0Indledning

Dette materiale er en bearbejdning af noter, som oprindeligt er kodet, skrevet og brugt af Niels Lauritzen. De tidligere noter fra 2019 findes stadig (også med bidrag fra Marcel Bökstedt). Noterne har sidenhen udviklet sig meget, og udgør nu en selvstændig bog på området, også med indhold der går ud over de fleste introduktioner til lineær algebra. Det er også Niels' stemme man vil kunne høre i flere af videoerne i noterne; et næste skridt i udviklingen af noterne er at modernisere de eksisterende videoer, og udvide med flere videogennemgange af eksempler. Der findes mange andre bøger om lineær algebra, og de fleste af dem er udmærkede. I Aarhus har man på forskellige tidspunkter brugt Leon "Linear algebra with applications" og du Plessis "Forelæsningsnoter i lineær algebra". På matematikuddannelsen i København har man brugt Hesselholt og Wahl "Lineær algebra". Hvis I kigger i nogle af disse, eller i andre lignende kilder, tager I muligvis ikke varig skade af det.

0.1 Struktur af noter samt forventninger

Lineær algebra indgår som en af grundstenene for matematisk modellering i naturvidenskabelige fag, og er hovedingrediensen i videnskabelige beregninger, eksempelvis i finite element metoder til numerisk løsning af differentialligninger.Det er også grundstenen for teoretiske overvejelser inden for matematisk analyse, fysik og signalbehandling i datalogi, hvor vi begynder at bevæge os fra endelig dimensionale problemer til uendelig dimensionale. På trods af dette, er meget af terminologien og mange af metoderne de samme.Selv hvis I aldrig læser et eneste bevis, så husk på at det her er ikke et rent regnekursus. I fremtiden er risikoen relativ stor for, at I skal løse ligninger, eller på anden måde bruge lineær algebra. Da vil I ikke sidde ned ved et bord, og løse ligninger i hånden på et stykke papir, men selvfølgelig vil I fodre en computer med ligningerne. De udregninger vi laver her, er primært øvelser for at lære at fortolke de resultater som en maskine ville kunne give. Det nytter ikke meget at man ejer en computer, som kan beregne egenvektorer, hvis man ikke er aner hvad en egenvektor er, eller hvad den kan bruges til. Teorien bygger på en abstrakt begrebsdannelse, som er vigtig selvom man kun interesserer sig for anvendelser. I har lov til at stole på vores beviser, men I skal lære at forstå de begreber vi kommer til at arbejde med. Erfaringen siger, at den bedste måde at lære at forstå disse begreber, er ved at løse konkrete opgaver med udregninger i hånden; først når en solid forståelse er opnået, bør man anvende computer til sine beregninger.Noterne består af 12 kapitler (og tre appendikser uden for pensum), som bygger oven på hinanden, og rækkefølgen er derfor vigtig; dog kunne Kapitel 5 om determinanter sagtens udskydes til lige før Kapitel 8 om egenværdier og egenvektorer, men emnet hænger faktisk meget godt sammen med matrixregningen fra Kapitel 4. En ganske uvidenskabelig vurdering af den relative sværhedsgrad ser sådan ud:Vi starter forholdsvist blødt ud i første del af kurset, men fra Kapitel 6 om vektorrum vil de fleste mærke en betydelig stigning i sværhedsgraden. Dette hænger blandt andet sammen med de mere abstrakte begreber i kurset, som introduceres her, men som stadig er ekstremt vigtige for at forstå og bruge lineær algebra i praksis. Det skal dog siges, at hvis man følger rigtig godt med, især for Kapitel 4 om matricer, vil sværhedsgraden for resten af kurset være betydeligt lavere end angivet i grafen ovenfor.Som et af kursets første emner tager vi et lynkursus i Kapitel 2 om de komplekse tal; nogle af jer har allerede haft om disse før (eksempelvis i Calculus $\beta$ eller $\tau$), og så er sværhedsgraden naturligvis meget lavere end angivet, men for andre vil det være første gang I støder på disse tal.

0.1.1 Om definitioner og sætninger

Teorien i materialet er skrevet i form af "definitioner" og "sætninger", hvorefter der typisk vil være eksempler, der illustrerer brugen af dem. Definitioner er vores måde at navngive begreber, som eksempelvis hvad er et "heltal" eller hvad er et "komplekst tal"; der er altså ikke tale om et resultat, der kræver et matematisk bevis, men en forklaring af hvad et nyt begreb betyder. Sætninger er matematiske resultater, hvis sandhed bevises ud fra definitioner og aksiomer, og andre kendte resultater. Nogle definitioner og sætninger er relativt indviklede, men der vil typisk være et eksempel i nærheden, som kan hjælpe med intuitionen. Når opgaverne løses, er det en god øvelse at indse hvilke definitioner og sætninger man gør brug af, og lave præcise henvisninger til disse, så det er tydeligt hvad fremgangsmåden er. Dette forventes både til afleveringerne og til eksamen. Man vil også støde på andre varianter af "sætning", såsom "lemma", "korollar" eller "proposition". Det er matematikeres måde at rangere resultater på: "lemma" henviser til et delresultat, der hovedsagligt har til formål at vise en sætning, "korollar" er et særtilfælde/resultat, der følger meget hurtigt fra en sætning, og "proposition" er et resultat, som ikke anses vigtigt nok til at blive kaldt en sætning.

0.1.2 Om beviser

Formålet med dette kursus er at lære at bruge lineær algebra. Som matematiker gør man rede for, hvorfor de metoder vi anbefaler rent faktisk virker. Det gøres i beviser, som er matematikeres måde at overbevise tvivlere. Men i dette kursus er vores hovedformål ikke at gøre rede for alle detaljer i argumenterne. Derfor er vi gået med til det kompromis, at vi giver de matematisk korrekte argumenter, men vi skjuler dem i knapper.BevisHensigten er, at beviserne skal være skrevet ud i alle detaljer. På den ene side betyder det, at man bør kunne arbejde sig igennem hvert enkelt argument, og forstå hvorfor de forskellige påstande er sande. På den anden side gør det, at nogle af argumenterne fylder meget, og kunne overskygge eksemplerne i noterne, hvis ikke de blev skjult.Hvis I ønsker at få den fulde sandhed at vide, må I altså meget gerne klikke på knapperne, som er spredt ud over teksten, og er markeret "bevis" eller lignende. Selvom disse beviser ikke er del af pensum, er der alligevel tre gode grunde til at studere nogle af dem. Den første grund er, at det giver en meget bedre forståelse af stoffet. Den anden grund er, at de fleste af beviserne er gode og ikke alt for vanskelige øvelser i at bruge teorien; det kan faktisk være mindst lige så godt at studere et bevis, som at regne en numerisk opgave. Den tredje grund er, at beviserne øver i at læse en matematisk tekst, og derved også hvordan man skriver matematik. Beviserne i disse noter minder meget om tankegangen i andre matematiske artikler og bøger, men ambitionen er at de skal være mere udførlige, end hvad man normalt finder i sådanne tekster.Et par af beviserne er relativt indviklede, og går udover hvad man forventer af en "øvelse".Bevis $*$