BJordan normal form
Dette appendiks giver nogle vigtige klassiske resultater. Hovedresultatet er Jordan normal form (også kendt som Jordan kanonisk form), som viser at enhver kvadratisk matrix er similær med en blok-diagonal matrix, hvor blokkene er øvre trekantsmatricer med en særlig struktur.
B.1 Generaliseret egenvektor
Lad være en egenværdi for matrix En vektor kaldes en generaliseret egenvektor for hørende til hvis der eksisterer et således at
Det mindste så dette er opfyldt kaldes ordenen af Vektorrummet
kaldes det generaliserede egenrum for hørende til
Det generaliserede egenrum er vektorrummet der præcis består af de generaliserede egenvektorer for hørende til (samt nulvektoren).
Det er klart, at medfører at er en generaliseret egenvektor til For den modsatte implikation indses først, at for en kvadratisk matrix gælder
for alle ikke-negative heltal og Det er derfor nok at vise
for ethvert Til dette formål indses
Dette kommer af, at hvis så er og dermed også I alt fra (B.1):
Altså er det nok at vise (B.2) for Hvis følger det af (B.1) og (B.3) at for hvilket ikke er muligt for da er modstriden beviser derfor (B.2).
Hvis er generaliserede egenvektorer for kvadratisk matrix hørende til forskellige egenværdier, så er lineært uafhængige.
Lad os kalde for egenværdien til . Vi undersøger en linearkombination
Hvis er så giver Proposition B.2
Da og kommuterer, fås fra (B.4) og (B.5) at
Lad være af orden for et , det vil sige
Dermed er en egenvektor hørende til og fra (B.6) får vi:
Da og er forskellige må Et tilsvarende bevis giver for de resterende og vi konkluderer at er lineært uafhængige.
Lad være en matrix. For ethvert eksisterer entydige og således at
Lad være en matrix. Hvis er de forskellige egenværdier af så gælder:
- Hvis er en basis for så er en basis for
- er lig den algebraiske multiplicitet af
(i): Beviset er ved induktion på dimensionen hvor tilfældet er åbenlyst.
For : Antag at resultatet holder op til dimension Hvis er og vi er færdige. Antag derfor at
Fra Lemma B.4 er det nok at bestemme en basis for
bestående af generaliserede egenvektorer. Da kommuterer med gælder at for ; vi siger at er invariant med hensyn til Lad Definer nu den lineære transformation givet ved (det vil sige restriktionen af til underrummet ). kan fra Sætning 7.6 repræsenteres med en matrix med basis på (basen identificeres med en matrix). Af induktionshypotesen findes en basis for bestående af generaliserede egenvektorer for (basen identificeres med en matrix). Søjlerne i er lineært uafhængige (Sætning 6.27), og udgør derfor en basis for (Sætning 6.18). Nu mangler vi blot at vise, at for en generaliseret egenvektor for hørende til egenværdi så er en generaliseret egenvektor for hørende til Da har vi fra (B.2):
Dermed er og er en generaliseret egenvektor for (ii): Lad være en basis for hvor rækkefølgen af basisvektorer er i ikke-aftagende orden (se Definition B.1). Vi kalder Da er invariant med hensyn til kan denne matrix restringeret til repræsenteres af en matrix med hensyn til basis Hvis er af orden så er vektoren af orden og derfor udspændt af de basisvektorer der er af orden Af Definition 7.5, samt rækkefølgen af basisvektorerne i ikke-aftagende orden, har vi at er en øvre trekantsmatrix med i diagonalen. Dermed er restringeret til repræsenteret af en øvre trekantsmatrix med i alle diagonalelementerne.Hvis vi skriver som en matrix, med basisvektorerne som søjler i den angivne rækkefølge, og sætter så får vi derfor følgende blok-diagonal matrixrepræsentation ved basisskifte:
Blok-strukturen kommer af lineær uafhængighed af basisvektorerne i samt at de generaliserede egenrum er invariante med hensyn til Dermed er similær med en øvre trekantsmatrix, hvor diagonalelementerne består af egenværdi gentaget gange for hvert Af Opgave 8.15 og Opgave 8.8 bliver lig den algebraiske multiplicitet af
B.2 Nilpotent matrix
En kvadratisk matrix kaldes nilpotent, hvis der eksisterer et så
En trekantsmatrix med nul i alle diagonalelementer er en nilpotent matrix.
Hvis er en nilpotent matrix, så findes en basis for på formen
hvor for Her er den geometriske multiplicitet af egenværdien for
Resultatet er åbenlyst for nulmatricen, fordi så er for alle og er en basis for Så vi kan antage at Herudover er resultatet sandt for hvor og Resten af beviset er et induktionsbevis med hensyn til dimensionen Så antag at resultatet holder op til Da er nilpotent er (ellers ville for alle positive potenser af Sætning 6.27). Da er invariant med hensyn til potenser af kan vi, som i beviset for Sætning B.5, gøre brug af en lineær transformation svarende til restriktionen af til underrummet Det repræsenteres med en nilpotent matrix. Induktionshypotesen anvendes, som giver en basis
for hvor for Fra definitionen af eksisterer så for Derudover har vi, at de lineært uafhængige vektorer tilhører Vi kan bruge Korollar 6.20 til at udvide med til en basis for Nu påstås at
udgør en basis for svarende til for og for i sætningens resultat.Vi har at og så af dimensionssætningen (Sætning 6.23) har vi vektorer i Det vil sige, hvis vektorerne er lineært uafhængige er vi færdige af Sætning 6.18. Vi undersøger en linearkombination der giver :
Ved at gange med samt udnytte at er i fås
som er en linearkombination af basisvektorer for fundet tidligere. Lineær uafhængighed giver derfor
Tilbage i (B.10) har vi derfor
Dette er en linearkombination af basisvektorer for så af lineær uafhængighed er de resterende skalarer og beviset er færdigt.
B.3 Jordan normal form
Nu er vi endelig klar til at give Jordan normal form af en matrix. Vi skal se på en blok-diagonal matrix som er en kvadratisk matrix, hvor de kvadratiske matricer er placeret langs diagonalen, og resten af matricen er udfyldt med nuller. Hver af blokkene er også blok-diagonal matricer, hvor er en egenværdi og diagonal-blokkene er såkaldte Jordan blokke.
En Jordan blok, er en øvre trekantsmatrix på formen
Lad være en kvadratisk matrix, og lad være de forskellige egenværdier for Der eksisterer en invertibel matrix så
hvor er blok-diagonal matricen fra (B.11), og hvor er en blok-diagonal matrix med Jordan blokke på formen (B.12).
- Den algebraiske multiplicitet for er hvor er en matrix.
- Den geometriske multiplicitet for er lig antal Jordan blokke i
- Lad Så er antal Jordan blokke i af størrelse lig Det vil sige, at antal Jordan blokke i af størrelse er lig
For en nilpotent matrix fås en basis fra Sætning B.8, nu skrevet i omvendt rækkefølge,
I den angivne rækkefølge, lad disse vektorer være søjlerne i en matrix Ved at gange med fås
hvilket sender første vektor i hver række ovenfor til og forskyder rækkefølgen for resten. Det vil sige at
er en blok-diagonal matrix, med Jordan blokke af formen
Lad nu være en generel matrix. Vi arbejder videre fra (B.8) i beviset for Sætning B.5, hvor og er som i beviset for Sætning B.5. Dermed findes så er på formen (B.13), for et antal Jordan blokke med i diagonalen. Tilsvarende vil være på formen (B.12).Definer blok-diagonal matricen
så har vi fra (B.8):
Resultatet følger derfor med .(i): Denne del følger af Opgave 8.8 og Opgave 8.15, fra trekantstrukturen af som er similær med (ii): Af Sætning B.8 og (B.13) er antal Jordan blokke i lig den geometriske multiplicitet af egenværdi Dette er den geometriske multiplicitet af egenværdi for og derfor for (iii): For en matrix gælder
Derfor er for og lig for altså at
Derudover, af Jordan normal formen, bemærk at
hvor Jordan blokkene i netop er på formen for nogle størrelser . Herfra kan vi bruge til at tælle hvor mange Jordan blokke af størrelse der er i da matricen er blok-diagonal.
Overvej matricen
Det oplyses her, at har egenværdi med algebraisk multiplicitet og geometrisk multiplicitet samt egenværdi med algebraisk og geometrisk multiplicitet . Det vil sige, at i en Jordan normal form af vil være en Jordan blok hørende til og to Jordan blokke hørende til . De to Jordan blokke til skal samlet have en størrelse på som er den algebraiske multiplicitet, så der er to muligheder: og eller to blokke. Vi kan bruge Sætning B.10(iii) til at undersøge om der er en blok, hvilket vil afgøre hvilket af de to tilfælde der gælder:
For at finde beregnes matricen
hvilket viser sig at have et tre-dimensionalt nulrum, det vil sige Dermed har vi netop en Jordan blok hørende til hvilket lander os i det første af de to førnævnte tilfælde. I alt har vi derfor, at der findes en invertibel matrix således at
Typisk er det nok at vide, at et sådan eksisterer. Hvis man rent faktisk ønsker at bestemme er dette mere besværligt, og er ikke gennemgået her.
B.4 Jordan-Chevalley dekomposition
En meget brugbar konsekvens af Jordan normal form er følgende resultat, som fortæller at enhver kvadratisk matrix kan skrives som summen af en diagonaliserbar matrix og en nilpotent matrix, der kommuterer. Dette er et af de mest fundamentale resultater inden for lineær algebra.
Enhver kvadratisk matrix kan entydigt dekomponeres
hvor er diagonaliserbar, er nilpotent og
Lad være de forskellige egenværdier for med algebraiske multipliciteter Fra Jordan normal form (Sætning B.10), fås
hvor tydeligvis er diagonaliserbar, og er en blok-diagonal matrix, hvor hver blok er en blok-diagonal matrix på formen (B.13). Specifikt er en øvre trekantsmatrix med nul i alle diagonalelementer. Så af Proposition B.7 er similær med en nilpotent matrix, hvilket betyder at også selv er nilpotent.Det er klart at og kommuterer, og derfor vil og også kommutere:
Vi mangler at gøre rede for entydigheden af og med de angivne egenskaber. Antag derfor, at vi har og som angivet i sætningen, uden at de nødvendigvis er konstrueret fra Jordan normal form. Det er tilstrækkeligt at vise entydighed for for så er Lad være en vilkårlig egenværdi for matrix og betegn:
Vi viser nu hvilket vi vil se afgør entydigheden af For har vi
Da og kommuterer og derfor potenser af også med Da er nilpotent har vi
Så og dermed er Så er egenværdi for og er det tilsvarende generaliserede egenrum for Af Sætning 8.12 har vi
for egenværdierne af af Men da gælder af Sætning B.5 at vi faktisk har og at dette giver samtlige generaliserede egenrum for I alt har vi at og har samme egenværdier, og egenrum for er de generaliserede egenrum for Fra diagonaliseringen er derfor entydigt bestemt fra
B.5 Cayley-Hamilton sætning
For en matrix er det karakteristiske polynomium som sagt hvor er de forskellige egenværdier for med tilhørende algebraiske multipliciteter Men det er jo også muligt at udregne potenser af en kvadratisk matrix. Så vi kan erstatte med og udregne et matrix-polynomium: Det næste resultat siger, at altid er (matrix-)rod i sit eget karakterisitiske polynomium.
Hvis er karakteristisk polynomium for kvadratisk matrix så gælder