den (2,2)'te kofaktor af .
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Korrekt!Forkert.
Specielt så kan vi nu omskrive udviklingen af determinanten efter
første søjle (11.30) til
Betragt en matrix
Så er kofaktorerne til givet ved
Ethvert element i er som bekendt en linearkombination af
standardbasiselementerne
. For en given matrix
med rækker
, der kan vi derfor
skrive
Fasthold nu et heltal med .
Ved at sammenholde (11.32) med
egenskab (1.) og
(2.) i Proposition 11.6 så ser vi, at
hvor betegner matricen, der fremkommer ved at
erstatte den 'te række i med . Vi påstår, at
stemmer overens med den 'te kofaktor . Dette
indses som en direkte konsekvens af følgende resultat.
Lad betegne en kvadratisk matrix, og lad
betegne to heltal. Lad betegne matricen
der fremkommer ved at erstatte den 'te række i med
standardbasisvektoren . Så er
identisk med kofaktoren .
Ved at udføre elementære rækkeoperationer af
Type (Ⅲ.) på , så ser man, at er
rækkeækvivalent med
Idet elementære rækkeoperationer af Type (Ⅲ.) ikke
ændrer på determinanten, jf. Proposition 11.9, så gælder der
yderligere, at .Bemærk nu, at vi kan udføre elementære rækkeoperationer af
Type (Ⅰ.) på og opnå matricen
Specielt er , jf.
(1.) i
Proposition 11.9. Tilsvarende så kan vi successivt ombytte
par af søjler i matricen og opnå matricen
og, jf. Lemma 11.15, så er
. Endelig så kan vi udregne
determinanten af ved hjælp af Definition 11.2, hvilket
implicerer, at
idet der kun er en enkelt indgang i første søjle af , der er
forskellig fra . Samlet set har vi derfor, at
som ønsket.
Ovenstående formel (11.39) omtales ofte som udvikling
af determinanten efter den 'te række. Vi har tidligere set, at
man også kan udvikle determinanten efter den første søjle
(11.31). Dette leder nu til følgende resultat.
Fasthold et heltal , og lad betegne en
kvadratisk matrix af størrelse . Så
Vi argumenterer via induktion i . Hvis , så er udsagnet
oplagt. Antag derfor, at og at udsagnet er vist for
kvadratiske matricer af størrelse .Idet vi har følgende identitet af undermatricer
så gælder der pr. induktion, at
Ved udvikling af determinanter for efter første række, der
opnår vi derfor, at (husk, at den 'te indgang i er lig
)
hvor det sidste lighedstegn følger fra
(11.31). Dette afslutter beviset.
Ovenstående resultat fortæller, at determinanten ikke ændrer sig, når
der byttes rundt på søjler og rækker. Alle resultater der involverer
en sammenhæng mellem rækker og determinanten har derfor en tilsvarende
udgave for søjler. F.eks. så opnår vi på denne måde, at man kan
udvikle determinanten efter en vilkårlig søjle:
Vi sammenholder Korollar 11.20 og Sætning 11.19 og
opnår herved, at
hvor vi undervejs har anvendt identiteten (11.42) fra
beviset for Korollar 11.20.
Betragt den reelle matrix
Det bemærkes, at den første søjle i kun indeholder en enkelt
indgang forskellig fra . Specielt vil udviklingen af
determinanten efter den første søjle kun indeholde et enkelt led
forskelligt fra nul. Vi finder, at
Matricen
indeholder tilsvarende kun et enkelt element forskellig fra i
første række, og dermed opnår vi ved udvikling af den tilsvarende
determinant efter første række, at
hvor sidste lighedstegn følger fra Eksempel 11.3(2.). Vi
konkluderer samlet, at .
11.6 Determinanter og søjleoperationer
I Proposition 11.9 der beskrev vi, hvordan determinanten
opfører sig ifm. rækkeoperationer. Vi vil nu se, at tilsvarende
formler gælder, hvis vi udfører operationer på søjler i stedet for på
rækker. Resultatet bygger på, at vi allerede kender udsagnet for
rækker, og at vi kan ombytte rækker og søjler uden at ændre på
determinanten, jf. Korollar 11.20.
Lad . Så:
Såfremt
fremkommer fra ved ombytning af to søjler, så er
Såfremt
fremkommer fra ved multiplikation af en søjle med en skalar
, så er
Såfremt
fremkommer fra ved at addere et multiplum af en søjle til en
anden søjle, så
Antag at fremkommer fra via en af de beskrevne operationer
(1.),
(2.)
eller (3.). Sæt og
. Så fremkommer fra via en tilsvarende
rækkeoperation. Jf. Proposition 11.9, så er
hvor er hhv. lig , eller svarende til
tilfældene (1.),
(2.)
eller (3.). Yderligere haves, at
og , jf. Korollar 11.20, og
det ønskede er hermed opnået.
De involverede operationer på matricen i ovenstående resultat
kaldes, såfremt , også for elementære
søjleoperationer af hhv.
Type I , Type II
og Type III.
11.7 Den adjungerede matrix
Vi vil nu formulere formlerne for udvikling af determinanten efter
rækker og søjler på en alternativ måde. Vi starter med følgende
definition.
[Adjungeret matrix]
Lad . Den adjungerede matrix til
defineres som matricen
, hvis 'te indgang er lig
kofaktoren .
Lad
Angiv den adjungerede matrix til .
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Ifølge definitionen på matrixproduktet, så beskrives den 'te
indgang i produktet , som
Hvis , så er dette udtryk blot udviklingen af efter den
'te række i . Hvis derimod , så lader vi
betegne matricen, der alene adskiller sig fra ved
at den 'te række i er lig den 'te række i
. Specielt er identisk med , mens
, for . Vi kan derfor opfatte
(11.45) som determinanten af udviklet efter den 'te
række. Bemærk nu, at række og i er identiske, og
dermed så er ifølge (2.)
i Korollar 11.10.Vi kender hermed værdien af (11.45) for alle værdier af
og , og vi kan nu konkludere, at
Den resterende del af identiteten (11.44) følger nu ved at
anvende (11.46) på matricen . Vi opnår da, at
hvor det sidste lighedstegn følger af Lemma 11.26. Dermed,
jf. Korollar 11.20, vil
hvilket implicerer, at
hvor det sidste lighedstegn følger, idet matricen
er diagonal. Dette afslutter beviset.
I tilfældet hvor er udsagnet i Proposition 11.27 identisk
med
jf. Eksempel 11.25.
I det følgende betegner en invertibel matrix med
søjler . At er invertibel
implicerer, jf. Proposition 7.4, at
udgør en basis for . Specielt vil
ethvert element kunne udtrykkes entydigt som en
linearkombination af søjlevektorerne ;
dvs. der eksisterer entydigt bestemte skalarer
, så
Som bekendt (jf. Afsnit 5.2.1), så er vektoren
karakteriseret som den
entydige løsning til det lineære ligningssystem . Den følgende sætning, kaldet Cramers
regel, beskriver værdierne af
vha. determinantbegrebet.
[Cramers regel]
Lad betegne en invertibel matrix, og lad
. Lad , for , betegne matricen,
der fremkommer ved at udskifte den 'te søjle i med .
Den entydige løsning
til det lineære ligningssystem , er da bestemt
ved
Lad og betegne de reelle matricer
og lad .Så er ,
og .Specielt er , med og ,
en løsning til det lineære ligningssystem
.
Korrekt!Forkert.
Som beskrevet ovenfor så er
bestemt ved
identiteten
Specielt er den 'te søjle i også givet som
linearkombinationen på højresiden af (11.51). For
, så er den 'te søjle i blot lig , og det
er derfor oplagt, at vi kan udføre elementære søjleoperationer af
Type III på (subtraher gange søjle fra søjle
for ) og opnå en matrix , hvor den 'te søjle
er lig , mens de øvrige søjler er identiske
med dem i . Ifølge Proposition 11.23(3.) så er
, mens Proposition 11.23(2.)
implicerer, at . Vi konkluderer
derfor, at
som ønsket.
I ovenstående formulering af Proposition 11.30 er det implicit
antaget, at Proposition 11.12. er kendt, så højresiden af
(11.50) giver mening.