1Tal og vektorer i planen

I dette kapitel vil vi introducere tal helt fra de naturlige tal $1, 2, \dots,$ komme ind på negative tal og brøker, for til sidst at berøre de reelle tal og vektorer i planen. Selvom I nok har en god erfaring med dette, er det stadig en god ide at læse dette kapitel, så især notationen kommer ind under huden.

Alt dette leder frem til de komplekse tal i næste kapitel. For at komme i dybden med dem, kræves at man er fortrolig med lidt trigonometri og vektorer i planen.

1.1 Talmængder

Det at tælle er fundamentalt for mennesket, og arkæologiske kilder nævner at mennesket har gjort det i mindst 50.000 år. Man må formode at tællesymbolerne dengang har været primitive, uden avancerede symboler som $0, \dots, 9.$ Måske har man symboliseret $1, 2, 3, 4, 5$ som nedenfor:

Tallenes historie er fascinerende.

1.1.1 Det mirakuløse tal nul

Notationen med pinde er ikke specielt økonomisk. Vores titalssystem er i dag så indgroet i vores kultur, at vi synes det er spild af blæk at skrive tallet $20$ som

Man må ikke glemme, at notationen $20$ indeholder visdom gemt i årtusinders ophobet menneskelig erfaring. Ved at indføre tallet $0$ kan man tælle i grupper af $1, 10, 100, \dots.$ Således dækker notationen $20$ over, at man tæller $0$ grupper af $1$ og $2$ grupper af $10.$ I det hele taget er symbolet $0$ et mirakel, som har bragt menneskeheden betydeligt videre efter det blev indført af den indiske matematiker Brahmagupta i 628. At have et symbol for ingenting er en smuk abstraktion.

Omkring computerens opfindelse kom der mere fokus på, at man ikke nødvendigvis behøver at tælle med hensyn til grupper af størrelser $1, 10, 100, \dots.$ Man kan også tælle binært, det vil sige med hensyn til grupper af størrelser $1, 2, 4, 8, 16, \dots.$ I det binære talsystem kan de $20$ pinde skrives

$10100.$ Måske er dette mere elegant - enten er en gruppe der ( $1$ ), eller også er den der ikke ( $0$ ). Læg mærke til at tallet $0$ er centralt lige meget hvilket talsystem man vælger.

1.1.2 Naturlige tal

Rent matematisk har de naturlige tal egentlig ikke noget at gøre med hvilket talsystem de bliver skrevet op i. I den abstrakte matematiske verden giver det god mening at bruge pinde til at repræsentere naturlige tal. Faktisk er det sådan man indfører de naturlige tal med den aksiomatiske metode under navnet Peano's aksiomer.

Vi definerer de naturlige tal til at være de positive heltal:

$1,\enskip 2,\enskip 3,\enskip \dots,$ hvor vi allerede ved hvordan man adderer og multiplicerer naturlige tal. Mængden af naturlige tal betegnes $\mathbb{N}.$ I tilfælde hvor vi gerne vil starte fra $0$ i stedet for $1,$ skriver vi $\mathbb{N}_0.$

1.1.3 Heltal

Vi ved godt at der findes negative tal, men hvordan vil vi egentlig forklare dem? Skru tiden nogle hundrede år tilbage, og forestil dig hvor svært det har været at komme fra at man har $0$ kroner i sin pung og skylder $5$ kroner væk, til at abstrahere og sige at man har $-5$ kroner i sin pung.

I matematikkens verden drejer det sig om at kunne løse ligninger. Indenfor de naturlige tal kan man ikke løse de enkleste ligninger. For eksempel har ligningen

$x + 5 = 3 \tag{1.1}$ ikke løsninger i de naturlige tal. Mere formelt skriver vi, at der ikke findes noget $x\in \mathbb{N}$ (notationen betyder: $x$ tilhører de naturlige tal $\mathbb{N}$ ), som opfylder at $x + 5 = 3.$ For at kunne løse denne ligning, bliver vi nødt til at udvide de naturlige tal til heltallene

$\dots,\enskip -3,\enskip -2,\enskip -1,\enskip 0,\enskip 1,\enskip 2,\enskip 3,\enskip \dots,$ som betegnes $\mathbb{Z}$ (for Zahlen på tysk). I mængden af heltal har ligning (1.1) løsningen $x=-2.$

1.1.4 Rationale tal

Der er stadig ret enkle ligninger, for eksempel

$2 x = 1, \tag{1.2}$ som vi ikke kan løse med et heltal $x\in \mathbb{Z}.$ Det er grunden til at vi indfører mængden af brøker eller rationale tal, som betegnes $\mathbb{Q}$ (fra Quotient på engelsk). Brøker er som bekendt tal af formen $p/q,$ hvor $p,q\in \mathbb{Z}$ med $q\neq 0.$ Ligning (1.2) kan løses med brøken $x = \frac{1}{2}.$

Afprøv nu på egen hånd at løse Quiz 1.2 under opgaverne.

Det er ikke svært at lægge heltal sammen, eller multiplicere to brøker, men forestil dig nu at du har glemt hvordan man lægger brøker sammen. Kunne du benytte hjernekraft til at finde ud af det, blot ud fra indfaldsvinklen med at man skal kunne løse ligninger? Lad os tage eksemplet

$s = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}. \tag{1.3}$ Vi er godt klar over at $s$ bestemt ikke er lig med

$\frac{1 + 1}{2+ 3} = \frac{2}{5}$ i og med at $s$ må være større end $\frac{1}{2}.$ Men hvordan finder vi $s$ som brøk? Her hjælper ligninger os. Vi ved at $x = \frac{1}{2}$ og $y = \frac{1}{3}$ er løsninger til ligningerne

$\begin{aligned} 2x & = 1\\ 3y & = 1. \end{aligned}$ Hvis vi nu ganger første ligning med $3$ og anden ligning med $2,$ får vi ligningerne

$\begin{aligned} 6x & = 3\\ 6y & = 2. \end{aligned}$ Disse to ligninger kan vi nu lægge sammen og få

$6(x + y) = 5.$ Derfor er

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = x + y = \frac{5}{6}.$ Et alternativ kunne være at gange (1.3) igennem med $6 = 2\cdot 3,$ og få

$6 s = 6 \Bigl(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\Bigr) = 3 + 2 = 5 \quad \text{det vil sige} \quad s = \frac{5}{6}.$ Indrømmet, matematisk har vi snydt en smule her. Faktisk har vi også brug for at sige hvornår to brøker er ens, som for eksempel

$\frac{5}{6} = \frac{10}{12},$ men det er en anden historie.

1.1.5 Reelle tal

Vi begyndte med de naturlige tal $\mathbb{N}$ og kunne ikke løse enkle ligninger. Så udbyggede vi til heltal $\mathbb{Z},$ men kunne her stadig ikke løse helt simple ligninger som $2 x = 1.$ Det gjorde at vi "opfandt" brøker eller de rationale tal $\mathbb{Q}.$ Her har vi at gøre med tal, hvor man kan addere, subtrahere, multiplicere og dividere (med alle rationale tal undtagen $0$ ). Med symboler har vi lavet kæden (hvor $\subset$ betyder "ægte delmængde af"):

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}.$ Til hverdag omgiver vi os praktisk taget kun med rationale tal. Computere kan strengt taget kun håndtere rationale tal. Men rationale tal kan sagtens være overordentligt komplicerede, med store tællere og nævnere, som for eksempel:

$\frac{237894619875623478956127341734059237458923745237528903475203857}{534058927340589273450923475029345723049587234095723408957121232}.$ Findes der andre tal end de rationale?

Her støder vi på et af de mest overraskende elementer i matematikkens historie. Svaret er ja, og skal findes i Pythagoras' læresætning om længden af hypotenusen i en retvinklet trekant. Som du helt givet husker, siger Pythagoras for en retvinklet trekant, med hypotenuselængde $c$ og med katetelængder $a$ og $b,$ at

$a^2 + b^2 = c^2.$ Vi kan illustrere det med vektorer i et koordinatsystem:

Her siger Pythagoras at længden af vektoren med koordinaterne $(a, b)$ er $\sqrt{a^2 + b^2}$ . Det vil sige, at længden af diagonalen i et rektangel med sidelængder $a$ og $b$ er $\sqrt{a^2 + b^2}.$

Overraskende nok, i et kvadrat med sidelængde $1,$ er længden af diagonalen ikke et rationalt tal. Noget så naturligt som længden af diagonalen nedenfor er ikke en brøk af heltal, men er et såkaldt irrationalt tal.

Et berømt matematisk argument, flere tusinde år gammelt, er netop et bevis for dette.

Selvom man til daglig ikke har brug for irrationale tal, er det i matematikken ekstremt vigtigt at kunne håndtere tal som $\sqrt{2}.$ Man kan vise, at der faktisk er langt flere irrationale tal end rationale. Disse udgør tilsammen de reelle tal, som betegnes $\mathbb{R}.$ Det er en anelse teknisk at konstruere de reelle tal matematisk, men vi vil alligevel benytte dem, når vi regner med vektorer i planen.

1.2 Vektorer i planen

En vektor i planen er givet ved dens koordinater, som er ordnede par af reelle tal $x, y\in \mathbb{R}$ :

$\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}.$ Af typografiske hensyn, skrives vektoren også ofte $(x, y).$

Det er meget naturligt at lægge to vektorer sammen, og gange en vektor med et tal på følgende måde. Betragt vektorerne, og bemærk at vektorer i disse noter er skrevet med fed skrift:

$\mathbf u = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} \quad\text{og}\quad \mathbf v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}.$ Så er summen $\mathbf u + \mathbf v$ lig med

$\begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \end{pmatrix},$ og skalarmultiplikationen $\lambda \mathbf u,$ med tallet $\lambda\in\mathbb{R},$ er lig med

$\begin{pmatrix} \lambda u_1 \\ \lambda u_2 \end{pmatrix}.$ Vi betegner mængden af vektorer i planen som $\mathbb{R}^2.$ Fra din baggrund i matematik, ved du at det indre produkt, også kaldet prikprodukt eller skalarprodukt, mellem $\mathbf u$ og $\mathbf v$ er givet ved formlen

$\mathbf u \cdot \mathbf v = u_1 v_1 + u_2 v_2.$ Det indre produkt har en masse gode egenskaber, eksempelvis gælder:

$\begin{aligned} (\lambda \mathbf u)\cdot \mathbf v &= \lambda (\mathbf u\cdot \mathbf v)\\ \mathbf u \cdot (\mathbf v + \mathbf w) &= \mathbf u\cdot \mathbf v + \mathbf u\cdot \mathbf w. \end{aligned}$

Den Euklidiske norm (længden) af vektoren $\mathbf u\in\mathbb{R}^2$ er givet ved formlen

$\lvert \mathbf u \rvert = \sqrt{\mathbf u\cdot \mathbf u} = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}.$ En vektor $\mathbf u$ siges at være en enhedsvektor hvis den har norm $1,$ det vil sige $\lvert \mathbf u \rvert = 1.$

To vektorer $\mathbf u$ og $\mathbf v$ siges at være ortogonale (vinkelrette) hvis $\mathbf u\cdot \mathbf v = 0.$

1.3 Ortogonal projektion på en vektor

Lad $\mathbf v$ og $\mathbf u$ være to vektorer som vist i Figur 1.1. Husk, ved at gange $\mathbf u$ med en skalar $\lambda\in \mathbb{R},$ opnås en ny vektor parallel med $\mathbf u,$ men som har norm $\lvert \lambda \rvert\lvert \mathbf u \rvert,$ altså længden af vektoren er skaleret. Hvor meget skal vi forkorte eller forlænge $\mathbf u$ med, for at afstanden mellem $\mathbf v$ og $\lambda \mathbf u$ bliver mindst mulig?

Ortogonal projektion $\lambda\mathbf u$ af $\mathbf v$ på $\mathbf u.$

Der er her tale et minimeringsproblem. Vi kender vektorerne $\mathbf v$ og $\mathbf u,$ og skal finde tallet $\lambda$ så normen

$\lvert \mathbf v - \lambda\mathbf u \rvert$ af vektoren $\mathbf v - \lambda\mathbf u$ bliver minimal; normen af denne vektor svarer til afstanden mellem $\mathbf v$ og $\lambda\mathbf u.$ Det er præcis det samme som at finde $\lambda,$ som minimerer funktionen

$\begin{aligned} p(\lambda) &= \lvert \mathbf v - \lambda \mathbf u \rvert^2 = (\mathbf v - \lambda \mathbf u)\cdot (\mathbf v - \lambda \mathbf u) = \mathbf v\cdot \mathbf v -2 \lambda \mathbf v\cdot \mathbf u + \lambda^2 \mathbf u\cdot \mathbf u\\ &=\lvert \mathbf u \rvert^2 \lambda^2 - 2 (\mathbf v\cdot \mathbf u) \lambda + \lvert \mathbf v \rvert^2. \end{aligned}$ Faktisk er funktionen $p$ en parabel i $\lambda,$ som vender benene opad, og med bundpunkt for

$\lambda = \frac{\mathbf v \cdot \mathbf u}{\lvert \mathbf u \rvert^2}.$ Med denne værdi for $\lambda$ gælder (prøv selv at indsætte udtrykket)

$(\mathbf v - \lambda\mathbf u) \cdot \mathbf u = 0,$ det vil sige vektorerne $\mathbf v-\lambda\mathbf u$ og $\mathbf u$ er vinkelrette. Det er måske ikke så overraskende ud fra tegningen i Figur 1.1.

For vektorer $\mathbf v$ og $\mathbf u\neq \mathbf 0$ i planen, så kaldes vektoren

$\mathbf w = \Bigl(\frac{\mathbf v\cdot\mathbf u}{\lvert \mathbf u \rvert^2}\Bigr)\mathbf u \tag{1.4}$ for den ortogonale projektion af $\mathbf v$ på $\mathbf u.$

Vi skal se nærmere på dette begreb i højere dimensioner i Kapitel 9, som er helt essentielt for at løse og undersøge egenskaber for store ligningssystemer i praksis. Hvis $\mathbf w$ er den ortogonale projektion af $\mathbf v$ på $\mathbf u,$ så angiver tallet

$d = \lvert \mathbf v-\mathbf w \rvert \tag{1.5}$ afstanden fra $\mathbf v$ til linjen gennem origo og med retning $\mathbf u$ (linjen udspændt af vektoren $\mathbf u$ ).

1.4 Cosinus og sinus til en vinkel

Vi repeterer cosinus og sinus af vinkler. Mængden af alle enhedsvektorer i $\mathbb{R}^2$ (vektorer med norm $1$ ) er lige præcis de vektorer med koordinater på enhedscirklen nedenfor.

Enhedsvektoren $(x, y)$ på tegningen er entydigt givet ud fra dens vinkel $\theta$ med den positive del af $x$ -aksen (fortegnet på en vinkel er positivt mod urets retning og negativt med urets retning).

Cosinus, $\cos(\theta),$ til vinklen $\theta$ er defineret som $x$ -koordinaten og sinus, $\sin(\theta),$ som $y$ -koordinaten til enhedsvektoren. Denne definition giver omgående den velkendte formel

$\cos(\theta)^2 + \sin(\theta)^2 = 1.$

Ud fra tegningen ovenfor kan man også aflæse følgende identiteter:

$\begin{aligned} \cos(-\theta) &= \cos(\theta)\\ \sin(-\theta) &= - \sin(\theta)\\ \cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin(\theta)\\ \sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= \cos(\theta). \end{aligned}\tag{1.6}$ Vinkler kan angives i form af grader eller radianer. Vi vil altid regne i radianer, svarende til at omkredsen af enhedscirklen er $2\pi.$

For den retvinklede trekant

kan man også via definitionen af cosinus og sinus finde frem til formlerne:

$\begin{aligned} c \cos(\theta) &= a\\ c \sin(\theta) &= b. \end{aligned}\tag{1.7}$

Disse formler er meget nyttige når man skal regne på vektorer i planen, hvilket vi får brug for i næste kapitel om komplekse tal.

Hvis $\lambda\mathbf u$ er den ortogonale projektion af $\mathbf v$ på $\mathbf u,$ så udgør $\lvert \mathbf v \rvert$ diagonalen i en retvinklet trekant med katetelængder $\lvert \lambda\mathbf u \rvert$ og $\lvert \mathbf v-\lambda\mathbf u \rvert$ (se Figur 1.1). Hvis $\lambda>0,$ så giver formlerne i (1.7) derfor

$\lvert \mathbf v \rvert \cos(\theta) = \lambda\lvert \mathbf u \rvert,$ hvor $\theta$ er vinklen mellem vektorerne $\mathbf v$ og $\mathbf u.$ Ved at indsætte $\lambda = (\mathbf v\cdot\mathbf u)/\lvert \mathbf u \rvert^2$ fra Definition 1.3, får vi den smukke formel for cosinus til vinklen mellem $\mathbf v$ og $\mathbf u$ :

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf v\cdot \mathbf u} {\lvert \mathbf v \rvert \lvert \mathbf u \rvert}. \tag{1.8}$

Situationen med $\lambda<0$ gennemgås på en tilsvarende måde, og leder frem til den samme formel.

1.5 Cosinus og sinus for summen af to vinkler

Man kan ret nemt overbevise sig om, at $\cos(A + B)$ ikke er lig med

$\cos(A) + \cos(B)$ for to vinkler $A$ og $B.$ For eksempel gælder $\cos(0) + \cos(0) = 2 \neq \cos(0+0).$ Men findes der en formel som udtrykker $\cos(A + B)$ ved hjælp af cosinus og sinus til $A$ og $B$ ?

Ud fra tegningen ovenfor kan vi udlede en formel for cosinus til differencen mellem de to vinkler $A$ og $B.$ Da de to vektorer $(\cos(A),\sin(A))$ og $(\cos(B),\sin(B))$ er enhedsvektorer, er deres indre produkt givet fra (1.8) netop lig med cosinus til forskellen mellem deres vinkler, det vil sige

$\cos(A - B) = \cos(A) \cos(B) + \sin(A) \sin(B). \tag{1.9}$

Ved at lave et lille trick, og udskifte $B$ med $-B$ i (1.9), får vi

$\cos(A + B) = \cos(A - (- B)) = \cos(A)\cos(-B) + \sin(A)\sin(-B).$ Ved nu at benytte $\cos(-B) = \cos(B)$ og $\sin(-B) = - \sin(B)$ fra (1.6), kommer vi frem til formlen

$\cos(A + B) = \cos(A) \cos(B) - \sin(A) \sin(B). \tag{1.10}$

Hvad med additionsformler for sinus? Her benyttes igen (1.6), som giver

$\sin(\theta) = -\cos(\theta + \tfrac{\pi}{2})\quad\text{samt} \quad \cos(\theta) = \sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}).$ Kombineret med (1.10), for vinklerne $A$ og $B+\tfrac{\pi}{2}$ , får vi

$\begin{aligned} \sin(A + B) &= -\cos(A + B + \tfrac{\pi}{2}) \\ &= -\left(\cos(A) \cos(B+\tfrac{\pi}{2}) - \sin(A) \sin(B+\tfrac{\pi}{2})\right), \end{aligned}$ og dermed

$\sin(A + B) = \cos(A) \sin(B) + \sin(A) \cos(B). \tag{1.11}$

Nu overlades det som en opgave til læseren, at vise den sidste formel:

$\sin(A - B) = \sin(A) \cos(B) - \cos(A) \sin(B). \tag{1.12}$

1.6 Opgaver

Brahmagupta opfandt tallet $0$ i år $628.$ Hvad gælder om tallet $628$ ?

Det skrives $1010001000$ i det binære talsystem.

Det skrives $1001110100$ i det binære talsystem.

I det oktale talsystem, det vil sige med hensyn til grupper af størrelse $1,$ $8,$ $64,$ $512,$ $\dots,$ skrives $628$ som $1210.$

Det skrives DCXXVIII som romertal.

Hvad gælder om ligningen

$\frac{1}{2} + \frac{x}{3} = 1?$

Den har to løsninger.

Ingen løsninger til ligningen er naturlige tal.

Der er kun en løsning, som er et rationalt tal mellem $1$ og $2.$

Der er kun en løsning, som er et rationalt tal mellem $0$ og $1.$

Efter præcis samme metode som i Eksempel 1.1, kan vi finde (med symboler) formlen

$\frac{a}{s} + \frac{b}{t} = \frac{a t + b s}{s t} \tag{1.13}$ for addition af de to brøker $\frac{a}{s}$ og $\frac{b}{t}.$ Prøv langsomt at gå igennem metoden som følger: $x = \frac{a}{s}$ og $y = \frac{b}{t}$ er løsninger til ligningerne

$\begin{aligned} s x & = a\\ t y & = b. \end{aligned}$ Ved at gange første ligning med $t$ og anden ligning med $s,$ og addere ligningerne, fremkommer formlen (1.13).

Diofants ungdom varede $1/6$ af hans liv. Han fik skæg efter $1/12$ mere. Efter $1/7$ mere blev han gift. Fem år senere fik han en søn. Sønnen levede halvt så længe som faderen, og Diofant døde fire år efter sønnen. Hvor gammel blev Diofant?

Hovedingrediensen i det matematiske bevis for, at kvadratroden af $2$ ikke er et rationalt tal, er følgende udsagn om naturlige tal: Kvadratet af et ulige tal er ulige, f.eks. $3^2 = 9,$ $5^2 = 25$ og $7^2 = 49.$ Kan du lave et bevis, der gælder for alle ulige tal?

Betragt vektorerne

$\mathbf v = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix}\qquad\text{og}\qquad \mathbf u = \begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}.$ For hvilket $\lambda$ er $\mathbf v - \lambda \mathbf u$ vinkelret på $\mathbf u$ ?

$\lambda = 1.$

$\lambda = \frac{2}{3}.$

$\lambda = \frac{4}{5}.$

$\lambda = \frac{3}{5}.$

Lad $d$ betegne afstanden fra punktet $(1, 1)$ til linjen gennem $(0, 0)$ og $(2, 1).$ Hvad gælder om $d$ ?

$d = \frac{1}{2}.$

$d = 0.447214.$

$d = \frac{\sqrt{5}}{5}.$

$d = \frac{2}{\sqrt{5}}.$

Lad $x$ være cosinus til $\tfrac{\pi}{4}$ (svarer til $45$ grader). Hvad gælder om $x$ ?

$x = \sin(\tfrac{\pi}{4}).$

$2 x^2 = 1.$

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

$x = \sin(\tfrac{3\pi}{4}).$

Findes en retvinklet trekant med sidelængder $3,$ $4$ og $5$ ? I givet fald, bestem vinklerne i denne trekant.

Lad $d$ betegne afstanden fra punktet $(2, 1)$ til linjen gennem $(0, 0)$ og $(1, 3).$ Hvad gælder om $d$ ?

$d > \frac{3}{2}.$

$1 < d < \frac{3}{2}.$

$2 d^2 = 5.$

$3 d^2 = 5.$

Giv et præcist argument for, at

$\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) \quad \text{og} \quad \sin(\theta)^2 = \cos(\theta)^2 - \cos(2\theta).$

Lommeregneren siger at $\sin(\tfrac{\pi}{3})$ er cirka $0.866.$ Giv et geometrisk argument for, at

$\sin(\tfrac{\pi}{3}) = \tfrac{\sqrt{3}}{2},$ ved hjælp af en retvinklet trekant, hvor de to ikke-rette vinkler er $\tfrac{\pi}{3}$ og $\tfrac{\pi}{6}.$

Hint

Vi kan starte med en ligesidet trekant med sidelængder på $2.$ Vinklerne vil derfor alle være lige store, og derfor $\tfrac{\pi}{3}.$ Skær nu trekanten over i to retvinklede trekanter, som vist nedenfor. Så får vi dermed en retvinklet trekant med diagonal $2,$ en vinkel på $\tfrac{\pi}{3}$ og en hosliggende katete på $1.$

Find den modsatrettede katete $\color{red}{?}$ fra Pythagoras sætning. Nu skal bruges sammenhængen for sinus til en vinkel i en retvinklet trekant.

Giv et præcist argument for, at

$\tan(2\theta)-\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(2\theta)\cos(\theta)}.$

Hint

Man kan vælge at skrive $\sin(\theta) = \sin(2\theta-\theta).$

En ret linje $L$ udbreder sig uendelig langt i begge retninger og gennemløber blandt andet to punkter i planen: $(1,2)$ og $(4,5).$ Bemærk, $L$ skærer ikke origo $(0,0).$

Find punktet $P$ på $L$ med korteste afstand til punktet $(-1,3).$
Hint
$L$ skærer $y$ -aksen i en værdi $b\neq 0.$ Hvis man trækker $b$ fra alle $y$ -værdierne for punkterne i opgaven, svarer det til at flytte det hele så $L$ skærer origo, hvilket måske er brugbart. Når man har regnet færdig skal man flytte det hele på plads igen!
Find den mindste vinkel mellem linjen $L$ og en anden ret linje der gennemløber punkterne $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ og $P.$