7Basisskifte og lineære transformationer

I dette kapitel skal vi undersøge, hvordan lineære funktioner mellem vektorrum (lineære transformationer) kan beskrives af matricer, samt hvordan valg af baser kan bruges til at give forskellige matrixrepræsentationer; nogle pænere end andre. Eksempelvis repræsenterer matricerne

$\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 24 & -12 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{og} \quad \begin{pmatrix} 2 & & & \\ & 2 & & \\ & & -2 & \\ & & & -2 \end{pmatrix}$ den samme underliggende lineære transformation. Heraf er det klart at foretrække diagonalmatricen. Den første matrixrepræsentation har brugt standardbasen for $\mathbb{R}^4,$ mens den anden har gjort brug af basen

$\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}.$ I Kapitlerne 8, 11 og 12 skal vi vælge "optimale" baser, så vi får diagonalmatricer.

En af hovedpointerne i kapitlet (og i hele kurset) er, at de ting man vil undersøge for lineære transformationer mellem endelig dimensionale vektorrum, kan man lige så vel undersøge for en matrixrepræsentation (se eksempelvis Opgave 7.11). Man kan altså tænke på lineære transformationer som matricer, hvilket er naturligt, både fra et praktisk og et teoretisk synspunkt.

Inden vi kommer så langt, og inden vi definerer lineære transformationer og deres matrixrepræsentationer, skal vi se hvordan vi kan foretage basisskifte.

7.1 Basisskifte

Forskellige baser for det samme vektorrum $V,$ kan bruges til at beskrive vektorer $\mathbf w\in V.$ Vi kan have to baser i spil, $B_1 = \{\mathbf u_1,\dots,\mathbf u_n\}$ og $B_2 = \{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\},$ og vi husker at for hver basis vil $\mathbf w$ have en koordinatvektor, som beskriver $\mathbf w$ gennem linearkombination af basisvektorerne:

$\begin{aligned} \mathbf w &= x_1\mathbf u_1 + \dots + x_n\mathbf u_n \\ &= y_1\mathbf v_1 + \dots + y_n\mathbf v_n. \end{aligned}\tag{7.1}$ Her er koordinatvektorerne $[\mathbf w]_{B_1} = (x_1,\dots,x_n)^\textup{T}$ og $[\mathbf w]_{B_2} = (y_1,\dots,y_n)^\textup{T}.$ Selv for abstrakte vektorrum vil koordinatvektorerne være søjlevektorer med tal i $\mathbb{F}.$ Så selvom vi i dette kursus mest ser på underrum af $\mathbb{F}^n,$ er princippet det samme for eksempelvis vektorrum af polynomier: Det vigtigste at tage med herfra er, at når vi regner med baser, er der altid tale om regning på koordinatvektorer.

Vektor $\mathbf w \in\mathbb{R}^2$ beskrevet med baserne $\{\mathbf u_1,\mathbf u_2\}$ og $\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}.$

Vi ønsker en måde at komme fra koordinatvektoren $[\mathbf w]_{B_1}$ til koordinatvektoren $[\mathbf w]_{B_2},$ og her kommer basisskiftematricen i spil. Skift af basis er essentielt for anvendelser (se f.eks. Kapitel 12).

Lad $B_1 = \{\mathbf u_1,\dots,\mathbf u_n\}$ og $B_2 = \{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\}$ være to baser for et vektorrum $V.$ Basisskiftematricen fra $B_1$ til $B_2$ er $n\times n$ matricen $T$ givet ved

$T = ([\mathbf u_1]_{B_2}, \dots, [\mathbf u_n]_{B_2}).$ Det er altså matricen, hvis søjler er koordinatvektorerne for basen $B_1$ med hensyn til basen $B_2.$

Navnet på basisskiftematricen giver først mening når vi tager den i brug.

$\phantom{}$

Basisskiftematricen $T$ fra Definition 7.1, er den entydige matrix der opfylder
$[\mathbf w]_{B_2} = T[\mathbf w]_{B_1}, \tag{7.2}$ for enhver vektor $\mathbf w\in V.$
Matricen $T$ er invertibel, og $T^{-1}$ er basisskiftematricen fra $B_2$ til $B_1.$
Hvis $V\subseteq\mathbb{F}^p,$ kan vi skrive $B_1 = (\mathbf u_1,\dots,\mathbf u_n)$ og $B_2 = (\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n)$ som matricer. Så kan $T$ bestemmes ved $n\times n$ matricen i øverste højre hjørne af RREF fra følgende totalmatrix:
$(B_2|B_1) \sim \left(\begin{matrix} I_n \\ \mathbf 0 \end{matrix}\,\left|\,\, \begin{matrix} T \\ \mathbf 0 \end{matrix}\right.\right) , \tag{7.3}$ hvor antal nulrækker i RREF er $p-n.$
Hvis $V = \mathbb{F}^n,$ kan $T$ findes ved
$T = B_2^{-1}B_1. \tag{7.4}$

Bevis

Vi starter med entydigheden. Antag at der er to matricer $T_1$ og $T_2$ som opfylder (7.2). Så har vi at $(T_1-T_2)\mathbf x = \mathbf 0$ for alle $\mathbf x,$ hvilket kun opfyldes af nulmatricen, så $T_1 = T_2.$

Lad $[\mathbf w]_{B_1} = (x_1,\dots,x_n)^{\textup{T}},$ det vil sige

$\mathbf w = x_1\mathbf u_1 + \dots + x_n\mathbf u_n.$ Af lineariteten af koordinatvektorer (se Opgave 7.9):

$[\mathbf w]_{B_2} = x_1[\mathbf u_1]_{B_2} + \dots + x_n[\mathbf u_n]_{B_2} = T[\mathbf w]_{B_1}.$ Lad $\widetilde{T}$ være basisskiftematricen fra $B_2$ til $B_1,$ så er det klart at $T\widetilde{T} = \widetilde{T}T = I_n.$ Derved er $T$ invertibel med $\widetilde{T} = T^{-1}.$

Hvis $V$ er et vektorrum af søjlevektorer, og vi identificerer $B_1$ og $B_2$ som matricer, med basisvektorerne som søjler, kan vi bestemme koordinatvektorerne $[\mathbf u_1]_{B_2},\dots,[\mathbf u_n]_{B_2}$ ved at løse

$B_2\mathbf x = \mathbf u_j$ for hvert $j=1,\dots,n.$ Disse ligningssystemer løses samlet ved hjælp af (7.3). Da $T$ er entydigt bestemt, får man en RREF på den angivne form.

Hvis $V = \mathbb{F}^n$ er $B_2$ invertibel. Nu er (7.3) det samme som $T = B_2^{-1}B_1.$

Som et særtilfælde, Hvis $V=\mathbb{F}^n$ og vi går fra en basis $B$ til standardbasen (svarer til identitetsmatricen $I_n),$ så er $B$ basisskiftematricen. Omvendt, hvis vi går fra standardbasen til basis $B,$ er $B^{-1}$ basisskiftematricen.

Det betaler sig at se et konkret eksempel på anvendelsen af Proposition 7.2. Lad

$B_1 = \left\{\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}\qquad \text{og}\qquad B_2 = \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}$ være to baser for $\mathbb{R}^2.$ Eller skrevet på matrixform:

$B_1 = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\qquad \text{og}\qquad B_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.$ Vi kan udregne basisskiftematricen $T$ fra $B_1$ til $B_2$ ved brug af (7.4):

$T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -7 & -3 \end{pmatrix}.$

Lad os tage en konkret vektor

$\mathbf w = 2\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} - 4 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}. \tag{7.5}$ Så er koordinatvektoren med hensyn til $B_1$ givet ved $[\mathbf w]_{B_1} = (2,-4)^\textup{T}.$ Vi kunne også have fundet koordinatvektoren som løsning til $B_1\mathbf x = \mathbf w.$ Nu kan vi let finde koordinater med hensyn til $B_2,$ blot ved at gange med $T$ :

$[\mathbf w]_{B_2} = T[\mathbf w]_{B_1} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -7 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}.$ Vi kan tjekke efter, ved at opskrive linearkombinationen i basis $B_2,$ og se om vi får vektoren $\mathbf w$ fra (7.5):

$\mathbf w = B_2[\mathbf w]_{B_2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$

7.2 Lineære transformationer og matrixrepræsentation

Nu skal vi se på nogle afbildninger (funktioner) mellem vektorrum, med nogle af de samme egenskaber som matricer. Hvis $U$ og $V$ er vektorrum, bruger vi notationen $F \colon U\to V$ til at fortælle, at $F$ er en funktion med definitionsmængde $U$ og med funktionsværdier i $V.$ Eksempelvis kunne vi have $U = \mathbb{R}^2$ og $V = \mathbb{R}^3,$ som indikerer at funktionen $F \colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$ afbilder punkter i planen til punkter i rummet. $F$ kunne have forskriften

$F(x,y) = \begin{pmatrix} x-y \\ x \\ 2x+3y \end{pmatrix}.$ Så vil $F(1,0) = (1,1,2)^\textup{T},$ $F(0,1) = (-1,0,3)^\textup{T},$ $F(2,2) = (0,2,10)^\textup{T}$ og så videre. Selv hvis definitionsmængden er søjlevektorer, her $\mathbb{R}^2,$ vil vi af notationsmæssige årsager stadig skrive enten $F(x,y)$ eller $F(\mathbf u)$ for $\mathbf u\in \mathbb{R}^2,$ i stedet for $F((x,y)^\textup{T}).$

Vi er særligt interesserede i afbildninger der er lineære.

Lad $F \colon U\to V$ hvor $U$ og $V$ er vektorrum over $\mathbb{F}.$ Så kaldes $F$ en lineær transformation, hvis der for alle $\mathbf u,\mathbf v\in U$ og $\lambda\in\mathbb{F}$ gælder:

$F(\mathbf u+\mathbf v) = F(\mathbf u) + F(\mathbf v),$
$F(\lambda\mathbf u) = \lambda F(\mathbf u).$

Egenskaberne for $F$ i Definition 7.4 kender vi fra matrixregning. Hvis $A$ er en $m\times n$ matrix med tal i $\mathbb{F},$ er funktionen $F(\mathbf u) = A\mathbf u$ en lineær transformation $F \colon \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m.$ Det er faktisk ganske almindelig notation at skrive $F\mathbf u$ i stedet for $F(\mathbf u),$ på samme måde som med en matrix.

Men der er også andre vektorrum man kan have i spil. For eksempel, lad $\mathbb{P}_n$ være vektorrummet af reelle polynomier af grad højst $n,$ det vil sige funktioner på formen

$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0,$ for koefficienter $a_n,\dots,a_0\in\mathbb{R}.$ Vi ved hvordan et polynomium differentieres:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}p(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \dots + a_1,$ og giver et polynomium af en grad lavere. Differentialkvotienten $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \colon \mathbb{P}_n\to\mathbb{P}_{n-1}$ er en lineær transformation, hvor $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(p_1+p_2) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}p_1 + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}p_2$ og $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\lambda p) = \lambda \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}p$ kendes fra calculus.

For at kunne bruge al vores viden fra matrixregning i praksis, er det ofte nødvendigt at repræsentere lineære transformationer $F$ som matricer $A.$ Her kan $F$ være afbildninger mellem funktionsrum, der beskriver systemer inden for fysik, kemi og biologi. Beregninger på disse systemer approksimeres ofte med stykvise polynomier i såkaldte finite element metoder, og ved at bruge polynomielle baser, kan man beskrive avancerede modeller ved hjælp af matricer.

Det er ekstremt vigtigt at bemærke, at en lineær transformation $F \colon U\rightarrow V$ er entydigt bestemt ud fra dens funktionsværdier

$F(\mathbf u_1), \quad \dots, \quad F(\mathbf u_n)$ på en basis $B_U = \{\mathbf u_1, \dots, \mathbf u_n\}$ for $U.$ Hvis vi kalder koordinaterne af $\mathbf u\in U$ for $[\mathbf u]_{B_U} = (x_1,\dots,x_n)^\textup{T},$ følger dette ved at bruge linearitetsegenskaberne i Definition 7.4:

$\begin{aligned} F(\mathbf u) &= F(x_1 \mathbf u_1 + \dots + x_n \mathbf u_n)\\ &= F(x_1 \mathbf u_1) + \dots + F(x_n \mathbf u_n)\\ &= x_1 F(\mathbf u_1) + \dots + x_n F(\mathbf u_n). \end{aligned}$ Hvis man også har en basis $B_V$ for $V,$ så gælder af linearitet for koordinater (se Opgave 7.9):

$[F(\mathbf u)]_{B_V} = x_1 [F(\mathbf u_1)]_{B_V} + \dots + x_n [F(\mathbf u_n)]_{B_V}. \tag{7.6}$ Så har man en fuld beskrivelse af $F,$ givet ved hjælp af koordinatvektorer, der viser hvordan man kommer fra et $\mathbf u \in U$ til funktionsværdien $F(\mathbf u).$

Løs Quiz 7.2 nu, hvor der undersøges om en afbildning er en lineær transformation.

7.2.1 Repræsentation ved en matrix

Vi vil gerne kunne sige, at "en lineær transformation er det samme som en matrix", og det er ikke helt forkert, men det er heller ikke helt rigtigt, og for at komme videre er man nødt til at forstå hvorfor. Den lille men vigtige forskel er, at vi har brug for at vælge baser!

Lad $F \colon U\to V$ være en lineær transformation. Hvis $B_U = \{\mathbf u_1,\dots,\mathbf u_n\}$ er en basis for $U$ og $B_V = \{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_m\}$ er en basis for $V,$ så kaldes $m\times n$ matricen

$A = ([F(\mathbf u_1)]_{B_V},\dots,[F(\mathbf u_n)]_{B_V}) \tag{7.7}$ for matrixrepræsentationen af $F$ med hensyn til $B_U$ og $B_V.$ Det er altså matricen hvis søjler er koordinatvektorerne for $F(\mathbf u_1),\dots,F(\mathbf u_n)$ med hensyn til basen $B_V.$

At det kaldes en matrixrepræsentation, kommer fra matricens egenskaber.

$\phantom{}$

Matricen $A$ fra Definition 7.5, er den entydige matrix der opfylder
$[F(\mathbf u)]_{B_V} = A[\mathbf u]_{B_U},$ for enhver vektor $\mathbf u\in U.$
Hvis kan vi:
- Skrive $B_V = (\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_m)$ som en matrix.
- Definere matricen $F(B_U) = (F(\mathbf u_1),\dots,F(\mathbf u_n)).$
Så kan bestemmes ved matricen i øverste højre hjørne af RREF fra følgende totalmatrix:
hvor antal nulrækker i RREF er
Hvis $V = \mathbb{F}^m,$ kan $A$ findes ved
$A = B_V^{-1}F(B_U). \tag{7.9}$

Bevis

Entydigheden vises på samme måde som i beviset for Proposition 7.2.

Første del af beviset er næsten det samme som vi så i beviset af Proposition 7.2, og er faktisk gennemgået i (7.6).

Hvis $V$ er et vektorrum af søjlevektorer, kan vi bestemme koordinatvektorerne $[F(\mathbf u_1)]_{B_V},\dots,[F(\mathbf u_n)]_{B_V}$ ved at løse

$B_V\mathbf x = F(\mathbf u_j) \tag{7.10}$ for hvert $j=1,\dots,n.$ Ved at samle matricen $F(B_U) = (F(\mathbf u_1),\dots,F(\mathbf u_n))$ kan disse ligningssystemer løses samlet ved hjælp af (7.8). Da $A$ er entydigt bestemt, får man en RREF på den angivne form.

Hvis $V = \mathbb{F}^m$ er $B_V$ invertibel, og så er (7.8) det samme som $A = B_V^{-1}F(B_U).$

Basisskiftematricen og dens egenskaber fra Proposition 7.2, er intet mindre end et særtilfælde af Sætning 7.6. Overvej identitetsafbildningen defineret som

$\textup{Id}_V(\mathbf w) = \mathbf w, \qquad \mathbf w\in V.$ Hvis basis $B_1$ bruges på det første $V,$ og basis $B_2$ på det andet $V$ i $\textup{Id}_V \colon V \to V,$ så er matrixrepræsentationen af $\textup{Id}_V,$ med hensyn til $B_1$ og $B_2,$ lige præcis basisskiftematricen fra $B_1$ til $B_2.$

Igen er det strengt nødvendigt at se dette anvendt på konkrete eksempler.

Lad $U = \mathbb{R}^2$ med basis $B_U = \{\mathbf u_1,\mathbf u_2\},$ givet ved

$\mathbf u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \text{og} \qquad \mathbf u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.$ Og lad $V = \mathrm{span}\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}$ med basis $B_V = \{\mathbf v_1,\mathbf v_2\},$ givet ved

$\mathbf v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \text{og} \qquad \mathbf v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.$ Bemærk, at $V$ er et to-dimensionalt underrum af $\mathbb{R}^3.$ Nu ønsker vi at finde en matrixrepræsentation for $F \colon U\to V,$ givet ved

$F(x,y) = \begin{pmatrix} 3x \\ 3x-2y \\ -2y \end{pmatrix},$ med hensyn til baserne $B_U$ og $B_V.$ Tjek gerne på nuværende tidspunkt, at $F(\mathbf u)$ giver en vektor i $V$ for hvert $\mathbf u\in U,$ samt at $F$ er en lineær transformation.

Først finder vi $F(\mathbf u_1)$ og $F(\mathbf u_2)$ :

$F(\mathbf u_1) = F(1,1) = \begin{pmatrix} 3\\1\\-2 \end{pmatrix} \qquad \text{og} \qquad F(\mathbf u_2) = F(1,-1) = \begin{pmatrix} 3\\5\\2 \end{pmatrix}.$ Vi kan nu samle matricerne $B_V = (\mathbf v_1,\mathbf v_2)$ og $F(B_U) = (F(\mathbf u_1),F(\mathbf u_2)),$ og anvende (7.8):

$(B_V|F(B_U)) = \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}\,\left|\,\, \begin{matrix} 3 & 3 \\ 1 & 5 \\ -2 & 2 \end{matrix}\right.\right) \enskip\sim\enskip \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}\,\left|\,\, \begin{matrix} 3 & 3 \\ -2 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right.\right) .$ Matrixrepræsentationen $A$ er givet ved $2\times 2$ matricen øverst til højre i RREF (det vil nemlig være en $\dim(V)\times\dim(U)$ matrix):

$A = \begin{pmatrix} 3 & 3\\ -2 & 2 \end{pmatrix}.$ Vi kan altid foretage et tjek for om vi har regnet rigtigt. Vi tager en konkret vektor i brug:

$\mathbf u = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \mathbf u_1 + \mathbf u_2 \qquad \text{og} \qquad F(\mathbf u) = F(2,0) = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} = 6\mathbf v_1 + 0\mathbf v_2.$ Der er derfor koordinatvektorer $[\mathbf u]_{B_U} = (1,1)^\textup{T}$ og $[F(\mathbf u)]_{B_V} = (6,0)^\textup{T},$ hvilket heldigvis er helt i overensstemmelse med matrixrepræsentationen $A$ og Sætning 7.6:

$[F(\mathbf u)]_{B_V} = A[\mathbf u]_{B_U} = \begin{pmatrix} 3 & 3\\ -2 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}.$

I diskussionen efter Definition 7.4, var $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ et eksempel på en lineær transformation mellem vektorrum af polynomier, for eksempel $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \colon \mathbb{P}_2\to \mathbb{P}_1.$ Vi kan udstyre $\mathbb{P}_2$ med basen bestående af polynomierne $B_U = \{x^2,x,1\},$ og $\mathbb{P}_1$ med basen $B_V = \{x,1\}$ ; prøv at overveje hvorfor disse rent faktisk er baser.

Koordinatvektoren for $p(x) = a_2x^2+ a_1x+a_0$ er $[p]_{B_U} = (a_2,a_1,a_0)^\textup{T},$ mens for $q(x) = b_1x+b_0$ er $[q]_{B_V} = (b_1,b_0)^\textup{T}.$

Differentiationen af $p$ giver

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}p(x) = 2a_2x + a_1.$ Vi ser at $[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2]_{B_V} = [2x]_{B_V} = (2,0)^\textup{T}.$ Tilsvarende er $[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x]_{B_V} = [1]_{B_V} = (0,1)^\textup{T}$ og $[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}1]_{B_V} = [0]_{B_V} = (0,0)^\textup{T}.$ Vi kan derfor repræsentere $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \colon \mathbb{P}_2\to \mathbb{P}_1$ med matricen

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},$ svarende til at

$\Bigl[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}p\Bigr]_{B_V} = A[p]_{B_U}.$ Lad os differentiere $4x^2 + 2x - 1$ ved hjælp af matrix-vektor multiplikation:

$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix},$ hvilket fra basen $B_V$ giver polynomiet $8x+2.$

Dette er naturligvis en meget simpel anvendelse af en matrixrepræsentation, og det bliver mere interessant når disse indgår i ligningssystemer.

7.3 Sammensætning af lineære transformationer

Når man har matrixrepræsentationer, vil man typisk blive ved med at anvende disse til udregninger, da det ofte er lettere at regne på matricer. Vi skal nu se, at matrixmultiplikation svarer til at sammensætte to lineære transformationer.

Det sker at vi har tre endelig dimensionale vektorrum $U,V,W,$ og to lineære transformationer $G \colon U\to V$ og $F \colon V\to W.$ Så kan vi definere en sammensat lineær transformation $F\circ G \colon U \to W$ ved

$F\circ G(\mathbf u)=F(G(\mathbf u)).$

Lad $F \colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ og $G \colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$ være givet ved

$F(x,y,z) = \begin{pmatrix} x+y \\ z-y \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}}_{A_F}\begin{pmatrix} x \\y \\ z \end{pmatrix}$ og

$G(a,b) = \begin{pmatrix} a\\a+b\\2a-3b \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}}_{A_G}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}.$ Her er $A_F$ og $A_G$ matrixrepræsentationerne for $F$ og $G$ i standardbaserne.

Vi kan nu finde tilsvarende matrixrepræsentationer for $F\circ G \colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ og $G\circ F \colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ :

$\begin{aligned} F\circ G(a,b) &= F(G(a,b)) = F(a,a+b,2a-3b) \\ &= \begin{pmatrix} 2a+b \\ a-4b \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}}_{A_{F\circ G}}\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}, \\ G\circ F(x,y,z) &= G(F(x,y,z)) = G(x+y,z-y) \\ &= \begin{pmatrix} x+y \\x+z\\2x+5y-3z \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & -3 \end{pmatrix}}_{A_{G\circ F}}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}. \end{aligned}$ Vi har matrixrepræsentationerne $A_{F\circ G}$ og $A_{G\circ F}$ for $F\circ G$ og $G\circ F$ i standardbaserne. Det finurlige er nu, at $A_{F\circ G} = A_FA_G$ og $A_{G\circ F} = A_GA_F.$

Denne sammenhæng er ikke tilfældig, og vi behøvede heller ikke at anvende standardbaser for at det går op. Så længe at samme basis bruges på $\mathbb{R}^3$ i matrixrepræsentationerne $A_F$ og $A_G,$ får man $A_{F\circ G} = A_FA_G,$ og hvis samme basis bruges på $\mathbb{R}^2,$ fås $A_{G\circ F} = A_GA_F.$ Dette resultat er givet nedenfor.

Lad $U,V,W$ være endelig dimensionale vektorrum med baser $B_U,B_V,B_W,$ og lad $G \colon U\to V$ og $F \colon V\to W$ være lineære transformationer. Hvis

$A_G$ er matrixrepræsentationen af $G$ i baserne $B_U$ og $B_V,$ og
$A_F$ er matrixrepræsentationen af $F$ i baserne $B_V$ og $B_W,$

så er

$A_{F\circ G} = A_FA_G$ matrixrepræsentationen af $F\circ G \colon U\to W$ i baserne $B_U$ og $B_W.$

Bevis

Vi regner i koordinater. Lad $\mathbf u\in U,$ så er $F\circ G(\mathbf u) = F(G(\mathbf u)),$ og vi har

$[G(\mathbf u)]_{B_V} = A_G[\mathbf u]_{B_U}$ og

$[F(G(\mathbf u))]_{B_W} = A_F[G(\mathbf u)]_{B_V} = A_FA_G[\mathbf u]_{B_U}.$ Dermed er $A_FA_G$ matrixrepræsentationen af $F\circ G$ i baserne $B_U$ og $B_W.$

Dette forklarer faktisk meget fint, hvorfor matrixmultiplikationen er defineret som den er. Det hele handler om repræsentationer af lineære transformationer, og at kunne sammensætte disse. Nu er det også klart hvorfor den associative lov gælder for matrixmultiplikation, $(AB)C = A(BC),$ da dette er sandt for sammensætning af afbildninger.

Vi skal naturligvis også se, hvordan man skifter mellem baser i matrixrepræsentationer. Nøglen til dette er, måske ikke så overraskende (navnet taget i betragtning), at gange med basisskiftematricer. Hvis vi har nogle faste baser vi skal arbejde med, kan vi altså en gang for alle udregne basisskiftematricer mellem disse, og så kan man altid gå frem og tilbage mellem forskellige baser for sine matrixrepræsentationer. Dette er nogle gange brugbart i anvendelser, hvor algoritmer kan være designet til at bruge udvalgte baser.

Lad $F \colon U\to V$ være en lineær transformation mellem endelig dimensionale vektorrum. Antag at:

$T$ er basisskiftematrix fra $B_U^2$ til $B_U^1$ på vektorrummet $U.$
$S$ er basisskiftematrix fra $B_V^1$ til $B_V^2$ på vektorrummet $V.$
$A$ er matrixrepræsentationen for $F$ med hensyn til $B_U^1$ og $B_V^1.$

Så er $SAT$ matrixrepræsentationen for $F$ med hensyn til $B_U^2$ og $B_V^2.$

Bevis

Vi regner i koordinater. Lad $\mathbf u\in U,$ da har vi fra Proposition 7.2 og Sætning 7.6:

$SAT[\mathbf u]_{B_U^2} = SA[\mathbf u]_{B_U^1} = S[F(\mathbf u)]_{B_V^1} = [F(\mathbf u)]_{B_V^2}.$ Dermed er $SAT$ matrixrepræsentationen af $F$ i baserne $B_U^2$ og $B_V^2.$

Vi vender nu tilbage til eksemplet fra starten af kapitlet. Lad

$A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 24 & -12 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.$ Dette er eksempelvis matrixrepræsentationen af $F \colon \mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4,$ givet ved $F(\mathbf x) = A\mathbf x$ i standardbasen (på begge vektorrum).

Men der blev også nævnt en anden basis

$B = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}.$ Vi kan identificere denne basis med en matrix

$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$ Basisskiftematricen fra basis $B$ til standardbasen, er bare matricen $B,$ mens basisskiftematricen fra standardbasen til basis $B,$ er matricen $B^{-1}.$ Derfor giver Proposition 7.12, at

$B^{-1}AB = \begin{pmatrix} 2 & & & \\ & 2 & & \\ & & -2 & \\ & & & -2 \end{pmatrix}$ er matrixrepræsentationen af $F,$ med hensyn til basen $B$ (på begge vektorrum).

Som vi ser i Eksempel 7.13, er det ikke altid en god ide at anvende standardbasen, hvis man ønsker sig en flot matrixrepræsentation. Især i anvendelser er det vigtigt at få så mange nuller i sin matrix som muligt. Vi skal se videre på at finde optimale baser i Kapitlerne 8, 11 og 12, hvor begreber som egenværdier og egenvektorer bliver essentielle ingredienser.

7.4 En omfattende notation

I dette kursus beskæftiger vi os typisk med en matrixrepræsentation ad gangen, og generelt har vi forenklet notationen i dette kapitel, ved typisk at kalde en lineær transformation for $F,$ og en tilhørende matrixrepræsentation for $A$ .

I tilfælde hvor man har mange sådanne transformationer og matrixrepræsentationer i spil, kan det dog betale sig at introducere en lidt mere rigid notation. Vi kan skrive matrixrepræsentationen for en lineær transformation $F \colon U\to V,$ i baser $B_U$ og $B_V,$ som

${}_{B_V}[F]_{B_U}.$ Nu kan Sætning 7.6(i) skrives som

$[F(\mathbf u)]_{B_V} = {}_{B_V}[F]_{B_U}\cdot[\mathbf u]_{B_U},$ og Sætning 7.11 kan skrives

${}_{B_W}[F\circ G]_{B_U} = {}_{B_W}[F]_{B_V}\cdot{}_{B_V}[G]_{B_U}.$ I forlængelse af Bemærkning 7.7, kan basisskiftematricen fra basis $B_1$ til basis $B_2$ på $V$ skrives

${}_{B_2}[\textup{Id}_V]_{B_1},$ hvor $\textup{Id}_V$ er identitetsafbildningen på $V.$ Dermed bliver Proposition 7.2(i) til

$[\mathbf w]_{B_2} = {}_{B_2}[\textup{Id}_V]_{B_1}\cdot [\mathbf w]_{B_1},$ og Proposition 7.12 bliver til

${}_{B_V^2}[F]_{B_U^2} = {}_{B_V^2}[\textup{Id}_V]_{B_V^1} \cdot {}_{B_V^1}[F]_{B_U^1} \cdot {}_{B_U^1}[\textup{Id}_U]_{B_U^2}.$ Det er en omfattende notation at vænne sig til, men formlerne bliver lettere at huske.

7.5 Kompleksifisering

I dette afsnit er $V_{\mathbb{R}}$ et reelt vektorrum. Paradoksalt nok bliver tingene lettere at arbejde med, når alting er komplekst. Vi skal se hvordan vi naturligt kan udvide $V_{\mathbb{R}}$ til et komplekst vektorrum $V_{\mathbb{C}},$ kaldet en kompleksifisering af $V_{\mathbb{R}}.$ Tilsvarende skal vi se, hvordan lineære transformationer mellem reelle vektorrum naturligt kan udvides til de kompleksifiserede vektorrum.

Princippet er ganske simpelt, og helt analogt med hvordan de komplekse tal introduceres fra de reelle tal, hvor et komplekst tal $a+ib$ svarer til par $(a,b)$ af to reelle tal, realdel og imaginærdel.

Fra vilkårlige $\mathbf v_{\textup{R}},\mathbf v_{\textup{I}}\in V_{\mathbb{R}}$ dannes par $(\mathbf v_{\textup{R}},\mathbf v_{\textup{I}}),$ som vi formelt skriver

$\mathbf v = \mathbf v_{\textup{R}} + i \mathbf v_{\textup{I}}.$

$\mathrm{Re}(\mathbf v) = \mathbf v_{\textup{R}}$ kaldes realdelen af $\mathbf v.$
$\mathrm{Im}(\mathbf v) = \mathbf v_{\textup{I}}$ kaldes imaginærdelen af $\mathbf v.$
$\mathrm{Re}(\mathbf v) + i\mathrm{Im}(\mathbf v)$ kaldes standard formen af $\mathbf v.$

Kompleksifiseringen $V_{\mathbb{C}}$ af $V_{\mathbb{R}}$ er mængden

$V_{\mathbb{C}} = \{\, \mathbf v_{\textup{R}} + i \mathbf v_{\textup{I}} : \mathbf v_{\textup{R}},\mathbf v_{\textup{I}}\in V_{\mathbb{R}} \,\}.$

$V_{\mathbb{C}}$ udstyres med addition mellem $\mathbf v_{\textup{R}} + i \mathbf v_{\textup{I}}$ og $\mathbf u_{\textup{R}} + i \mathbf u_{\textup{I}}$ på standard form:
$(\mathbf v_{\textup{R}} + i \mathbf v_{\textup{I}}) + (\mathbf u_{\textup{R}} + i \mathbf u_{\textup{I}}) = (\mathbf v_{\textup{R}}+\mathbf u_{\textup{R}}) + i(\mathbf v_{\textup{I}} + \mathbf u_{\textup{I}}),$ hvor additionen mellem realdelene og imaginærdelene, er additionen fra $V_{\mathbb{R}}.$
$V_{\mathbb{C}}$ udstyres med multiplikation af kompleks skalar $a+ib$ for $a,b\in\mathbb{R}$ :
$(a+ib)(\mathbf v_{\textup{R}} + i \mathbf v_{\textup{I}}) = (a\mathbf v_{\textup{R}}-b\mathbf v_{\textup{I}}) + i(b\mathbf v_{\textup{R}}+a\mathbf v_{\textup{I}}),$ hvor skalar multiplikationen med $a$ og $b,$ er skalar multiplikationen fra $V_{\mathbb{R}}.$

Det er ikke svært (men drønkedeligt) at vise, at $V_{\mathbb{C}}$ er et komplekst vektorrum. Eksempelvis er $\mathbb{C}^n$ kompleksifiseringen af $\mathbb{R}^n.$ Vi identificerer $\mathbf 0+i\mathbf v_{\textup{I}}$ med $i\mathbf v_{\textup{I}},$ og identificerer $\mathbf v_{\textup{R}}+i\mathbf 0$ med $\mathbf v_{\textup{R}}.$ Så $V_{\mathbb{R}}$ er et reelt underrum af $V_{\mathbb{C}}$ (et underrum hvor man kun anvender reelle skalarer).

Hvis $B$ er en basis for endelig dimensionalt $V_{\mathbb{R}},$ så er $B$ også en basis for $V_{\mathbb{C}}.$ Som konsekvens er

$\dim(V_{\mathbb{C}}) = \dim(V_{\mathbb{R}}).$ For $\mathbf v = \mathbf v_{\textup{R}}+i\mathbf v_{\textup{I}},$ på standard form, gælder

$[\mathbf v]_B = [\mathbf v_{\textup{R}}]_B + i[\mathbf v_{\textup{I}}]_B,$ svarende til kompleksifiseringen af koordinaterne.

Bevis

Lad $B = \{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\}.$ Det følger direkte, at den lineære uafhængighed i $V_{\mathbb{R}}$ overføres til lineær uafhængighed i $V_{\mathbb{C}}.$ Tag $\mathbf v = \mathbf v_{\textup{R}}+i\mathbf v_{\textup{I}} \in V_{\mathbb{C}},$ på standard form, og lad $\mathbf x = [\mathbf v_{\textup{R}}]_B$ og $\mathbf y = [\mathbf v_{\textup{I}}]_B.$ Så har vi

$\begin{aligned} \mathbf v &= (x_1\mathbf v_1+\dots+x_n\mathbf v_n) + i(y_1\mathbf v_1 + \dots + y_n\mathbf v_n) \\ &= (x_1+iy_1)\mathbf v_1 + \dots + (x_n+iy_n)\mathbf v_n, \end{aligned}$ og dermed er $B$ en basis for $V_{\mathbb{C}}$ med $[\mathbf v]_B = [\mathbf v_{\textup{R}}]_B + i[\mathbf v_{\textup{I}}]_B.$

Lad $F \colon U_{\mathbb{R}} \to V_{\mathbb{R}}$ være en lineær transformation mellem reelle vektorrum. Så er kompleksifiseringen $F \colon U_{\mathbb{C}} \to V_{\mathbb{C}}$ defineret som

$F(\mathbf u_{\textup{R}}+i\mathbf u_{\textup{I}}) = F(\mathbf u_{\textup{R}})+iF(\mathbf u_{\textup{I}}),$ hvor $\mathbf u_{\textup{R}}+i\mathbf u_{\textup{I}}\in U_{\mathbb{C}}$ er på standard form, og hvor $F(\mathbf u_{\textup{R}})$ og $F(\mathbf u_{\textup{I}})$ evalueres fra den reelle $F \colon U_{\mathbb{R}} \to V_{\mathbb{R}}.$

Det er en udvidelse af den reelle $F,$ og derfor anvendes samme symbol for afbildningen. Det er ganske lige til at vise, at den kompleksifiserede $F$ arver linearitetsegenskaberne.

Hvis man anvender baser fra $U_{\mathbb{R}}$ og $V_{\mathbb{R}}$ til matrixrepræsentation, så gælder af Proposition 7.15 og Sætning 7.6, at $F \colon U_{\mathbb{R}} \to V_{\mathbb{R}}$ og $F \colon U_{\mathbb{C}} \to V_{\mathbb{C}}$ repræsenteres med den samme matrix. Så de essentielle egenskaber er bevaret (se Opgave 7.11).

Pointen er, at vi uden frygt kan udvide reelle vektorrum og reelle lineære transformationer til komplekse versioner af disse. Det viser sig at være en kæmpe stor fordel for $F \colon U_{\mathbb{C}} \to V_{\mathbb{C}},$ at vi nu kan anvende komplekse skalarer og baser for $U_{\mathbb{C}}$ og $V_{\mathbb{C}}$ i stedet. Dette er faktisk enormt vigtigt i Kapitel 8 til diagonalisering.

Hvis man interesserer sig for andre legemer end $\mathbb{R}$ og $\mathbb{C},$ kan man på en tilsvarende måde lave udvidelse af vektorrum og lineære transformationer til en algebraisk lukket udvidelse af legemet, som udfylder den rolle $\mathbb{C}$ har i forhold til $\mathbb{R}.$

7.6 Opgaver

Hvis koordinaterne til en vektor i basen

$\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\right\}$ er $(2, -1)^{\textup{T}},$ hvad gælder så om koordinaterne $(\lambda_1, \lambda_2)^{\textup{T}}$ til samme vektor i basen

$\left\{\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \end{pmatrix}\right\}?$

$\lambda_1 < 0.$

$\lambda_2 < 0.$

$\lambda_1 + \lambda_2 = 1.$

Hvilke af nedenstående påstande er rigtige?

Afbildningen $F \colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},$ givet ved $F(x) = x + 1,$ er en lineær transformation.

Afbildningen $F \colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},$ givet ved $F(x) = x^2,$ er en lineær transformation.

Afbildningen $F \colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},$ givet ved $F(x) = 2 x,$ er en lineær transformation.

Afbildningen $F \colon \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2,$ givet ved $F(x, y) = (x + y, x -y)^\textup{T},$ er en lineær transformation.

En lineær transformation $F \colon U \rightarrow V,$ hvor $U = \mathbb{R}^2$ og $V = \mathbb{R}^2,$ er givet ved

$F(x,y) = \begin{pmatrix} x + y \\ x - y \end{pmatrix}.$ Hvad er matricen som repræsenterer $F$ med hensyn til

$B_U = B_V = \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}?$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$

$\begin{pmatrix} 1 & {1} \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$

Prøv at gennemgå Eksempel 7.9, men hvor vi ser på den lineære transformation $F \colon \mathbb{P}_2 \to \mathbb{P}_3$ med $F = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} + x,$ svarende til

$F(p) = \Bigl(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} + x\Bigr)(a_2x^2+a_1x+a_0) = a_2x^3 + a_1x^2 + (2a_2+a_0)x + a_1.$ Vis at matrixrepræsentationen af $F,$ i baserne $\{x^2,x,1\}$ og $\{x^3,x^2,x,1\},$ er

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$ Vis at hvis man i stedet bruger baserne $\{x^2+2x-3,x-1,2\}$ og $\{x^3,x^2,x,1\},$ får man

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$

Lad $F \colon U\rightarrow V,$ med $U = V = \mathbb{R}^2,$ være givet ved

$F(x,y) = \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}.$ Find matrixrepræsentationen af $F$ med hensyn til baserne $B_U$ for $U$ og $B_V$ for $V,$ givet ved

$B_U = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}\right\}\quad \text{og} \quad B_V = \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 2\end{pmatrix}\right\}.$

(Eksamen marts 2017)

Betragt følgende produkt af reelle $3\times 3$ matricer (du behøver ikke tjekke det)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \\ 1 & -4 & 1 \end{pmatrix} = I_3.$ Definer nu følgende tre vektorer i $\mathbb{R}^3$ :

$\mathbf v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf v_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}.$

Vis at $B = \{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3\}$ udgør en basis for $\mathbb{R}^3.$
Beregn koordinatvektoren $[\mathbf u]_B$ med hensyn til $B,$ for en vilkårlig vektor $\mathbf u = (x,y,z)^\textup{T}.$
Herefter betragtes vektorerne
$\mathbf w_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf w_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf w_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$ Det oplyses at $\widetilde{B} = \{\mathbf w_1,\mathbf w_2,\mathbf w_3\}$ er en basis for $\mathbb{R}^3$ (skal ikke tjekkes). Find basisskiftematricen $T$ fra basis $\widetilde{B}$ til basis $B.$

(Eksamen juni 2016)

Betragt mængden $B,$ bestående af vektorerne

$\mathbf v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf v_2 = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ i $\mathbb{R}^3.$

Gør rede for, at $B$ udgør en basis for $\mathbb{R}^3.$
Betragt $B = (\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3)$ som en $3\times 3$ matrix. Den inverse matrix $B^{-1}$ er lig med
$\frac{1}{d}\begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ for et tal $d.$ Find tallet $d$ og skitser din metode for at nå frem til det.
Lad $F \colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ være givet ved den lineære transformation
$F(x_1,x_2,x_3) = \begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ x_2+x_3 \\ x_3+x_1 \end{pmatrix}.$ Find matrixrepræsentationen for $F$ i basen $B$ (brugt på begge vektorrum).

(Eksamen maj 2021)

Lad tre vektorer $\mathbf u_1,$ $\mathbf u_2$ og $\mathbf u_3$ være givet ved

$\mathbf u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf u_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$

Gør rede for, at $B_1 = \{\mathbf u_1,\mathbf u_2,\mathbf u_3\}$ er en basis for $\mathbb{R}^3.$
Find koordinater for nedenstående tre vektorer $\mathbf w_1,$ $\mathbf w_2$ og $\mathbf w_3$ med hensyn til basen $B_1$ :
$\mathbf w_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf w_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf w_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.$
Lad $B_2 = \{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}$ være en basis for $\mathbb{R}^2$ (skal ikke bevises), hvor
$\mathbf v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{og} \quad \mathbf v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}.$ Lad $F \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ være en lineær transformation (skal ikke bevises), givet ved
$F(x,y,z) = \begin{pmatrix} x \\ y-z \end{pmatrix}.$ Bestem matrixrepræsentationen af $F$ med hensyn til baserne $B_1$ og $B_2.$
Find koordinaterne til $F(\mathbf w_1),$ $F(\mathbf w_2)$ og $F(\mathbf w_3)$ med hensyn til basen $B_2.$

For endelig dimensionalt vektorrum $V$ med basis $B,$ gør rede for at afbildningen fra $\mathbf v\in V$ til $[\mathbf v]_B$ er lineær.

For vektorrum $U$ og $V$ over $\mathbb{F}$ , gør rede for at mængden af alle lineære transformationer $F \colon U\to V$ er et vektorrum over $\mathbb{F}$ .

Lad $F \colon U \to V$ være en lineær transformation mellem endelig dimensionale vektorrum $U$ og $V,$ og lad $A$ være $m\times n$ matrixrepræsentationen for $F$ med hensyn til baser $B_U$ og $B_V.$

$F$ kaldes injektiv, hvis $F(\mathbf u_1) = F(\mathbf u_2)$ medfører $\mathbf u_1 = \mathbf u_2.$
Vis at da $F$ er lineær, så er $F$ injektiv, hvis og kun hvis, $F(\mathbf u) = \mathbf 0$ medfører $\mathbf u = \mathbf 0.$
Vis at $F(\mathbf u) = \mathbf 0,$ hvis og kun hvis, $[\mathbf u]_{B_U} \in \mathcal{N}(A).$
Konkluder at $F$ er injektiv, hvis og kun hvis, $\mathcal{N}(A) = \{\mathbf 0\}.$
Vis at der findes $\mathbf u\in U$ så $F(\mathbf u) = \mathbf v,$ hvis og kun hvis, $[\mathbf v]_{B_V} \in \mathcal{C}(A).$
$F$ kaldes surjektiv, hvis for ethvert $\mathbf v\in V,$ findes $\mathbf u\in U,$ så $F(\mathbf u) = \mathbf v.$
Vis at $F$ er surjektiv, hvis og kun hvis, $\mathcal{C}(A) = \mathbb{F}^m.$
$F$ kaldes bijektiv, hvis $F$ både er injektiv og surjektiv.
Brug dimensionssætningen (Sætning 6.25) til at konkludere, at $F$ er bijektiv, hvis og kun hvis, $A$ er invertibel.
Hvis $F$ er bijektiv, eksisterer en invers afbildning $F^{-1} \colon V\to U,$ så
$F(F^{-1}(\mathbf v)) = \mathbf v \quad \text{og}\quad F^{-1}(F(\mathbf u)) = \mathbf u$ for alle $\mathbf u\in U$ og $\mathbf v\in V.$
Vis at $F^{-1}$ er en lineær transformation, og dens matrixrepræsentation er $A^{-1}$ med hensyn til $B_V$ og $B_U.$
Hvis $\dim(U) = \dim(V)$ : Vis at $F$ er injektiv, hvis og kun hvis, $F$ er surjektiv.