2Komplekse tal

Lad os vende tilbage til historien om ligninger og tal. Det vil føre for vidt at forklare, hvordan man systematisk indfører tal, som ikke behøver være brøker. Kort sagt laver man dem som uendelige decimaltal, men detaljerne er ret kedelige og lidt besværlige. Så vi vil antage, at vi ved hvad reelle tal er. Man kan ikke finde et reelt tal, som løser ligningen

$x^2 + 1 = 0.$ Intet reelt tal ganget med sig selv giver $-1.$ Enhver simpel lommeregner vil blinke en fejlmeddelelse, hvis du forsøger at tage kvadratroden til $-1.$ Derimod vil et moderne computer algebra system, som Maple eller Mathematica, formentlig give dig symbolet $I$ som output. Hvad repræsenterer dette symbol?

Vi har brug for at vide hvad komplekse tal er, og hvordan man regner med dem.

2.1 Definitioner og regneregler

En vigtig regneregel for reelle tal hedder den distributive lov. Den siger at

$x (y + z) = x y + x z$ for $x, y, z\in \mathbb{R}.$ En anden velkendt regel siger at faktorernes orden er ligegyldig, eller at multiplikation er kommutativ, det vil sige $x y = y x.$

Lad os antage at vi oven i de reelle tal kaster et opdigtet eller imaginært tal $i$ ind, som har egenskaben at

$i^2 = -1.$

Hvis $a, b, c, d$ er reelle tal, og vi antager at $i$ adlyder de almindelige regneregler, får vi følgende udregning:

$\begin{aligned} \color{blue}{(a + b i) (c + d i)} &= (a+ b i) c + (a + b i) d i\\ &= a c + b c i + a d i + b d i^2\\ &= a c + b c i + a d i - b d\\ &= \color{blue}{(a c - b d) + (a d + b c) i}. \end{aligned}$ Det vil sige to tal på formen $x + y i,$ hvor $x$ og $y$ er reelle tal, ganger sammen til et tal af samme standard form, det vil sige et nyt tal på formen $u + wi$ hvor også $u$ og $w$ er reelle tal.

Faktisk kan man vise, at når man definerer multiplikation som ovenfor og addition som

$(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d)i,$ får man en mængde af nye tal, som opfylder følgende regneregler vi genkender fra de reelle tal:

$\begin{aligned} x(yz) &= (xy)z & \qquad \text{(associativ lov for multiplikation)} \\ x + (y+z) &= (x+y) + z & \qquad \text{(associativ lov for addition)} \\ xy &= yx & \qquad\text{(kommutativ lov for multiplikation)} \\ x + y &= y + x & \qquad\text{(kommutativ lov for addition)} \\ x(y + z) &= xy + xz & \qquad\text{(distributiv lov)} \end{aligned}$ Hvorfor benyttes notationen $i$ for en kvadratrod af $-1$ ? Begrundelsen er historisk og daterer sig tilbage til $1500$ -tallet, hvor den italienske matematiker Gerolamo Cardano havde behov for at regne med opdigtede eller imaginære tal, for at finde en formel til løsning af tredjegradsligninger. Det komplekse tal $i$ kaldes for den imaginære enhed. Man skal dog ikke forledes til at tro, at de komplekse tal kun er et påfund, opdigtet for fem lange sekler siden af en tosset matematiker. De dukker hele tiden op i anvendelser. Den ene af de to mest fundamentale fysiske teorier, kvantefysikken, er formuleret i termer af komplekse tal, vektorrum og lineære transformationer.

Vi kommer også ofte til at få brug for komplekse tal senere, i kapitlerne fra og med Kapitel 8, selv når vi står med ligningssystemer med reelle koefficienter.

De komplekse tal er mængden

$\mathbb{C} = \{\, a + ib : a, b\in \mathbb{R} \,\},$ hvor multiplikation er givet som

$(a + ib) (c + id) = (a c - b d) + (a d + b c) i$ og addition som

$(a + ib) + (c + id) = (a + c) + (b + d)i.$ For et komplekst tal $z = a + ib$ på standard form, det vil sige hvor $a$ og $b$ er reelle, defineres:

Realdelen af $z$ som $\mathrm{Re}(z) = a.$
Imaginærdelen af $z$ som $\mathrm{Im}(z) = b.$
Absolut værdi af $z$ som $\lvert z \rvert = \sqrt{a^2 + b^2}.$
Kompleks konjugering af $z$ som $\overline{z} = a - ib.$

To komplekse tal er identiske, hvis og kun hvis, deres real- og imaginærdele er ens.

Bemærk at $\mathrm{Im}(z) = b,$ det vil sige uden $i.$ Vi har også at $\mathbb{R}\subset\mathbb{C},$ ved at se at et reelt tal $a$ også er et komplekst tal $a + 0i.$

En kort udregning giver

$z \overline{z} = (a + ib) (a - ib) = a^2 + b^2 = \lvert z \rvert^2.$

Vi ser at $z$ ganget med sin komplekst konjugerede altid giver et reelt tal. Dette betyder, at for $z\neq 0$ gælder

$z\frac{\overline{z}}{\lvert z \rvert^2} = \frac{\lvert z \rvert^2}{\lvert z \rvert^2} = 1.$ For ethvert komplekst tal $z\neq 0,$ har vi nu fundet et andet komplekst tal $\overline{z}/\lvert z \rvert^2,$ der ganget med $z$ giver $1.$ Dette betyder, at vi kan dividere med komplekse tal, ved at bruge

$\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{\lvert z \rvert^2}.$ Specifikt, hvis vi har to komplekse tal $z_1$ og $z_2\neq 0,$ så har vi nu en meget nyttig formel til at skrive $z_1/z_2$ på standard form:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\overline{z_2}}{\lvert z_2 \rvert^2}. \tag{2.1}$

Lad $z_1 = 4-i$ og $z_2 = 1+2i.$ Vi ønsker nu at skrive $z_1/z_2$ på standard form. Her bruger vi (2.1):

$\frac{4-i}{1+2i} = \frac{(4-i)(1-2i)}{\lvert 1+2i \rvert^2} = \frac{4 - 2 + (-1-8)i}{1^2+2^2} = \frac{2}{5} - \frac{9}{5}i.$ Dermed er realdelen $\mathrm{Re}(\frac{z_1}{z_2}) = \frac{2}{5}$ og imaginærdelen $\mathrm{Im}(\frac{z_1}{z_2}) = -\frac{9}{5}.$

På tilsvarende måde kan man udlede nogle andre nyttige formler, som f.eks.

$\begin{aligned} \lvert \overline{z} \rvert &= \lvert z \rvert \\ \lvert z_1z_2 \rvert &= \lvert z_1 \rvert\lvert z_2 \rvert \\ \Bigl|\frac{z_1}{z_2}\Bigr| &= \frac{\lvert z_1 \rvert}{\lvert z_2 \rvert}\\ \overline{z_1z_2} &= \overline{z_1}\,\overline{z_2} \\ \overline{\Bigl(\frac{z_1}{z_2}\Bigr)} &= \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}, \end{aligned}\tag{2.2}$ hvor det i divisionsformlerne naturligvis er antaget at $z_2\neq 0.$

2.1.1 Mandelbrotmængden

Geometrisk opholder de komplekse tal sig i to dimensioner, mens de reelle tal kun bevæger sig på et interval i en dimension. Man kan benytte de komplekse tal til at generere såkaldte fraktaler, som Mandelbrotmængden, der er visualiseret i Figur 2.1.

Visualisering af Mandelbrotmængden fra Wikipedia.

Mandelbrotmængden er blevet kaldt et af de smukkeste og mest komplicerede objekter i moderne matematik. Mandelbrotmængden er frembragt ene og alene ved at iterere multiplikationer og additioner med komplekse tal.

2.2 Geometrisk fortolkning og polær form

Den geometriske fortolkning af de komplekse tal blev først introduceret af den danske matematiker Caspar Wessel i 1797. Det forekommer ret naturligt at identificere et komplekst tal $z = x + iy,$ på standard form, med punktet $(x, y)$ i et sædvanligt koordinatsystem. Dette giver anledning til den komplekse talplan, hvor den reelle akse beskriver $x$ og den imaginære akse beskriver $iy$ (svarende til enheder af $i$ ) som vist nedenfor.

Med dette geometriske billede er $\lvert z \rvert$ lige præcis afstanden fra $0$ til $z$ i den komplekse talplan, svarende til normen af vektoren $(x,y).$

Vi interesserer os nu også for vinklen $\theta;$ en vinkel i denne sammenhæng regnes med fortegn, som er positivt når man går mod urets retning, og negativt når man går med urets retning.

En vinkel $\theta,$ som linjestykket fra $0$ til $z$ danner med den positive del af den reelle akse, kaldes et argument af $z$ og skrives $\arg(z) = \theta.$

Det er værd at bemærke, at et komplekst tal har mange argumenter: Hvis $\theta$ er et argument af $z,$ så vil $\theta+2\pi n$ også være et argument for ethvert heltal $n.$ Det svarer til at starte med en vinkel $\theta,$ for dernæst at løbe hele enhedscirklen igennem $n$ gange, og derved pege i den samme retning som $\theta.$

$\phantom{}$

For rent imaginært tal $iy,$ med $y\in \mathbb{R},$ definerer vi
$\mathrm{e}^{iy} = \cos(y) + i \sin(y).$
For et generelt komplekst tal $x+iy,$ på standard form, defineres den komplekse eksponentialfunktion som
$\mathrm{e}^{x+iy} = \mathrm{e}^x\mathrm{e}^{iy} = \mathrm{e}^x(\cos(y)+i\sin(y)).$

Læg mærke til, at hvis $\theta$ er et argument for det komplekse tal $z,$ så er

$\frac{z}{\lvert z \rvert} = \mathrm{e}^{i \theta}. \tag{2.3}$ Det er fordi $z/\lvert z \rvert$ identificeres med vektoren $(x, y)$ ganget med dens reciprokke længde. Dette er en enhedsvektor som danner vinklen $\theta$ med den positive del af $x$ -aksen, og derfor har koordinaterne $(\cos(\theta),\sin(\theta)).$ Det svarer præcis til det komplekse tal $\mathrm{e}^{i\theta}.$

Ligning (2.3) giver den smukke geometriske repræsentation

$z = \lvert z \rvert \mathrm{e}^{i\theta} \tag{2.4}$

af det komplekse tal $z.$ Fremstillingen (2.4) kaldes for den polære form af $z.$ Denne repræsentation fortjener at blive kaldt smuk, fordi den afspejler sig mirakuløst i multiplikationen af komplekse tal: Lad $z_1$ og $z_2$ være to komplekse tal med argumenter henholdsvis $\theta_1$ og $\theta_2,$ så er

$z_1 z_2 = \lvert z_1 \rvert \mathrm{e}^{i\theta_1} \lvert z_2 \rvert \mathrm{e}^{i \theta_2} =\lvert z_1 \rvert \lvert z_2 \rvert \mathrm{e}^{i(\theta_1+ \theta_2)}. \tag{2.5}$ Med ord multiplicerer man to komplekse tal, ved at multiplicere deres absolutte værdier og addere deres argumenter. Dette er særligt brugbart når man opløfter et komplekst tal i en potens. Hvis $n$ er et naturligt tal og $z = \lvert z \rvert\mathrm{e}^{i\theta},$ så får vi

$z^n = \lvert z \rvert^n \mathrm{e}^{in\theta}. \tag{2.6}$

Det sidste lighedstegn i (2.5) har vi rent faktisk ikke vist endnu, og det er da også et af hovedresultaterne.

For to komplekse tal $z_1, z_2\in \mathbb{C}$ gælder formlen

$\mathrm{e}^{z_1 + z_2} = \mathrm{e}^{z_1}\mathrm{e}^{z_2}.$

Bevis

Vi viser først resultatet for rent imaginære tal $iy_1$ og $iy_2$ med $y_1,y_2\in\mathbb{R}$ . Vi ganger $\mathrm{e}^{iy_1} = \cos(y_1) + i \sin(y_1)$ og $\mathrm{e}^{iy_2} = \cos(y_2) + i\sin(y_2)$ sammen:

$\begin{aligned} \mathrm{e}^{iy_1} \mathrm{e}^{iy_2} &= (\cos(y_1) + i\sin(y_1)) (\cos(y_2) + i\sin(y_2)) \\ &= \cos(y_1) \cos(y_2) - \sin(y_1) \sin(y_2) + i(\cos(y_1) \sin(y_2) + \sin(y_1) \cos(y_2)) \\ &= \cos(y_1 + y_2) + i\sin(y_1 + y_2) = \mathrm{e}^{i(y_1+y_2)}. \end{aligned}$ Her forekommer miraklet i næstsidste lighed ovenfor. Multiplikationen af komplekse tal indeholder additionsformlerne (1.10) og (1.11) for cosinus og sinus.

Resultatet $\mathrm{e}^{x_1+x_2}=\mathrm{e}^{x_1}\mathrm{e}^{x_2}$ for den reelle eksponentialfunktion bør være velkendt. Lad os alligevel vise det, under definition af den reelle eksponentialfunktion $\mathrm{e}^{\lambda x}$ for $\lambda\in\mathbb{R},$ som den entydige løsning af differentialligningen $\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}u = \lambda u$ der tilfredsstiller $u(0)=1.$ For $u(x) = \mathrm{e}^{x_1 x}\mathrm{e}^{x_2 x}$ ses at $\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}u = (x_1+x_2)u$ og $u(0)=1,$ så vi har $u(x) = \mathrm{e}^{(x_1+x_2)x},$ og resultatet følger derfor ved at sætte $x=1.$

Nu følger det generelle komplekse resultat fra Definition 2.4. Lad $z_1 = x_1+iy_1$ og $z_2 = x_2+iy_2$ være på standard form, så får vi:

$\mathrm{e}^{z_1+z_2} = \mathrm{e}^{x_1+x_2}\mathrm{e}^{i(y_1+y_2)} = \mathrm{e}^{x_1}\mathrm{e}^{iy_1}\mathrm{e}^{x_2}\mathrm{e}^{iy_2} = \mathrm{e}^{z_1}\mathrm{e}^{z_2}.$

Læg i øvrigt mærke til verdens smukkeste formel:

$\mathrm{e}^{i \pi} + 1 = 0.$ Formlen kombinerer på minimal vis de allervigtigste konstanter i matematikken: $\mathrm{e}, i, \pi, 1, 0$ og følger af Definition 2.4. XKCD har også sin mening om den sag.

Lad os tage et konkret eksempel, hvor vi omskriver et komplekst tal til polær form.

Lad $z = -\sqrt{3} - i.$ Vi ønsker nu at skrive $z$ på polær form, så vi lettere kan udregne $z^6.$ Først udregner vi absolut værdi af $z$ :

$\lvert z \rvert = \sqrt{(-\sqrt{3})^2+(-1)^2} = 2.$ For at finde et argument for $z,$ indikerer vi hvor $z$ befinder sig i den komplekse talplan.

Vi ser at

$\arg(z) = \pi + \alpha, \tag{2.7}$ hvor vinklen $\alpha$ er vist i figuren ovenfor. I tredje kvadrant kan vi indtegne en retvinklet trekant hvor $\alpha$ indgår som vinkel, og hvor størrelsen af realdel og imaginærdel svarer til katetelængder og med diagonal $\lvert z \rvert = 2.$ Dette er vist i figuren ovenfor til højre, hvor trekanten er blevet roteret, så det bedre passer med hvad vi kender fra Afsnit 1.4.

Derfor får vi $\lvert z \rvert\sin(\alpha) = 1,$ så $\sin(\alpha) = \frac{1}{2}.$ Dette svarer til $\alpha = \frac{\pi}{6},$ som eksempelvis kan aflæses fra første kvadrant af Figur 2.2.

Cosinus og sinus til udvalgte vinkler fra Wikipedia.

Ved indsættelse i (2.7) får vi at $\arg(z) = \frac{7\pi}{6}.$ Vi har derfor den polære form

$z = 2\mathrm{e}^{(7\pi/6)i}.$ Nu kan vi let udregne $z^6$ med (2.6), dette er nemlig

$z^6 = 2^6\mathrm{e}^{6(7\pi/6)i} = 64\mathrm{e}^{7\pi i} = 64\mathrm{e}^{\pi i} = -64,$ hvor vi også har udnyttet at $\mathrm{e}^{i(x+2\pi n)} = \mathrm{e}^{ix}$ for alle heltal $n.$ Denne sidste del kommer af, at cosinus og sinus er $2\pi$ -periodiske funktioner.

2.2.1 De Moivre's formel

Abraham de Moivre var en fransk matematiker som, udover at beskæftige sig med sandsynlighedsteori, fik sit navn udødeliggjort gennem de Moivre's formel. Denne formel siger i al sin enkelhed, at der for naturligt tal $n$ og reelt tal $x$ gælder

$(\cos(x) + i\sin(x))^n = \cos(nx) + i\sin(nx). \tag{2.8}$

Det er ikke svært at bevise formlen via Sætning 2.5 ovenfor, som medfører at

$(\cos(x) + i\sin(x))^n = (\mathrm{e}^{ix})^n = \mathrm{e}^{inx} = \cos(nx) + i\sin(nx).$ Ikke desto mindre er (2.8) et mirakel, som markerer den stærke forbindelse mellem komplekse tal og trigonometriske funktioner. For eksempel kan man benytte (2.8) til at udlede formler som

$\cos(3 x) = 4\cos(x)^3 - 3\cos(x). \tag{2.9}$

2.2.2 Periodiske fænomener

Cosinus og sinus er rasende interessante funktioner. De er matematikkens fremmeste våben i beskrivelsen af periodiske fænomener, som for eksempel planetbaner og bølgebevægelser. De bliver endnu mere anvendelige, når man betragter dem ved hjælp af den komplekse eksponentialfunktion.

En periodisk funktion $f$ gentager sig selv efter en bestemt periode $T,$ det vil sige

$f(x) = f(x + T)$ for alle $x.$ Både cosinus og sinus er periodiske funktioner med periode $T = 2\pi.$

Uden at afsløre den fulde sandhed (som afsløres i et kursus i Fourieranalyse), anvendes cosinus- og sinusfunktioner på formen

$A \cos(nx)\qquad \text{og} \qquad A \sin(nx), \tag{2.10}$ hvor $A$ er et tal som angiver højden (amplituden) af bølgerne, og $n$ er et tal som beskriver antal bølger per tidsenhed (frekvensen). Cosinus- og sinusfunktionerne i (2.10) samles under et i funktionerne $A \mathrm{e}^{inx}.$ Disse funktioner er byggeklodser for naturligt forekommende periodiske fænomener. For eksempel er den periodiske funktion $\cos(x)^3$ :

sum af de to periodiske funktioner $\frac{1}{4} \cos(3x)$ og $\frac{3}{4}\cos(x)$ :

Dette kan aflæses af formlen i (2.9), som vi netop fik ved hjælp af

$(\mathrm{e}^{ix})^3 = \mathrm{e}^{i(3x)}.$

2.3 Andengradsligning og ligninger af højere grad

Lad os rette opmærksomheden mod ligningen

$z^n = 1, \tag{2.11}$ hvor $n$ er et naturligt tal. Hvis vi kun begrænser os til de reelle tal, har (2.11) højst to løsninger (for eksempel for $n=2$ ), og nogle gange kun en (for eksempel for $n=3$ ). I de komplekse tals domæne har vi to dimensioner, og kan boltre os både lodret og vandret. En løsning $z$ til (2.11) bliver nødt til at have absolut værdi $1,$ det vil sige $z = \mathrm{e}^{i\varphi}$ for en vinkel $\varphi\in [0,2\pi).$ Da

$1 = z^n = \mathrm{e}^{i n\varphi} = \cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi),$ har vi altså

$n\varphi = 2\pi m \quad \Leftrightarrow \quad \varphi = \frac{2\pi m}{n}$ for et heltal $m\in \mathbb{Z},$ da alle argumenter for $1$ er heltalsmultiplum af $2\pi.$ Da $\varphi\in [0,2\pi)$ er der kun mulighederne $m = 0, 1, \dots, n-1.$ Dermed kan alle løsninger til (2.11) skrives som:

$\mathrm{e}^{\frac{2\pi m}{n}i},$ hvor $m = 0, 1, \dots, n-1.$ Vi har faktisk bevist at (2.11) altid har $n$ forskellige løsninger over de komplekse tal; disse kaldes enhedsrødderne.

Lad os som eksempel tage ligningen $z^3 = 1.$ Den har løsningerne som fremkommer ved at tredele enhedscirklen i $\mathbb{C}$ :

Det vil sige

$\begin{aligned} z_0 &= 1\\ z_1 &= \mathrm{e}^{\frac{2 \pi}{3}i} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i\\ z_2 &= \mathrm{e}^{\frac{4 \pi}{3}i} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i. \end{aligned}$

Som set nedenfor, kan enhedsrødderne også anvendes til at producere løsningerne til en mere generel ligning, svarende til at finde $n$ 'te rod af et generelt komplekst tal.

Lad $n\in\mathbb{N}$ og for komplekst tal $r \mathrm{e}^{i \theta},$ på polær form, lad

$z_0 = r^{\frac{1}{n}} \mathrm{e}^{i \frac{\theta}{n}}.$ Så har ligningen

$z^n = r\mathrm{e}^{i\theta}$ løsningerne givet ved

$z_0 \mathrm{e}^{\frac{2\pi m}{n}i},$ for $m = 0,1,\dots,n-1.$

Bevis

Hvis $r = 0$ har vi ligningen $z^n = 0,$ som kun har løsningen $z=0,$ hvilket alle løsningerne i sætningen giver i dette særtilfælde. Så antag nu at $r > 0,$ det vil sige $z_0\neq 0.$

At opløfte et komplekst tal til $n$ 'te potens, svarer til at opløfte dets absolutte værdi til $n$ 'te potens, og gange dets argument med $n.$ Derfor er $z_0^n = r \mathrm{e}^{i\theta},$ og $z_0$ er en løsning til ligningen. Antag nu at $u^n = r\mathrm{e}^{i\theta}$ for komplekst tal $u.$ Så vil

$\Bigl(\frac{u}{z_0}\Bigr)^n = \frac{u^n}{z_0^n} = 1.$ Dermed vil $\frac{u}{z_0}$ være en løsning til $z^n = 1,$ det vil sige en enhedsrod, hvorfor

$u = z_0 \mathrm{e}^{\frac{2\pi m}{n}i}$ for et $m$ blandt $0,1,\dots, n-1.$

Specifikt har vi at der findes to løsninger til $z^2 = r\mathrm{e}^{i\theta},$ kaldet kvadratrødderne for $r\mathrm{e}^{i\theta}$ : $\sqrt{r}\mathrm{e}^{i\theta/2}$ og $\sqrt{r}\mathrm{e}^{i\theta/2}\mathrm{e}^{\pi i},$ det vil sige

$\pm \sqrt{r}\mathrm{e}^{i\theta/2}. \tag{2.12}$ Dermed giver (2.12) en metode til at finde kvadratrødder af komplekse tal; først skal man altså bestemme den polære form, dernæst finder man kvadratroden af dens absolutte værdi (som er et ikke-negativt reelt tal), og halverer dens argument.

På nuværende tidspunkt bør du løse Opgave 2.10, om at tage kvadratrod af et negativt tal.

2.3.1 Den gode gamle andengradsligning

Vi er nu interesserede i at finde komplekse løsninger til den velkendte andengradsligning

$az^2 + bz + c = 0, \tag{2.13}$ hvor $a,b,c\in\mathbb{C}$ og $a\neq 0.$

Her støder vi på det verdensberømte trick (completing the square):

$a z^2 + b z + c = a\Bigl(z + \frac{b}{2a}\Bigr)^2 - \frac{b^2}{4 a} + c = \frac{1}{4a}(2az + b)^2 - \frac{b^2}{4 a} + c.$ Ved at gange (2.13) igennem med $4a,$ får vi derfor

$0 = 4a(az^2+bz+c) = (2az+b)^2-b^2+4ac.$ Ved at isolere diskriminanten $D = b^2-4ac,$ får vi den ækvivalente ligning

$(2az+b)^2 = D.$ Hvis vi i første omgang leder efter $\omega = 2az+b,$ så er dette en ligning $\omega^2 = D$ på samme form som i Sætning 2.8. Vi ved derfor at der er to løsninger for $\omega,$ som vi kan kalde $\pm\sqrt{D}.$ Herefter kan vi isolere $z$ i $2az+b = \pm\sqrt{D}.$ Dette er opsummeret i sætningen nedenfor.

Andengradsligningen (2.13) har de komplekse løsninger givet ved formlen

$z = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \tag{2.14}$

Her er den polære form vigtig, da hvis $D = b^2-4ac$ har polær form $D = r\mathrm{e}^{i\theta},$ så kan vi finde $\sqrt{D} = \sqrt{r}\mathrm{e}^{i\theta/2}.$

Lad os prøve at løse andengradsligningen

$iz^2 + (1+i)z + 1 = 0, \tag{2.15}$ hvor vi lynhurtigt aflæser koefficienterne $a = i,$ $b = 1+i$ og $c = 1$ fra (2.13). Vi finder først diskriminanten

$D = b^2-4ac = (1+i)^2-4i = -2i = 2\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2}i}.$ Her har vi allerede fundet den polære form, hvor vi bemærker at en vinkel på $-\tfrac{\pi}{2}$ svarer til at pege mod den negative imaginære akse i den komplekse talplan. Vi kan nu snildt finde en kvadratrod af $D$ :

$\sqrt{D} = \sqrt{2}\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{4}i} = \sqrt{2}(\cos(-\tfrac{\pi}{4}) + i\sin(-\tfrac{\pi}{4}))= 1-i.$ Nu har vi løsningerne til (2.15) givet ved

$z = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} = \frac{-1-i \pm (1-i)}{2i} = \begin{cases} -1, \\ i. \end{cases}$

2.3.2 Højeregradsligninger og multiplicitet

Selvom der ikke er en algebraisk formel for at finde løsninger til alle $n$ 'te gradsligninger, så er der en meget pæn sammenhæng mellem graden af ligningen og antallet af løsninger.

Ethvert komplekst $n$ 'te gradspolynomium (med $n>0$ )

$p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0,$ hvor $a_0,\dots,a_n\in \mathbb{C}$ og $a_n\neq 0,$ kan på en entydig måde faktoriseres på formen

$p(z) = a_n(z - z_1)^{\alpha_1}(z-z_2)^{\alpha_2}\cdots(z-z_k)^{\alpha_k},$ hvor $z_1,\dots,z_k\in \mathbb{C}$ kaldes rødderne til $p,$ og præcis udgør de forskellige løsninger til $n$ 'te gradsligningen $p(z) = 0.$

Vi har $\alpha_1,\dots,\alpha_k\in\mathbb{N},$ hvor $\alpha_j$ kaldes multipliciteten af roden $z_j.$ For summen af multipliciteterne gælder:

$\alpha_1 + \dots + \alpha_k = n.$

Vi ser at for enhver $n$ 'te gradsligning, med $n>0,$ vil der altid være præcis $n$ komplekse løsninger (når multipliciteterne tælles med). Dette er bestemt ikke tilfældet hvis man kun kigger efter reelle løsninger, hvor der muligvis slet ingen reelle løsninger er. Beviset for Sætning 2.11 er lidt teknisk, og er udskudt til Appendiks A.

Multipliciteten af en rod er ikke vigtig lige her og nu, men det bliver det senere når vi skal finde egenværdier for en matrix i Kapitel 8, så det er en god ide at nærlæse følgende eksempel.

Lad os tage et kig på 5. gradsligningen

$z^5 - 2iz^4 - z^3 = 0.$ Vi kan trække $z^3$ uden for parentes, hvilket giver

$z^3(z^2 - 2iz - 1) = 0.$ Enten er $z = 0$ eller også gælder $z^2 - 2iz - 1 = 0.$ Vi kan løse andengradsligningen med formlen i Sætning 2.9, men hvis vi kigger nærmere kan vi også se at $(z-i)^2=z^2-2iz-1.$ Vi har derfor

$z^3(z-i)^2 = 0.$ Nu er polynomiet på venstresiden faktoriseret, og vi kan aflæse at der er to rødder $z = 0$ (multiplicitet 3) og $z = i$ (multiplicitet 2). Som angivet i Sætning 2.11 er summen af multipliciteterne $5,$ ligesom graden af ligningen.

Det er sjældent at vi uden videre kan finde løsninger til højeregradsligninger i hånden, og i mange anvendelser vil man bruge numeriske metoder til at bestemme disse.

Hvis man for et $n$ 'te gradspolynomium $p$ har gættet sig frem til $n-1$ rødder (lad os bare kalde dem $z_1,\dots,z_{n-1},$ hvor multipliciteter er talt med), men mangler den sidste, så kan man fra Sætning 2.11 opskrive en formel for den sidste rod:

$z_n = z - \frac{p(z)}{a_n(z-z_1)\cdots(z-z_{n-1})}, \tag{2.16}$ for ethvert $z\in\mathbb{C}$ forskellig fra $z_1,\dots,z_{n-1}.$

Lad os tage et kig på 3. gradsligningen

$2z^3 - (6-6i)z^2 + (4-6i)z = 0.$ Vi ser straks at $z_1 = 0$ er en løsning, da $z$ indgår i alle led af polynomiet. Man kan også forholdsvist let se at $z_2 = 1$ er en løsning, ved at se på summen af koefficienterne.

Nu kan (2.16) anvendes til at finde den tredje rod:

$z_3 = z - \frac{2z^3 - (6-6i)z^2 + (4-6i)z}{2z(z-1)},$ for ethvert $z\neq 0,1.$ For $z = -1$ får vi

$z_3 = -1 - \frac{-2 - (6-6i) - (4-6i)}{4} = 2-3i.$

2.4 Opgaver

Forklar så detaljeret som muligt hvorfor

$(x + y) (z + w) = x z + y z + x w + y w,$ ved at bruge den distributive lov og den kommutative lov for multiplikation. Skal vi bruge den kommutative lov? Hvorfor?

Den ukronede konge blandt regnereglerne for tal er $x (y z) = (x y) z,$ som kaldes den associative lov for multiplikation. Uformelt siger den, at vi selv kan vælge hvordan vi udregner et produkt $xyz$ : Det gør ikke nogen forskel, om vi først ganger $x$ sammen med $y$ og så ganger $z$ på, eller om vi først ganger $y$ sammen med $z$ og så ganger $x$ på, det giver det samme resultat. Hvis vi ikke havde den associative lov ville den aritmetiske verden være kaotisk.

Vi kan hurtigt indse, at den associative lov gælder for komplekse tal: Lad $x = a + bi, y = c + di$ og $z = e + fi,$ hvor $a, b, c, d, e, f$ er reelle tal.

Udregn $u = yz$ ved at sætte ind i produktet.
Udregn $v = xy$ ved at sætte ind i produktet.
Udregn $xu$ og $vz.$
Overbevis dig nu om at $x(yz) = (xy)z,$ det vil sige at $xu = vz.$

Udled nogle få af regnereglerne i (2.2) med jeres nye viden om multiplikation, division, absolut værdi og kompleks konjugering af komplekse tal.

Brug formlerne i (2.2) til at simplificere udregningen, for at finde tallet

$\Bigl|\frac{(1-i)\overline{(2+2i)}}{3i(4-2i)}\Bigr|.$

$\phantom{}$

Find $z\in \mathbb{C}$ som opfylder $z (1 + i) = (1 + 2 i).$
Find $z_1, z_2\in \mathbb{C}$ som opfylder
$\begin{aligned} (1-2 i) z_1 + z_2 &= 8 + 4 i\\ z_1 + i z_2 &= -3 + 5 i. \end{aligned}$

Vis at hvis $z_1, z_2\in \mathbb{C}$ og $z_1z_2=0,$ så er enten $z_1=0$ eller $z_2=0.$ Vis derefter at hvis $z_1,z_2,z_3\in \mathbb{C}$ og $z_1z_3=z_2z_3,$ så er enten $z_3=0$ eller $z_1=z_2.$ Det vil sige, der er ingen seriøse konkurrenter til titlen $1/z_3.$

Ved hjælp af de Moivre's formel, hvad er $\cos(2x)$ ?

$2\sin(x) \cos(x) + 1.$

$2\cos(x)^2 - 1.$

Ingen af de foregående svarmuligheder.

Ved hjælp af de Moivre's formel, find en stamfunktion til $\cos(x)^3.$

Lad $z$ være en løsning til $z^8 = 1.$ Hvilke muligheder er der for $z$ ?

$\lvert z \rvert = 2.$

$z = i.$

Argumentet for $z$ er $\pi/8.$

$z = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}.$

For $a>0$ hvad er løsningerne til $z^2 = -a$ ? Det vil sige, hvad er kvadratrødderne af et negativt tal?

Vis at $\mathrm{e}^{\frac{2\pi}{3}i}$ er en løsning til andengradsligningen

$z^2 + z + 1 = 0.$ Benyt dette til at finde et udtryk for sinus til $120$ grader $(2\pi/3),$ ved hjælp af løsningsformlen for andengradsligningen.

Hvad gælder om $z=(1-i)(2+i)$ ?

$z$ svarer til at gange $2+i$ med $\sqrt{2},$ og derefter gange med $\mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}i}.$

$z=2-i.$

$z = 3-i.$

$z$ svarer til at gange $2+i$ med $\sqrt{2},$ og derefter med $\mathrm{e}^{\frac{7\pi}{4}i}.$

Gør rede for, at $\mathrm{e}^{i x} \mathrm{e}^{-i x} = 1$ for $x\in \mathbb{R}.$ Hvad er den polære form for $z^{-1} = 1/z,$ hvis $z$ har polær form

$z = r \mathrm{e}^{i \theta}?$ Hvad med den polære form for det komplekst konjugerede tal $\overline{z}$ ?

Hvad gælder om $z=(2+i)/(1-i)$ ?

$z$ svarer til at dividere $2+i$ med $\sqrt{2},$ og derefter gange med $\mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}i}.$

$2 z=1+3 i.$

$z = -1 + 3 i.$

$z$ svarer til at gange $2+i$ med $\sqrt{2},$ og derefter med $\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{4}i}.$

Gør rede for, at $z = \overline{z},$ hvis og kun hvis, $z\in \mathbb{R}.$

Find begge komplekse løsninger til ligningen

$2z^2 + 4z + 8 = 0,$ og bestem absolut værdi og argument for begge tal.

Løs andengradsligningen

$z^2 -(3+2i)z + (1 + 3i) = 0.$

Find $C > 0$ (amplituden) og $\varphi \in (-\pi,\pi]$ (faseforskydningen), så

$\cos(x) + \sin(x) = C \cos(x + \varphi)$ for alle $x.$

Hint

Opfat venstresiden som realdelen af

$\mathrm{e}^{ix} - i \mathrm{e}^{ix},$ og højresiden som realdelen af

$C \mathrm{e}^{i(x + \varphi)},$ og regn med komplekse tal!

Generaliser den foregående opgave, til at finde $C \geq 0$ og $\varphi$ ud fra reelle tal $\omega, A$ og $B,$ så

$A \cos(\omega x) + B \sin(\omega x) = C \cos(\omega x + \varphi).$

Opskriv samtlige komplekse tal $z,$ som løser ligningen

$z^6 = 64.$ Hvilke af disse løsninger er reelle tal?

Find det reelle tal $x,$ som opfylder at

$(x+i)(6-2i)$ er et reelt tal.

$\phantom{}$

Bestem antallet af reelle tal $x,$ som løser ligningen
$(x+i)^6 = 1.$
Find det reelle tal $x,$ som løser ligningen
$(x+i)^6 = -1.$

Vis at for $x\in\mathbb{R}$ gælder formlerne

$\cos(x) = \frac{\mathrm{e}^{ix} + \mathrm{e}^{-ix}}{2} \qquad \text{og} \qquad \sin(x) = \frac{\mathrm{e}^{ix}-\mathrm{e}^{-ix}}{2i}. \tag{2.17}$ Formlerne i (2.17) bruges til at definere cosinus og sinus til et generelt $z\in\mathbb{C},$ ved at erstatte $x$ med $z$ ovenfor.