3Lineære ligninger

Lineære ligninger optræder i et utal af anvendelser af matematikken, og udgør det idémæssige fundament for lineær algebra. Inden vi berører de mere abstrakte dele af den lineære algebra, ser vi nærmere på lineære ligninger og deres anvendelser. Formålet med dette kapitel er at give den intuitive forståelse, hvor løsningsmetoderne bliver mere konkrete og præciseret i næste kapitel med introduktionen af matricer.Lineære ligninger er førstegradsligninger i et antal ubekendte; det vil sige, de ubekendte optræder i hvert sit led og i første potens. For eksempel er $2x - 3y = 1$ en lineær ligning i de ubekendte $x$ og $y,$ mens $x^2 + y + 1 = 0$ ikke er det, da den ubekendte $x$ optræder i anden potens. Tilsvarende er $5\cos(x) + y = 1$ heller ikke en lineær ligning. Lineære ligningssystemer dækker over flere lineære ligninger, som følgende tre ligninger med de tre ubekendte $x, y$ og $z$: $$\begin{aligned} x + y + z &= 3 \\ x - y + z &= 1 \\ x + y - z &= 1. \end{aligned}\tag{3.1}$$ En løsning til ligningssystemet (3.1) er tal $x,$ $y$ og $z$ der opfylder alle tre ligninger på samme tid.Et generelt lineært ligningssystem, med $m$ ligninger og $n$ ubekendte, skrives ofte $$\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2 \\ &\enskip\vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m. \end{aligned}\tag{3.2}$$ Her er $x_1,\dots,x_n$ de ubekendte, tallene $a_{ij}$ der står i $i$'te ligning og ganget på $j$'te ubekendte kaldes koefficienterne, og tallene $b_1,\dots,b_m$ kan kaldes højresiderne.Det viser sig, at for lineære ligningssystemer er der præcis tre muligheder for løsninger: Ingen løsninger, en entydig løsning (præcis en løsning) eller uendelig mange løsninger.Allerede på nuværende tidspunkt kan det være fornuftigt at gennemgå Quizzer 3.1-3.3 samt Opgave 3.4.

3.1 En ligning med en ubekendt

Der er nogle ganske enkle regler for løsning af en lineær ligning med en ubekendt. Lad os, som eksempel, kigge nærmere på ligningen $2 x - 3 = 1.$ Processen for at isolere $x$ er helt mekanisk: $$2x - 3 = 1 \quad\Leftrightarrow\quad 2x = 4 \quad\Leftrightarrow\quad x = 2.$$ De overordnede regler vi har brugt er $$\begin{aligned} &a=b\quad \Leftrightarrow \quad a + c = b + c\\ &a=b\quad \Leftrightarrow \quad ta = tb, \end{aligned}\tag{3.3}$$ for tal $a, b, c, t$ hvor $t\neq 0.$ Disse regler gør, at vi altid kan isolere den ubekendte på den ene side af lighedstegnet.

3.2 Flere ligninger og flere ubekendte

Ligningen $2 x - 3 = 1$ indeholder kun en ubekendt, og har kun løsningen $x=2.$ Hvis en enkelt lineær ligning indeholder mere end en ubekendt, har den uendeligt mange løsninger. Tag som eksempel ligningen $2 x - 3 y = 1.$ Ved samme omskrivninger som ovenfor, gælder $$2x - 3y = 1 \quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}y.$$ Her kan vi vælge $y$ frit på uendeligt mange måder, men når først $y$ er valgt, er $x$ lagt fast. Løsningerne er derved talpar $(x,y)$ på formen $$(\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}y,y)$$ for ethvert $y.$ Vi siger her at $y$ er en fri variabel og $x$ er en bundet variabel; omvendt kunne man have isoleret $y$ i stedet, og så ombyttes rollerne for $x$ og $y.$Dette er lige på nær en situation: Hvis alle ubekendte indgår med koefficient $0,$ som $$0x + 0y = 1,$$ er der måske slet ikke nogen løsning. Hvis højresiden var $0,$ ville der igen være uendelig mange løsninger, men denne gang kan man frit vælge både $x$ og $y.$Det giver også mening at betragte flere ligninger med flere ubekendte, som for eksempel $$\begin{aligned} x + y &= 3\\ 2 x - 3 y &= 1. \end{aligned}$$ To tal $x$ og $y$ er en løsning hvis begge ligninger er opfyldt. Fra eksemplet ovenfor, ved vi at den anden ligning medfører at $$x = {\color{blue}{\frac{1}{2} + \frac{3}{2} y}}. \tag{3.4}$$ Dette kan indsættes for $x$ i den første ligning, og vi får $$3 = x + y = \color{blue}{\frac{1}{2} + \frac{3}{2} y} \color{black} + y = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} y.$$ Dette er en almindelig førstegradsligning kun i den ubekendte $y.$ Løsningen er $y=1,$ som så indsættes i (3.4). Her ses at $x = 2.$ Det vil sige at ligningssystemet har den entydige løsning $x= 2$ og $y=1.$

3.3 Gauss elimination

Ved løsning af flere lineære ligninger er det naturligt at fastholde en af ligningerne, isolere en ubekendt og så indsætte i de andre ligninger. Lad os studere denne operation via et eksempel med to ligninger og tre ubekendte: $$\begin{aligned} x + 2 y + z &= 8\\ 2 x + y + z &= 7. \end{aligned}$$ I den første ligning isoleres $x = 8 - 2 y - z,$ som så indsættes i den anden ligning: $$7 = 2 x + y + z = 2(8 - 2 y - z) + y + z = - 3 y - z + 16 \quad\Leftrightarrow\quad -3 y - z = -9.$$ I ligningssystemet giver det også god mening at gange første ligning med $2,$ og trække den fra anden ligning (begge sider af lighedstegnet). Denne operation giver ligningen $$-3 y - z = -9.$$ At de to operationer giver samme ligning er ikke noget tilfælde. BevisOperationen med at gange en ligning med et tal, og addere til en anden ligning, er umiddelbart nemmere at håndtere end substitutionsmetoden, og vi har ovenfor vist at de er ens. Denne fremgangsmåde bliver meget nemmere end substitution når vi arbejder med mange ligninger. Eliminations- eller substitutionsmetoden til løsning af lineære ligninger er en gammel kending. Sir Isaac Newton beskrev i 1720 metoden som følger:

And you are to know, that by each Æquation one unknown Quantity may be taken away, and consequently, when there are as many Æquations and unknown Quantities, all at length may be reduc'd into one, in which there shall be only one Quantity unknown.

Den matematiske superstjerne Carl Friedrich Gauss benyttede metoden til at bestemme banen for asteroiden Pallas. Den matematiske behandling af observationerne ledte ham til mindste kvadraters metode (se Kapitel 10), og et system med seks lineære ligninger og seks ubekendte.Selvom han langt fra var den første til at løse lineære ligninger ved proceduren ovenfor, er metoden blevet opkaldt efter ham. I nutiden kendes den ved navnet Gauss elimination.

3.4 Anvendelser

Under opgaverne er en del quizeksempler på anvendelser af lineære ligninger. Her giver vi lidt flere.

3.4.1 Linjer, parabler og polynomier af højere grad

En ret linje i planen er karakteriseret ved dens ligning $y = a x + b,$ hvor $a$ er hældningskoefficienten og $b$ skæringen med $y$-aksen. Gennem to punkter $(x_0, y_0)$ og $(x_1, y_1),$ med $x_0\neq x_1,$ går præcis en ret linje: Linjen kan findes ved at løse to ligninger med to ubekendte: $$\begin{aligned} ax_0 + b &= y_0 \\ ax_1 + b &= y_1. \end{aligned}$$ Her er de ubekendte $a$ og $b.$ Vi kan benytte Gauss elimination, trække første ligning fra den anden, og få $(x_1 - x_0) a = y_1 - y_0,$ det vil sige $$a = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}.$$ Ved indsættelse af $a$ i første ligning fås $$b = \frac{x_1 y_0 - x_0 y_1}{x_1 - x_0}.$$ Vi kan helt eksplicit konstruere linjen gennem de to punkter som $$p(x) = y_0 \frac{x - x_1}{x_0 - x_1} + y_1 \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}. \tag{3.9}$$ Funktionen $p$ i (3.9) er et førstegradspolynomium med $p(x_0) = y_0$ og $p(x_1) = y_1.$Næsten analogt hermed, går der en entydig parabel $$y = ax^2 + bx + c$$ gennem tre punkter $(x_0, y_0),$ $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$ med forskellige $x$-værdier: Her giver punkterne følgende tre ligninger $$\begin{aligned} ax_0^2 + bx_0 + c &= y_0 \\ ax_1^2 + bx_1 + c &= y_1 \\ ax_2^2 + bx_2 + c &= y_2, \end{aligned}\tag{3.10}$$ i de ubekendte $a,$ $b$ og $c.$ Vi kan helt eksplicit konstruere parablen gennem de tre punkter som $$\begin{aligned} p(x) &= y_0 \frac{(x - x_1)(x-x_2)}{(x_0 - x_1)(x_0-x_2)} \\ &\phantom{{}={}} + y_1 \frac{(x - x_0)(x - x_2)}{(x_1 - x_0)(x_1-x_2)} \\ &\phantom{{}={}} + y_2 \frac{(x - x_0)(x - x_1)}{(x_2 - x_0)(x_2-x_1)}. \end{aligned}\tag{3.11}$$ Læg igen mærke til dette fantastiske trick, kopieret fra den rette linje ovenfor: Funktionen $p$ i (3.11) er et andetgradspolynomium med $p(x_0) = y_0,$ $p(x_1) = y_1$ og $p(x_2) = y_2.$ Samtidig giver dette et konstruktivt bevis for, at ligningerne i (3.10) faktisk kan løses. Den ultimative generalisering er, at til $n+1$ punkter, $$(x_0, y_0), \quad \dots, \quad (x_n, y_n),$$ med forskellige $x$-værdier, går grafen for præcis en funktion af formen (et polynomium af grad højst $n$) $$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$$ gennem punkterne (Opgave 3.14). Nedenfor er et eksempel på fem punkter som konstruerer et fjerdegradspolynomium:

3.4.2 Kemisk ligevægt

I kemiske reaktioner er et grundlæggende princip massebevarelse. I nedenstående proces reagerer methan med oxygen, og der opstår kuldioxid og vand som følge. Men der er ubalance mellem masserne på hver side af pilen: $$\mathrm{CH}_4 + \mathrm{O}_2\quad \longrightarrow\quad \mathrm{CO}_2 + \mathrm{H}_2\mathrm{O}.$$ På venstresiden er der for eksempel fire hydrogenatomer, mens der på højresiden kun er to. Vi kan afstemme reaktionen ved at indføre fire ubekendte $x, y, z, w,$ som hver for sig angiver mængden af de involverede molekyler: $$x \mathrm{CH}_4 + y \mathrm{O}_2\quad \longrightarrow\quad z \mathrm{CO}_2 + w \mathrm{H}_2\mathrm{O}. \tag{3.13}$$ Ved at benytte at antallet af de enkelte atomer skal være bevaret, får vi følgende lineære ligninger: $$\begin{matrix} x & & &- &z & & &=&0\phantom{.}\\ 4x & & & & &- &2w &= &0\phantom{.}\\ &&2 y &- &2 z &- &w &= &0. \end{matrix}$$ Igen er Gauss elimination nyttig; ideen kunne være at starte fra venstre med den ubekendte $x,$ eliminere denne i ligningerne, indtil den kun indgår i en enkelt ligning, og dernæst gå videre til den ubekendte $y,$ og så videre. Vi ganger første ligning med $4,$ og trækker fra den anden ligning for at eliminere $x$: $$\begin{matrix} x & & &- &z & & &=&0\phantom{.}\\ & & & &4 z & -& 2w&= &0\phantom{.}\\ &&2 y &- &2 z &- &w &= &0. \end{matrix}$$ Den ubekendte $y$ indgår allerede kun i en ligning, så vi går videre til $z.$ Vi ganger anden ligning med $\frac{1}{2},$ og lægger til tredje ligning for at eliminere $z.$ Samtidig kan vi også gange anden ligning med $\frac{1}{4},$ og lægge til første ligning for også at eliminere $z$ her: $$\begin{matrix} x & & & & & -& \frac{1}{2}w&=&0\phantom{.}\\ & & & &4 z & -& 2w&= &0\phantom{.}\\ &&2 y & &&- &2w &= &0. \end{matrix}$$ Vi kan ikke rydde mere op i vores ligninger, uden at vi igen ville introducere flere $x,$ $y$ eller $z$ i vores ligninger, og vi er derfor færdige. Nu ses at løsningerne til ligningssystemet kun afhænger af den frie variabel $w$: $$x = \tfrac{1}{2} w, \quad y = w \quad \text{og} \quad z = \tfrac{1}{2} w.$$ Det vil sige, at der er uendeligt mange måder at balancere reaktionsskemaet (3.13) på, afhængig af valget af $w.$ Hvilket giver mening, da man altid vil kunne gange blandingsforholdene af molekylerne med en skalar. For $w=2$ balancerer reaktionsskemaet som $$\mathrm{CH}_4 + 2 \mathrm{O}_2\quad \longrightarrow\quad \mathrm{CO}_2 + 2 \mathrm{H}_2\mathrm{O}.$$

3.5 Homogent ligningssystem

Lineære ligningssystemer med lutter nuller på højresiden kaldes homogene. For eksempel $$\begin{matrix} &x &+ &y &+ &3 z &= &0\phantom{.}\\ &x &- &y &+ &2 z &= &0. \end{matrix}$$ Sådanne ligningssystemer har altid løsningen hvor alle de ubekendte er $0.$ Denne løsning kan være den eneste, som i tilfældet $$\begin{matrix} &x &+ &y &= &0\phantom{.}\\ &x &- &y &= &0. \end{matrix}$$ For at komme i gang med den lineære algebra, som egentlig blot er en fin ramme for studiet af lineære ligninger, er der specielt et vigtigt resultat som skal vises. Resultatet nedenfor gør brug af en særlig bevisteknik kaldet matematisk induktion; dette vil også optræde fremadrettet i nogle af de mere komplicerede beviser. Hvad er et induktionsbevis? BevisFor et homogent ligningssystem med flere ubekendte end ligninger er der derfor uendelig mange løsninger. Denne uendelighed af løsninger kommer til udtryk ved, at ikke alle de ubekendte kan være bundne variable, men nogle af dem bliver frie variable, som nævnt i begyndelsen af Afsnit 3.2.En konsekvens af Sætning 3.4 er, at for et generelt lineært ligningssystem (som ikke behøver være homogent), med flere ubekendte end ligninger, er der kun mulighederne ingen løsninger eller uendelig mange løsninger. Ved flere ubekendte end ligninger mister man altså muligheden for en entydig løsning.Disse ting hænger sammen med den såkaldte reduceret række echelon form for matricer, som er grundigt gennemgået i næste kapitel.

3.6 Opgaver