AKomplekse polynomier

Dette appendiks giver en lidt større teoretisk baggrund for brugen af komplekse polynomier, samt beviser algebraens fundamentalsætning. Det forventes at man først har læst Kapitel 2, således at man har en passende intuition omkring de komplekse tal.

Komplekse polynomier er funktioner af en kompleks variabel $z$ på formen

$p(z) = a_n z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \dots + a_1z + a_0, \tag{A.1}$ hvor koefficienterne $a_n,\dots,a_0$ tilhører de komplekse tal og $a_n\neq 0.$ Dette kaldes et $n$ 'te gradspolynomium eller et polynomium af grad $n$ . Nogle konkrete eksempler kunne være

$5z^2-1, \quad (1-i)z^5-2z^2 \quad \text{og} \quad 5-i,$ som er henholdsvis et andet-, femte- og nultegradspolynomium, og hvor det bemærkes at flere af koefficienterne godt kan være lig 0.

For et komplekst polynomium $p$ ønsker man ofte at finde dets nulpunkter, også kaldet rødderne af $p,$ hvilket svarer til at løse ligningen

$p(z) = 0$ med hensyn til $z.$ Algebraens fundamentalsætning fortæller i alt sin enkelthed, at denne ligning altid har mindst én løsning, såfremt der ikke er tale om en konstant funktion (nultegradspolynomium). Det er klart, at en konstant funktion forskellig fra nul ikke har rødder. Endnu pænere gælder faktisk, at et $n$ 'te gradspolynomium har præcis $n$ komplekse rødder. Disse resultater er gennemgået i de følgende afsnit.

A.1 Algebraens fundamentalsætning

Ethvert komplekst polynomium af grad $n\geq 1$ har mindst én rod.

Det var Jean le Rond d'Alembert, der var første til delvist at bevise resultatet. Andre matematiske superstjerner som Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange og Pierre-Simon Laplace gjorde også forsøget, men det første fuldstændige bevis kom i 1815 fra boghandler Jean-Robert Argand og senere fra Carl Friedrich Gauss.

Beviset nedenfor kan findes i Walter Rudin's fremragende introduktionsbog til matematisk analyse, Principles of Mathematical Analysis, dog med færre forklaringer undervejs. Det kræver en lille smule analyse baggrund, specifikt et resultat der kendes fra calculus: En kontinuert funktion (eksempelvis af to reelle variable, realdel og imaginærdel) der har reelle værdier, har et minimum på en kompakt mængde (lukket og begrænset område). Herudover anvendes trekantsuligheden for den absolutte værdi.

Bevis

Lad

$p(z) = a_n z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \dots +a_1z+a_0$ hvor $a_n\neq 0$ og $n\geq 1.$ Vi undersøger et andet polynomium $\widehat{p} = \frac{p}{a_n},$ som er på formen

$\widehat{p}(z) = z^n + \widehat{a}_{n-1}z^{n-1} + \dots + \widehat{a}_1z + \widehat{a}_0,$ hvor $\widehat{a}_j = a_j/a_n.$ Det er klart at $p$ og $\widehat{p}$ har de samme rødder.

Vi fokuserer nu på alle komplekse tal, der ligger på cirklen i den komplekse talplan med centrum i origo og radius $R>0,$ det vil sige de komplekse tal $z$ som opfylder $\lvert z \rvert=R.$ Så gælder

$\begin{aligned} \lvert \widehat{p}(z) \rvert &= R^n\lvert 1 + \widehat{a}_{n-1}z^{-1} + \dots +\widehat{a}_1 z^{1-n} + \widehat{a}_0 z^{-n} \rvert \\ &\geq R^n \underbrace{ (1-\lvert \widehat{a}_{n-1} \rvert R^{-1} - \dots - \lvert \widehat{a}_1 \rvert R^{1-n} - \lvert \widehat{a}_0 \rvert R^{-n}) }_{ \text{positivt for store værdier af } R }. \end{aligned}$ Leddet i parentesen går mod 1 når $R$ vokser mod uendelig, så produktet med $R^n$ får hele den nedre grænse til at gå mod $\infty$ for $R\to\infty.$ Det betyder, at der findes en radius $R_0>0$ stor nok, således at

$\lvert \widehat{p}(z) \rvert > \lvert \widehat{p}(0) \rvert, \quad \lvert z \rvert > R_0. \tag{A.2}$ Eftersom $\lvert \widehat{p} \rvert$ er en kontinuert funktion med reelle værdier, findes et minimumspunkt $z_0$ for funktionen på den lukkede disk $\lvert z \rvert\leq R_0.$ Det vil sige

$\lvert \widehat{p}(z) \rvert \geq \lvert \widehat{p}(z_0) \rvert, \quad \lvert z \rvert \leq R_0. \tag{A.3}$ Da origo tilhører disken $\lvert z \rvert\leq R_0,$ medfører (A.2) og (A.3) at $z_0$ er et minimumspunkt for $\lvert \widehat{p} \rvert$ blandt alle de komplekse tal.

Vi mangler nu at vise $\widehat{p}(z_0) = 0.$ Resten af beviset er et såkaldt modstridsbevis, hvilket betyder at vi antager $\widehat{p}(z_0) \neq 0,$ således at $\lvert \widehat{p}(z_0) \rvert > 0,$ og så vil vi efterfølgende nå frem til en modstrid. En modstrid vil betyde, at vores antagelse var forkert, og på denne måde kommer vi frem til, at resultatet $\widehat{p}(z_0) = 0$ derfor må være sandt.

På grund af antagelsen $\widehat{p}(z_0) \neq 0,$ kan vi definere et nyt polynomium $q$ (af samme grad som $\widehat{p}$ ) ved

$q(z) = \frac{\widehat{p}(z+z_0)}{\widehat{p}(z_0)}.$ Fordi $z_0$ er et minimumspunkt for $\lvert \widehat{p} \rvert,$ gælder

$\lvert q(z) \rvert = \frac{\lvert \widehat{p}(z+z_0) \rvert}{\lvert \widehat{p}(z_0) \rvert} \geq \frac{\lvert \widehat{p}(z_0) \rvert}{\lvert \widehat{p}(z_0) \rvert} = 1 \tag{A.4}$ for alle $z.$ Derudover har vi at $q(0) = 1,$ så nultegradsleddet i $q$ må være $1.$ Lad os opskrive et udtryk for $q$ :

$q(z) = b_n z^n + \dots + b_k z^k + 1,$ hvor $k$ er indekset på koefficienten til det laveste ordens led, forskellig fra $0,$ før det konstante led $1.$ Da $q$ har grad $n\geq 1$ er $\lvert b_k \rvert > 0.$

Som det næste skridt udvælges et komplekst tal $r\mathrm{e}^{i\theta}$ med nogle særlige egenskaber. Vi vælger $\theta = \frac{1}{k}(\pi-\arg(b_k)),$ hvilket betyder

$\mathrm{e}^{ik\theta}b_k = -\lvert b_k \rvert. \tag{A.5}$ Vi vælger $r>0$ lille nok, således at $r^k\lvert b_k \rvert < 1,$ hvilket sammen med (A.5) giver

$\lvert 1 + b_kr^k\mathrm{e}^{ik\theta} \rvert = \lvert 1-r^k\lvert b_k \rvert \rvert = 1-r^k\lvert b_k \rvert.$ Nu kan vi undersøge $q$ i punktet $r\mathrm{e}^{i\theta},$ hvor vi anvender trekantsuligheden, samt at de komplekse eksponentialfunktioner har absolut værdi $1$ :

$\begin{aligned} \lvert q(r\mathrm{e}^{i\theta}) \rvert &= \lvert 1 + r^k\mathrm{e}^{ik\theta}b_k + r^{k+1}\mathrm{e}^{i(k+1)\theta}b_{k+1} + \dots + r^n\mathrm{e}^{in\theta}b_n \rvert \\ &\leq \lvert 1 + r^k\mathrm{e}^{ik\theta}b_k \rvert + r^{k+1}\lvert b_{k+1} \rvert + \dots + r^n\lvert b_n \rvert \\ &= 1 - r^k\lvert b_k \rvert + r^{k+1}\lvert b_{k+1} \rvert + \dots + r^n\lvert b_n \rvert \\ &= 1 - r^k\underbrace{(\lvert b_k \rvert - r\lvert b_{k+1} \rvert - \dots - r^{n-k}\lvert b_n \rvert)}_{\text{positivt for små værdier af } r}. \end{aligned}$ Denne vurdering viser, at i punktet $r\mathrm{e}^{i\theta}$ er $\lvert q(r\mathrm{e}^{i\theta}) \rvert < 1$ for små værdier af $r,$ men dette er i modstrid med (A.4). Beviset er derfor færdigt.

Dette resultat er ikke sandt hvis vi kun må bruge de reelle tal, med det klassiske eksempel $p(x)=x^2+1,$ som ikke har reelle rødder. Fordi de komplekse tal har denne egenskab, kaldes de komplekse tal for et algebraisk lukket legeme (i modsætning til de reelle tal).

A.2 Division med komplekse polynomier

Givet to polynomier $p_1$ og $p_2,$ af grad henholdsvis $n$ og $m,$ kan vi sagtens finde deres produkt $p_1p_2.$ Dette gøres ret enkelt ved at gange de enkelte led ud, og samle led af samme potens af $z.$ Resultatet er et polynomium af grad $n+m$ (med et særtilfælde for nul-polynomiet).

Division med to polynomier $p_1/p_2$ kaldes en rational funktion, og det er ikke garanteret at dette er et polynomium. I stedet kan vi regne med rest, ligesom vi måske kender det fra heltalsdivision med rest.

Lad $p_1$ og $p_2 \not\equiv 0$ være komplekse polynomier. Så findes to entydige komplekse polynomier $q$ (kvotienten) og $r$ (resten), som opfylder

$p_1 = p_2q + r, \tag{A.6}$ hvor enten er $r$ nul-polynomiet, eller også er graden af $r$ strengt mindre end graden af $p_2.$

Bevis

Lad os betegne $\deg(p)$ for graden af et polynomium $p.$ Hvis $\deg(p_2) > \deg(p_1),$ kan vi kun vælge $q = 0$ og $r = p_1.$ Så lad os nu antage at $\deg(p_2) \leq \deg(p_1),$ det vil sige at $\deg(p_2) = n$ og $\deg(p_1) = n+k$ for ikke-negative heltal $n$ og $k.$

Vi har

$\begin{aligned} p_1(z) &= a_{n+k}z^{n+k} + a_{n+k-1}z^{n+k-1} + \dots + a_0, \\ p_2(z) &= b_n z^n + \dots + b_0. \end{aligned}$ Vi observerer, at vi kan eliminere leddet $a_{n+k}z^{n+k}$ i $p_1,$ ved at fratrække $p_2(z)(a_{n+k}/b_n)z^k = p_2(z)q_k(z),$ hvilket giver et polynomium af formen

$p_1(z) - p_2(z)q_k(z) = c_{n+k-1}z^{n+k-1} + \dots + c_0.$ Dernæst kan $c_{n+k-1}z^{n+k-1}$ elimineres, ved at fratrække $p_2(z)(c_{n+k-1}/b_n)z^{k-1} = p_2(z)q_{k-1}(z),$ hvilket igen giver et nyt polynomium:

$p_1(z) - p_2(z)(q_k(z)+q_{k-1}(z)) = d_{n+k-2}z^{n+k-2} + \dots + d_0.$ Dette kan induktivt fortsættes, indtil vi har elimineret led ned til et polynomium af grad (højst) $n-1,$ eller som er nul-polynomiet, hvilket giver vores restled $r.$ Kvotienten $q$ er da $q=q_k+\dots+q_0,$ som har grad $k.$ Denne eliminationsteknik afhænger ikke af, om højestegradskoefficienten er nul (eksempelvis $c_{n+k-1}$ ), hvilket sagtens kan være tilfældet.

Vi mangler at argumentere for entydigheden. Antag at der er to par $q,r$ og $\widetilde{q},\widetilde{r}$ som kunne anvendes i (A.6), så har vi

$0 = p_1 - p_1 = p_2(q-\widetilde{q}) + (r - \widetilde{r}). \tag{A.7}$ Hvis $q\neq \widetilde{q},$ vil $p_2(q-\widetilde{q})$ have mindst samme grad som $p_2$ og ikke være nul-polynomiet. Men dette kan ikke være sandt af (A.7), eftersom $\widetilde{r}-r$ har grad strengt mindre end $p_2,$ eller er lig nul-polynomiet. Derfor er $q = \widetilde{q},$ og så giver (A.7) også at $r = \widetilde{r},$ hvilket beviser entydigheden.

Beviset er konstruktivt, det vil sige at det giver os en algoritme til, hvordan vi i praksis kan finde $q$ og $r.$ Lad os afprøve det på et konkret eksempel.

Lad $p_1(z) = z^4 -z^3+z^2-z$ og $p_2(z) = \tfrac{1}{2}z^2-1.$ For at eliminere $z^4$ -leddet med $p_2,$ får vi brug for $q_2(z) = 2z^2,$

$p_1(z) - p_2(z)q_2(z) = z^4 -z^3+z^2-z - (\tfrac{1}{2}z^2-1)2z^2 = -z^3+3z^2-z.$ For at eliminere $-z^3$ med $p_2$ anvendes $q_1(z) = -2z,$ som giver

$p_1(z) - p_2(z)(q_2(z)+q_1(z)) = -z^3+3z^2-z - (\tfrac{1}{2}z^2-1)(-2z) = 3z^2-3z.$ Til sidst skal vi eliminere $3z^2$ med $p_2,$ altså $q_0(z) = 6,$ hvilket giver

$p_1(z) - p_2(z)(q_2(z)+q_1(z)+q_0(z)) = 3z^2-3z - (\tfrac{1}{2}z^2-1)6 = -3z+6.$ Nu har vi et polynomium af lavere grad end $p_2,$ og vi kan opsamle vores resultat til $r(z) = -3z+6$ og $q(z)=q_2(z)+q_1(z)+q_0(z) = 2z^2-2z+6$ :

$z^4 -z^3+z^2-z = (\tfrac{1}{2}z^2-1)(2z^2-2z+6) -3z+6.$

A.3 Faktorisering af komplekse polynomier

Nu er det tid til at se sammenhængen mellem polynomiel division, og rødder af et polynomium.

Lad $p$ være et komplekst polynomium af grad $n\geq 1.$ Så er $z_0$ rod i $p,$ hvis og kun hvis, der findes et komplekst polynomium $q$ af grad $n-1,$ så

$p(z) = (z-z_0)q(z).$

Bevis

Det er klart, at hvis $p(z) = (z-z_0)q(z)$ gælder $p(z_0) = 0.$ Vi mangler nu at vise det omvendte, altså at $p(z_0)=0$ medfører $p(z) = (z-z_0)q(z),$ hvor $q$ har grad $n-1.$

Til dette formål skal vi anvende Sætning A.2, som giver $q$ af grad $n-1$ og $r$ af grad $0$ (en konstant), som opfylder

$p(z) = (z-z_0)q(z)+r.$ Ved at indsætte $z=z_0$ og anvende $p(z_0)=0$ indses, at konstanten $r$ er lig 0 og vi er færdige.

Nu kan Lemma A.4 itereres sammen med algebraens fundamentalsætning (Sætning A.1). Hvis $p_n$ har grad $n\geq 1$ gælder

$\begin{aligned} p_n(z) &= \underbrace{(z-z_n)}_{ z_n \text{ er rod i } p_n } p_{n-1}(z) \\ &= (z-z_n) \underbrace{(z-z_{n-1})}_{ z_{n-1} \text{ er rod i } p_{n-1} } p_{n-2}(z) \\ &= (z-z_n)(z-z_{n-1}) \underbrace{(z-z_{n-2})}_{ z_{n-2} \text{ er rod i } p_{n-2} } p_{n-3}(z) \\ &\enskip\vdots \\ &= (z-z_n)\cdots (z-z_1)p_0(z), \end{aligned}$ hvor $p_0$ har grad $0,$ og er dermed en konstant. Mere præcist, hvis $p_n$ er på formen (A.1), og man ganger ud ovenfor og sammenligner koefficienten til $z^n$ -leddet, så er $p_0$ lig koefficienten $a_n.$

Dette beviser vores hovedsætning nedenfor om faktorisering af komplekse polynomier. Multiplicitet af rødderne ses fra ovenstående iterative version, hvis vi successivt kan dividere med den samme faktor $z-z_j$ uden restled. Det viser det smukke resultat, at et komplekst polynomium af grad $n\geq 1$ har præcis $n$ rødder, når man tæller multipliciteten af rødderne; og det bør man!

Ethvert komplekst polynomium af grad $n\geq 1$

$p(z) = a_n z^n + \dots + a_0,$ kan på en entydig måde faktoriseres på formen

$p(z) = a_n(z - z_1)^{\alpha_1}(z-z_2)^{\alpha_2}\cdots(z-z_k)^{\alpha_k},$ hvor $z_1,\dots,z_k$ er de forskellige rødder for $p.$ De naturlige tal $\alpha_1,\dots,\alpha_k$ kaldes multipliciteterne af rødderne. For summen af multipliciteterne gælder:

$\alpha_1 + \dots + \alpha_k = n.$

Angående entydigheden af faktoriseringen, kan man naturligvis ombytte rækkefølgen af faktorerne, men vi vil ikke opfatte dette som en ny faktorisering.