Vi ønsker nu at studere vektorrum, hvor længder og (til dels) vinkler,
som vi er vant til det fra , giver mening. Vi lader
betegne et legeme, der enten er eller , og betragter alene
vektorrum over . Vinkler og længder defineres da ud fra et
såkaldt indre produkt, som er en
afbildning
med passende egenskaber. Notationen vælges, så billedet af under betegnes med
. For at afbildningen kan betragtes som et indre
produkt, så kræver vi:
[Indre produkt]
Afbildningen (9.1) kaldes for et indre produkt på
-vektorrummet , såfremt der for alle
og skalarer gælder:
Skalaren
er et reelt tal og
.
Et vektorrum med et indre produkt kaldes samlet for et indre
produkt rum.
Notationen
i Definition 9.1(3.) betegner
det til komplekst konjugerede tal. I tilfældet
hvor er et reelt tal (f.eks. når ), så
er altså blot lig .
En kombination af
betingelse (3.) og
(4.) i Definition 9.1 implicerer, at
for alle og alle .
Skalarproduktet på det reelle vektorrum er
afbildningen
hvor betegner matrixproduktet, og
hvor identificeres med . Skalarproduktet er et
indre produkt på . Vi anvender også betegnelsen om skalarproduktet . Såfremt
og betegner koordinaterne
for hhv. og , så er
Det
komplekse skalarprodukt (eller blot
skalarproduktet) på det komplekse vektorrum
er afbildningen
hvor betegner elementet med alle
koordinater komplekst konjugeret. Det komplekse skalarprodukt er
et indre produkt på . Vi anvender også betegnelsen om skalarproduktet .
Såfremt
og
betegner koordinaterne
for hhv. og , så er
Specielt
har vi,
at
hvor notationen , for , betegner
modulus af det komplekse tal . Det er
dermed klart, at betingelserne
(1.) og (2.) i
Definition 9.1 er opfyldt.
Betragt et -vektorrum der er
er isomorf med via en lineær isomorfi
Ved at definere
hvor højresiden betegner skalarproduktet af og
, så opnår vi et indre produkt på . Denne
definition kan også formuleres vha. basisbegrebet: som beskrevet i
Eksempel 7.19(1.), så er på formen for
en basis for . Den inverse
afbildning til er da givet ved
hvor betegner koordinatvektoren til mht. basen
. Specielt er
Det indre produkt er dermed bestemt ud fra , og
vi anvender derfor også betegnelsen om dette. Vi
vil senere se (jf. Proposition 10.30), at ethvert indre
produkt på er på formen .
Lad betegne et indre
produkt på et vektorrum , og lad betegne et underrum i
. Så vil inducere et indre produkt på via
Lad , med , betegne et lukket interval i , og lad betegne
det reelle vektorrum af kontinuerte reelle funktioner på . Så
definerer
et indre produkt på . At
betingelse (1.) i Definition 9.1 er
opfyldt, skyldes, at
er et integral af en ikke-negativ funktion (husk på beskrivelsen
af integraler som arealer under
grafer). Betingelse (2.) følger fra
kontinuitetsbetingelsen på , idet hvis , for et
i intervallet , så vil ,
for ethvert i et interval omkring og for et passende
. Dette giver et positivt bidrag til integralet
(9.5), og implicerer, at . Egenskab (3.)
og (4.) er oplagte og der er dermed defineret et
indre produkt på . Mere generelt kan man, for et
fastholdt positivt reelt tal , tilsvarende vise, at
definerer et indre produkt.
Betragt nu et interval
som ovenfor og det tilsvarende komplekse
vektorrum af komplekse kontinuerte funktioner på . Så
definerer
et indre produkt på . Beviset følger tilsvarende som for
vektorrummet ovenfor. Som i det reelle tilfælde, så vil
for et positivt reelt tal , også definere et indre produkt.
Lad betegne
-vektorrummet af polynomier af grad over . Hvis
betegner parvist
forskellige elementer i , så definerer
et indre produkt på
. Egenskab (3.) og
(4.) er oplagt
opfyldte. Egenskab (1.) er opfyldt,
idet
er et ikke-negativt reelt tal. Udtrykket (9.9) er
samtidig kun nul, såfremt
dvs. hvis alle er rødder til . Men
polynomier i har højst nulpunkter, med mindre
polynomiet er nul (jf. Proposition B.13), og vi konkluderer
dermed, at polynomiet er nul, hvis . Vi har
hermed vist, at (9.8) definerer et indre
produkt. For fastholdte positive reelle tal ,
så kan man tilsvarende vise, at
definerer et indre produkt.
I det følgende betegner et reelt tal.
Vi betragter det reelle vektorrum og en afbildning
givet ved, at
Angiv, hvornår definerer et
indre produkt på .
Gælder for alle værdier af
Umiddelbart kan det virke mere naturligt at definere det komplekse
skalarprodukt på som
Dette er dog ikke muligt, idet man, i givet fald, ville have
og betingelse (2.) i Definition 9.1
ville derfor ikke være opfyldt.
Vi kan nu præcisere, hvad vi mener med normen (eller længden) af en vektor.
[Norm]
Lad betegne et indre produkt rum. Normen af et element
defineres som
Betragt som et indre produkt rum via det
komplekse skalarprodukt. Angiv normen af elementet
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Korrekt!Forkert.
Vi skynder os at bemærke et par grundlæggende egenskaber ved indre
produkter.
Lad betegne et element i et indre produkt rum , og lad
betegne en skalar. Så:
Udsagn (1.) følger af Definition
9.1(2.).
Udsagn (2.) følger via beregningen
Udsagn (3.) er en konsekvens af
betingelse (4.) i Definition 9.1, idet vi kan skrive som , jf. Proposition 5.2(1.).
Normen giver os også mulighed for at definere en afstand mellem
to vektorer.
[Afstand mellem vektorer]
Lad betegne et indre produkt rum, og lad og
betegne elementer i . Afstanden mellem og
defineres som normen af vektoren
.
Betragt som et indre produkt rum via
skalarproduktet. Angiv afstanden mellem de to elementer
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Korrekt!Forkert.
[Ortogonalitet]
Elementer og i et indre produkt rum kaldes
ortogonale, hvis . I givet fald så skriver
vi også .
Betragt som et indre produkt rum via
skalarproduktet. Angiv værdien for skalaren
, så følgende elementer er ortogonale.
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Korrekt!Forkert.
Vi bemærker, at ortogonalitet, jf.
betingelse (3.) i Definition 9.1, er
symmetrisk i de to relevante vektorer og ; dvs. vi har
For det indre produkt rum
udstyret med skalarproduktet er ortogonalitet det samme som
vinkelret. F.eks. vil en vektor
være ortogonal på den tilsvarende hat-vektor
Betragt det reelle indre produkt
rum defineret ved (9.4) som i
Eksempel 9.3(5.). Så er funktioner og
ortogonale, idet
Det følgende resultat omtales som
Pythagoras' sætning.
[Pythagoras' sætning]
Lad og betegne ortogonale vektorer i et indre produkt
rum . Så
Påstanden følger ved anvendelse af Definition 9.1(4.) og
Bemærkning 9.2(2.)
i beregningen
hvor det tredje lighedstegn følger fra ortogonaliteten af og .
[Projektion på vektor]
Lad , med , betegne
elementer i et indre produkt rum . En
vektor på formen , for , kaldes for en
ortogonal projektion
af på , såfremt og
er ortogonale.
Projektion på vektor
Lad , med , betegne
elementer i et indre produkt rum . Der findes
netop en ortogonal projektion af på
, og denne er givet ved
Betragt det reelle vektorrum som et indre produkt rum via skalarproduktet.
Angiv den ortogonale projektion af
på .
Uligheden er opfyldt, hvis ifølge
Lemma 9.7(3.). Antag derfor, at , og
lad betegne den ortogonale projektion af på . Så er
og og er ortogonale. Ifølge Pythagoras'
sætning er normen af derfor givet ved
Specielt er . Men formel
(9.11) sammen med Lemma 9.7(2.) betyder, at
og dermed
som er ækvivalent med den ønskede ulighed
(9.13).
Såfremt , så implicerer Proposition 9.15, at der
for givne elementer
eksisterer
et entydigt tal i intervallet
, så
Tallet omtales også som vinklen mellem
og . At er
da ækvivalent med, at og er ortogonale.
[Trekantsuligheden]
For elementer og i et indre
produkt rum gælder der
Vi starter med at bemærke, at hvis , med , betegner et komplekst tal (specielt, hvis er et reelt
tal), så er summen et reelt tal, og
Sættes , så opnår vi derfor
hvorfra det ønskede følger.
Umiddelbart virker det overraskende, at
det indre produkt er
bestemt ud fra normen. Dette er dog indholdet af følgende sætning.
[Polariseringsidentiteten]
Lad og betegne elementer i et indre produkt rum
. Hvis , så er
mens hvis , så er
Idet
og tilsvarende
så ses
Såfremt , så er , og
(9.14) kan da omskrives til
hvilket implicerer det ønskede. Vi har dermed reduceret til
tilfældet . Når anvender vi (9.14) på
elementerne og , og opnår
som multipliceret med giver
Adder nu begge sider af (9.14) med de tilsvarende sider af
identiteten (9.16), og opnå
hvilket implicerer det ønskede.