CEksponentialmatrix

Dette appendiks fokuserer på løsning af kvadratiske systemer af lineære ordinære differentialligninger med konstante koefficienter. Det vil sige, for en $n\times n$ matrix $A,$ et åbent interval $\mathcal{I}\subseteq \mathbb{R}$ og en kontinuert vektor-funktion $\mathbf b \colon \overline{\mathcal{I}} \to \mathbb{C}^n$ (hvor $\overline{\mathcal{I}}$ er mindste lukkede interval, der indeholder $\mathcal{I}$ ), så undersøges begyndelsesværdiproblemet

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\mathbf x(t) = A\mathbf x(t) + \mathbf b(t), \quad \mathbf x(t_0) = \mathbf x_0, \tag{C.1}$ hvor $(t_0,\mathbf x_0)\in \mathcal{I}\times \mathbb{C}^n.$ Som et korollar til en global version af Picard-Lindelöf sætning, eksisterer en entydig kontinuert differentiabel løsning til (C.1) defineret på intervallet $\mathcal{I},$ hvilket vi ofte vil gøre brug af under henvisning til eksistens og entydighed.

Hovedingrediensen til løsning af (C.1) er eksponentialmatricen $\mathrm{e}^{tA},$ som traditionelt set defineres som en uendelig række (baseret på Taylorrækken for eksponentialfunktionen)

$\mathrm{e}^{tA} = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k!}A^k,$ hvor $A^0 = I$ per definition. Vi vil i stedet definere eksponentialmatricen, på en ækvivalent måde, som løsning til en differentialligning, der generaliserer det skalare tilfælde. Ved brug af eksistens og entydighed undgår vi helt brugen af uendelige rækker (samt konvergens og differentiation af uendelige rækker), som hører hjemme i et analyse-kursus.

I Afsnit C.3 skal vi se en let metode, til eksplicit at bestemme eksponentialmatricen for enhver kvadratisk matrix. Der vil hovedsagligt bruges materiale op til Kapitel 8, men især til beviserne bruges også resultater fra Appendiks B.

C.1 Eksponentialmatricen og dens egenskaber

Overvej følgende (matrix) differentialligning, hvor $A$ og $B$ er $n\times n$ matricer:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Phi(t) = A\Phi(t), \quad \Phi(t_0) = B, \tag{C.2}$ for kontinuert differentiabel $\Phi \colon \mathbb{R} \to \mathbb{C}^{n\times n}$ (hvor $\mathbb{C}^{n\times n}$ er vektorrummet af komplekse $n\times n$ matricer). Hvis $\boldsymbol \varphi_j$ er $j$ 'te søjle af $\Phi$ og $\mathbf b_j$ er $j$ 'te søjle af $B,$ så kan (C.2) ækvivalent opskrives som

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\boldsymbol \varphi_j(t) = A\boldsymbol \varphi_j(t), \quad \boldsymbol \varphi_j(t_0) = \mathbf b_j, \tag{C.3}$ for $j = 1,\dots,n.$ Eftersom (C.3) har en entydig løsning for hvert $j,$ eksisterer også en entydig løsning til (C.2).

Lad $A$ være en kvadratisk matrix. Den entydige matrix-funktion, der løser

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Phi(t) = A\Phi(t), \quad \Phi(0) = I,$ kaldes eksponentialmatricen for $A,$ og betegnes $\Phi(t) = \mathrm{e}^{tA}.$

Navn og notation kommer naturligvis fra den skalare ligning

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}x(t) = \lambda x(t), \quad x(0) = 1,$ som har løsningen $x(t) = \mathrm{e}^{t\lambda}.$ Det viser sig også, at mange fundamentale og strukturelle egenskaber generaliserer fra det skalare tilfælde, som vi gennemgår i Sætningerne C.2-C.4. I deres beviser henvises direkte til de tidligere beviste egenskaber fra de andre sætninger.

Lad $A$ være en kvadratisk matrix.

For $s,t\in\mathbb{R}$ gælder
$\mathrm{e}^{(s+t)A} = \mathrm{e}^{sA}\mathrm{e}^{tA} = \mathrm{e}^{tA}\mathrm{e}^{sA}.$
Hvis $B$ kommuterer med $A,$ det vil sige $AB = BA,$ så gælder
$\mathrm{e}^{tA}B = B\mathrm{e}^{tA} \quad \text{og} \quad \mathrm{e}^{t(A+B)} = \mathrm{e}^{tA}\mathrm{e}^{tB} = \mathrm{e}^{tB}\mathrm{e}^{tA}.$ Specifikt holder dette altid for $B=A.$
$\mathrm{e}^{tA}$ er invertibel for alle $t\in\mathbb{R}$ med invers $(\mathrm{e}^{tA})^{-1} = \mathrm{e}^{-tA}.$
Hvis $A = PBP^{-1},$ så er
$\mathrm{e}^{tA} = P\mathrm{e}^{tB}P^{-1}.$
Hvis $\lambda$ er egenværdi for $A$ med egenvektor $\mathbf v,$ så er $\mathrm{e}^{t\lambda}$ egenværdi for $\mathrm{e}^{tA}$ med egenvektor $\mathbf v.$
Der gælder $(\mathrm{e}^{tA})^* = \mathrm{e}^{tA^*},$ $(\mathrm{e}^{tA})^{\textup{T}} = \mathrm{e}^{tA^{\textup{T}}}$ og $\overline{(\mathrm{e}^{tA})} = \mathrm{e}^{t\overline{A}}.$ Specifikt, hvis $A$ er Hermitisk/symmetrisk/reel gælder det samme for $\mathrm{e}^{tA}.$

Bevis

(i): Fasthold $s\in\mathbb{R},$ samt definer $\Phi_s(t) = \mathrm{e}^{(s+t)A}$ og $\Psi_s(t) = \mathrm{e}^{tA}\mathrm{e}^{sA}.$ Så gælder af kædereglen samt Definition C.1, at

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Phi_s(t) &= A\mathrm{e}^{(s+t)A} = A\Phi_s(t), \quad \Phi_s(0) = \mathrm{e}^{sA},\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Psi_s(t) &= A\mathrm{e}^{tA}\mathrm{e}^{sA} = A\Psi_s(t), \quad \Psi_s(0) = \mathrm{e}^{sA}. \end{aligned}$ Af eksistens og entydighed er $\Phi_s = \Psi_s$ for ethvert $s\in\mathbb{R}.$ Ved at gentage beviset, men hvor rollerne af $s$ og $t$ ombyttes, opnås også $\mathrm{e}^{(s+t)A} = \mathrm{e}^{sA}\mathrm{e}^{tA}.$

(ii): Vi har nu $AB = BA.$ Definer $\Phi(t) = \mathrm{e}^{tA}B$ og $\Psi(t) = B\mathrm{e}^{tA}.$ Så gælder

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Phi(t) &= A\mathrm{e}^{tA}B = A\Phi(t), \quad \Phi(0) = B, \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Psi(t) &= BA\mathrm{e}^{tA} = AB\mathrm{e}^{tA} = A\Psi(t), \quad \Psi(0) = B. \end{aligned}$ Af eksistens og entydighed er $\Phi = \Psi.$

Dernæst lad $\Phi(t) = \mathrm{e}^{t(A+B)}$ og $\Psi(t) = \mathrm{e}^{tA}\mathrm{e}^{tB}.$ Af produktreglen, samt første del af (ii), fås

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Phi(t) &= (A+B)\Phi(t), \quad \Phi(0) = I, \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Psi(t) &= A\mathrm{e}^{tA}\mathrm{e}^{tB} + \mathrm{e}^{tA}B\mathrm{e}^{tB} = (A+B)\Psi(t), \quad \Psi(0) = I. \end{aligned}$ Af eksistens og entydighed er $\Phi = \Psi.$ Ved at ombytte rollerne for $A$ og $B$ fås $\mathrm{e}^{t(A+B)} = \mathrm{e}^{tB}\mathrm{e}^{tA}.$

(iii): Af (i), samt begyndelsesbetingelsen for $\mathrm{e}^{tA},$ gælder

$\mathrm{e}^{-tA}\mathrm{e}^{tA} = \mathrm{e}^{tA}\mathrm{e}^{-tA} = \mathrm{e}^{0A} = I.$

(iv): Her er $A = PBP^{-1}.$ Definer $\Phi(t) = P\mathrm{e}^{tB}P^{-1},$ og bemærk at $AP = PB.$ Så fås

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Phi(t) = PB\mathrm{e}^{tB}P^{-1} = AP\mathrm{e}^{tB}P^{-1} = A\Phi(t), \quad \Phi(0) = PP^{-1} = I.$ Af Definition C.1 er $\mathrm{e}^{tA} = \Phi(t).$

(v): Lad $\lambda$ være egenværdi af $A$ med egenvektor $\mathbf v.$ Lad $\boldsymbol \varphi(t) = \mathrm{e}^{tA}\mathbf v$ og $\boldsymbol \psi(t) = \mathrm{e}^{t\lambda}\mathbf v.$ Så gælder

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\boldsymbol \varphi(t) &= A\mathrm{e}^{tA}\mathbf v = A\boldsymbol \varphi(t), \quad \boldsymbol \varphi(0) = \mathbf v, \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\boldsymbol \psi(t) &= \lambda\mathrm{e}^{t\lambda}\mathbf v = \mathrm{e}^{t\lambda}A\mathbf v = A\boldsymbol \psi(t),\quad \boldsymbol \psi(0) = \mathbf v. \end{aligned}$ Af eksistens og entydighed er $\boldsymbol \varphi = \boldsymbol \psi,$ og dermed er $\mathrm{e}^{t\lambda}$ egenværdi for $\mathrm{e}^{tA}$ med egenvektor $\mathbf v.$

(vi): Vi viser $(\mathrm{e}^{tA})^* = \mathrm{e}^{tA^*}$ ; de to andre beviser er tilsvarende. Fra Definition C.1 og (ii) har vi

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\mathrm{e}^{tA})^* = \Bigl(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\mathrm{e}^{tA}\Bigr)^* = (A\mathrm{e}^{tA})^* = (\mathrm{e}^{tA}A)^* = A^*(\mathrm{e}^{tA})^*,$ samt $(\mathrm{e}^{0A})^* = I.$ Af Definition C.1 har vi $(\mathrm{e}^{tA})^* = \mathrm{e}^{tA^*}.$

$\phantom{ }$

Hvis $A$ er en Hermitisk matrix, så er $\mathrm{e}^{tA}$ positiv definit.
Hvis $T$ er en øvre/nedre trekantsmatrix, så er $\mathrm{e}^{tT}$ det også.
For en kvadratisk diagonalmatrix $D,$
$D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}, \quad \textup{så er} \quad \mathrm{e}^{tD} = \begin{pmatrix} \mathrm{e}^{t\lambda_1} & & \\ & \ddots & \\ & & \mathrm{e}^{t\lambda_n} \end{pmatrix}.$
Hvis $N$ er en $n\times n$ nilpotent matrix, så er
$\mathrm{e}^{tN} = \sum_{k=0}^{n-1}\frac{t^k}{k!}N^k.$
Hvis $P$ er en projektionsmatrix, $P^2 = P$ (ikke nødvendigvis ortogonal projektion), så er
$\mathrm{e}^{tP} = I + (\mathrm{e}^{t}-1)P.$

Bevis

( $\alpha$ ): Lad $A$ være en Hermitisk matrix, så gælder af (i) og (vi) at

$(\mathrm{e}^{tA}\mathbf x)\cdot \mathbf x = (\mathrm{e}^{\frac{1}{2}tA}\mathrm{e}^{\frac{1}{2}tA}\mathbf x)\cdot \mathbf x = \lvert \mathrm{e}^{\frac{1}{2}tA}\mathbf x \rvert^2 \geq 0.$ Herudover, da $\mathrm{e}^{\frac{1}{2}tA}$ er invertibel af (iii), er der kun lighed ovenfor hvis $\mathbf x = \mathbf 0$ (Korollar 4.27). Dermed er $\mathrm{e}^{tA}$ positiv definit (Definition 11.13).

( $\beta$ ): Antag at $T = (t_{ij})$ er en $n\times n$ øvre trekantsmatrix. Lad $\mathrm{e}^{tT} = (\varphi_{ij}(t)).$ Så har vi af Definition C.1, samt at $T$ er en øvre trekantsmatrix:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\varphi_{ij}(t) = \sum_{k=i}^n t_{ik}\varphi_{kj}(t). \tag{C.4}$ For $i = n > j$ har vi, inklusiv begyndelsesbetingelsen fra Definition C.1:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\varphi_{nj}(t) = t_{nn}\varphi_{nj}(t), \quad \varphi_{nj}(0) = 0, \quad n > j.$ Det ses at $\varphi_{nj} \equiv 0$ er en løsning, og af eksistens og entydighed er dette eneste mulighed.

Nu vises, at $\mathrm{e}^{tT}$ er en øvre trekantsmatrix ved induktion, så lad $i>j$ og antag at $\varphi_{kj} \equiv 0$ for $k = i+1,\dots,n$ ; vi har vist induktionsstarten ovenfor. Fra (C.4), samt begyndelsesbetingelsen ved indeks $i>j,$ får vi

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\varphi_{ij}(t) = t_{ii}\varphi_{ij}(t), \quad \varphi_{ij}(0) = 0, \quad i > j,$ som igen giver $\varphi_{ij}\equiv 0.$ Dermed er $\mathrm{e}^{tT} = (\varphi_{ij}(t))$ en øvre trekantsmatrix.

Antag nu at $T$ er en nedre trekantsmatrix, det vil sige $T^\textup{T}$ er en øvre trekantsmatrix. Af (vi) er $(\mathrm{e}^{tT})^\textup{T} = \mathrm{e}^{tT^\textup{T}}$ en øvre trekantsmatrix, og så er $\mathrm{e}^{tT}$ en nedre trekantsmatrix.

( $\gamma$ ): Hvis $D = \textup{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n),$ gælder at $\lambda_j$ er en egenværdi hørende til egenvektor $\mathbf e_j.$ Hvis $\boldsymbol \varphi_j(t)$ er $j$ 'te søjle af $\mathrm{e}^{tD},$ fås af (v):

$\boldsymbol \varphi_j(t) = \mathrm{e}^{tD}\mathbf e_j = \mathrm{e}^{t\lambda_j}\mathbf e_j, \quad j = 1,\dots, n,$ det vil sige $\mathrm{e}^{tD} = \textup{diag}(\mathrm{e}^{t\lambda_1},\dots,\mathrm{e}^{t\lambda_n}).$

( $\delta$ ): Lad $\Phi(t) = \sum_{k=0}^{n-1}\frac{t^k}{k!}N^k,$ så gælder følgende, hvor der anvendes at $N^n = \mathbf 0$ :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Phi(t) = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}N^k = \sum_{k=1}^{n}\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}N^{k} = N\sum_{k=0}^{n-1}\frac{t^{k}}{k!}N^{k} = N\Phi(t),$ samt $\Phi(0) = I.$ Af Definition C.1 er $\mathrm{e}^{tN} = \Phi(t).$

( $\varepsilon$ ): Her haves en projektionsmatrix, det vil sige $P^2 = P.$ Lad $\Phi(t) = I + (\mathrm{e}^t-1)P,$ og bemærk at $P\Phi(t) = \mathrm{e}^{t}P.$ Så gælder

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Phi(t) = \mathrm{e}^{t}P = P\Phi(t), \quad \Phi(0) = I.$ Af Definition C.1 er $\mathrm{e}^{tP} = \Phi(t).$

Lad $A$ være en kvadratisk matrix.

Lad $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ være egenværdierne for $A$ (gentaget efter algebraisk multiplicitet), så er $\mathrm{e}^{t\lambda_1},\dots,\mathrm{e}^{t\lambda_n}$ egenværdierne for $\mathrm{e}^{tA}$ (gentaget efter algebraisk multiplicitet).
Der gælder $\det(\mathrm{e}^{tA}) = \mathrm{e}^{t\mathrm{tr}(A)}.$

Bevis

(a): Fra Jordan normal form (Sætning B.10) er $A = PJP^{-1}$ med $J = S + N.$ $S$ er en diagonalmatrix med egenværdierne $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ for $A$ i diagonalen (gentaget efter algebraisk multiplicitet), og $N$ er en nilpotent øvre trekantsmatrix med nul i diagonalelementerne. Derudover gælder også at $SN = NS.$ Så af (ii), (iv), ( $\gamma$ ) og ( $\delta$ ):

$\begin{aligned} \mathrm{e}^{tA} &= P\mathrm{e}^{tS}\mathrm{e}^{tN}P^{-1} = P\begin{pmatrix} \mathrm{e}^{t\lambda_1} & & \\ & \ddots & \\ & & \mathrm{e}^{t\lambda_n} \end{pmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{t^k}{k!}N^k P^{-1}. \end{aligned}$ Det vil sige, hvis også $N^k$ for $k=1,\dots,n-1$ er øvre trekantsmatricer med nul i diagonalelementerne, så fås i alt at $\mathrm{e}^{tA}$ er similær med en øvre trekantsmatrix med $\mathrm{e}^{t\lambda_1},\dots,\mathrm{e}^{t\lambda_n}$ i diagonalen (fra $k=0$ leddet). Af Opgave 8.15 og Opgave 8.8 betyder dette, at $\mathrm{e}^{t\lambda_1},\dots,\mathrm{e}^{t\lambda_n}$ er alle egenværdier for $\mathrm{e}^{tA}$ (gentaget efter algebraisk multiplicitet).

Vi viser det induktivt, hvor induktionsstarten med $N^1$ er sand per definition. Antag at $N^{k-1}$ har de angivne egenskaber. Det vil sige, at $(N^{k-1})_{iq} = 0$ for $q \leq i$ og $N_{qj} = 0$ for $q \geq j.$ Så for $i \geq j$ gælder

$(N^k)_{ij} = \sum_{q=1}^n (N^{k-1})_{iq} N_{qj} = \sum_{q = i+1}^n (N^{k-1})_{iq} N_{qj} = 0,$ da i summen er $q > i \geq j.$ Induktionsbeviset er dermed slut.

(b): Hvis $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ er egenværdierne for $A$ (gentaget efter algebraisk multiplicitet), så er de tilsvarende egenværdier for $\mathrm{e}^{tA}$ givet ved $\mathrm{e}^{t\lambda_1},\dots,\mathrm{e}^{t\lambda_n}$ af (a). Nu anvendes begge dele af Sætning 11.7, der relaterer determinant og spor til egenværdier:

$\det(\mathrm{e}^{tA}) = \mathrm{e}^{t\lambda_1}\cdots\mathrm{e}^{t\lambda_n} = \mathrm{e}^{t(\lambda_1+\dots+\lambda_n)} = \mathrm{e}^{t\mathrm{tr}(A)}.$

For et fastholdt $t$ , hvis $\mathrm{e}^{t\lambda}$ er lig $\mathrm{e}^{t\lambda_{j_1}} = \dots = \mathrm{e}^{t\lambda_{j_k}}$ for et antal egenværdier for $\mathrm{e}^{tA}$ (dvs. $t(\lambda_{j_{p}}-\lambda_{j_{p'}}) = 2\pi i q_{p,p'}$ for heltal $q_{p,p'}$ ), er den algebraiske multiplicitet for $\mathrm{e}^{t\lambda}$ lig summen af de algebraiske multipliciteter for $\lambda_{j_1},\dots,\lambda_{j_k}$ som egenværdier af $A$ (Sætning C.4).

Hvis $A$ har egenværdier med samme realdel men forskellig imaginærdel, kan derfor være værdier af $t$ hvor der forekommer spring i algebraisk multiplicitet for tilsvarende egenværdier af $\mathrm{e}^{tA}.$

Fremadrettet bruger vi egenskaberne i Sætningerne C.2-C.4 uden yderligere referencer.

C.2 Løsning af inhomogent system af differentialligninger

Vi vender nu tilbage til begyndelsesværdiproblemet i (C.1), som kan løses ved brug af eksponentialmatricen. I resultatet nedenfor skal integralet udregnes separat for hver indgang af vektor-funktionen $\mathrm{e}^{(t-s)A}\mathbf b(s).$

Lad $A$ være en $n\times n$ matrix, $\mathcal{I}\subseteq \mathbb{R}$ et åbent interval og $\mathbf b\colon\overline{\mathcal{I}}\to\mathbb{C}^n$ en kontinuert vektor-funktion. For ethvert $(t_0,\mathbf x_0) \in \mathcal{I}\times\mathbb{C}^n,$ er den entydige løsning af

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\mathbf x(t) = A\mathbf x(t) + \mathbf b(t), \quad \mathbf x(t_0) = \mathbf x_0 \tag{C.5}$ givet ved

$\mathbf x(t) = \mathrm{e}^{(t-t_0)A}\mathbf x_0 + \int_{t_0}^t \mathrm{e}^{(t-s)A}\mathbf b(s)\,\mathrm{d} s, \quad t\in \mathcal{I}.$ Bemærk særtilfældet hvor $\mathbf b \equiv \mathbf 0,$ så er $\mathbf x(t) = \mathrm{e}^{(t-t_0)A}\mathbf x_0$ og er defineret på hele $\mathbb{R}.$

Bevis

Vi ved allerede, at der eksisterer en entydig løsning $\mathbf x$ til begyndelsesværdiproblemet (C.5). Ved at omskrive (C.5) får vi fra produktreglen:

$\begin{aligned} \mathrm{e}^{-tA}\mathbf b(t) &= \mathrm{e}^{-tA}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\mathbf x(t) - \mathrm{e}^{-tA}A\mathbf x(t) \\ &= \mathrm{e}^{-tA}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\mathbf x(t) - A\mathrm{e}^{-tA}\mathbf x(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\mathrm{e}^{-tA}\mathbf x(t)). \end{aligned}$ Ved integration og analysens fundamentalsætning opnår vi derfor

$\int_{t_0}^t \mathrm{e}^{-sA}\mathbf b(s)\,\mathrm{d} s = \mathrm{e}^{-tA}\mathbf x(t) - \mathrm{e}^{-t_0 A}\mathbf x(t_0).$ Beviset afsluttes ved $\mathbf x(t_0) = \mathbf x_0$ og multiplikation med $\mathrm{e}^{tA},$ samt linearitet af integralet.

C.3 Putzer's metode

Nu kommer hovedattraktionen af kapitlet, nemlig en ganske simpel metode, til eksplicit at bestemme eksponentialmatricen for enhver kvadratisk matrix.

Lad $A$ være en $n\times n$ matrix med egenværdier $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ (gentaget efter algebraisk multiplicitet). Definer matricerne

$\begin{aligned} P_0 &= I, \\ P_j &= (A-\lambda_1 I)\cdots (A-\lambda_j I), \quad j = 1,\dots, n. \end{aligned}$ Definer funktionerne

$\begin{aligned} r_1(t) &= \mathrm{e}^{t\lambda_1}, \\ r_{j}(t) &= \mathrm{e}^{t\lambda_j}\int_0^t \mathrm{e}^{-s\lambda_j}r_{j-1}(s)\,\mathrm{d} s, \quad j = 2,\dots,n. \end{aligned}$ Så er eksponentialmatricen givet ved

$\mathrm{e}^{tA} = \sum_{j=0}^{n-1} r_{j+1}(t)P_j, \quad t\in \mathbb{R}.$

Fra Sætning C.6 (i en dimension og $\mathcal{I}=\mathbb{R}$ ), er $r_j$ -funktionerne de entydige løsninger til

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}r_1(t) &= \lambda_1 r_1(t), \quad r_1(0) = 1, \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}r_j(t) &= \lambda_j r_j(t) + r_{j-1}(t), \quad r_j(0) = 0, \quad j=2,\dots,n. \end{aligned}$ Dette bruges i beviset nedenfor.

Bevis

Definer $\Phi(t) = \sum_{j=0}^{n-1}r_{j+1}(t)P_j.$ Så fås

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Phi(t) = \sum_{j=0}^{n-1} r_{j+1}'(t)P_j = \sum_{j=0}^{n-1}\lambda_{j+1}r_{j+1}(t)P_j + \sum_{j=1}^{n-1}r_j(t)P_j.$ Af Cayley-Hamilton sætning (Sætning B.13) har vi $P_n = \mathbf 0.$ Derfor får vi, ved at tilføje et ekstra led som er lig $\mathbf 0,$ samt at $P_{j+1} = (A-\lambda_{j+1}I)P_j\text{:}$

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Phi(t) &= \sum_{j=0}^{n-1}\lambda_{j+1}r_{j+1}(t)P_j + \sum_{j=1}^{n}r_j(t)P_j \\ &= \sum_{j=0}^{n-1}r_{j+1}(t)(\lambda_{j+1}P_j + P_{j+1}) \\ &= \sum_{j=0}^{n-1}r_{j+1}(t)AP_j = A\Phi(t). \end{aligned}$ Vi har også fra begyndelsesbetingelserne for $r_j,$

$\Phi(0) = \sum_{j=0}^{n-1}r_{j+1}(0)P_j = P_0 = I.$ Af Definition C.1 er $\mathrm{e}^{tA} = \Phi(t).$

C.4 Eksempler på udregning af eksponentialmatrix

Lad os begynde med et lidt kompliceret, men konkret, eksempel på brugen af Putzer's metode. Lad $A$ være $4\times 4$ matricen

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$ Egenværdierne for $A$ (gentaget efter algebraisk multiplicitet) er $\lambda_1 = 1,$ $\lambda_2 = 1,$ $\lambda_3 = 2$ og $\lambda_4 = 2.$ $A$ er ikke diagonaliserbar. Vi har dermed

$\begin{aligned} r_1(t) &= \mathrm{e}^{t}, \\ r_2(t) &= \mathrm{e}^{t}\int_0^t \mathrm{e}^{-s}\mathrm{e}^{s}\,\mathrm{d} s = t\mathrm{e}^{t}, \\ r_3(t) &= \mathrm{e}^{2t}\int_0^t \mathrm{e}^{-2s}s\mathrm{e}^{s}\,\mathrm{d} s = \mathrm{e}^{2t} - (t+1)\mathrm{e}^{t}, \\ r_4(t) &= \mathrm{e}^{2t}\int_0^t \mathrm{e}^{-2s}(\mathrm{e}^{2s}-(s+1)\mathrm{e}^{s})\,\mathrm{d} s = (t-2)\mathrm{e}^{2t}+(t+2)\mathrm{e}^t. \end{aligned}$ Vi har også

$\begin{aligned} P_0 &= I, \\ P_1 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \\ P_2 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \\ P_3 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$ Derfor er eksponentialmatricen

$\begin{aligned} \mathrm{e}^{tA} &= r_1(t)P_0 + r_2(t)P_1 + r_3(t)P_2 + r_4(t)P_3 \\&= \begin{pmatrix} \mathrm{e}^{2t} & 0 & 0 & 0 \\ 2t\mathrm{e}^{2t} & \mathrm{e}^{2t} & 0 & \mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{2t} \\ \mathrm{e}^{2t}-\mathrm{e}^{t} & 0 & \mathrm{e}^{t} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mathrm{e}^{t} \end{pmatrix}. \end{aligned}$

C.4.1 Resultater for $2\times 2$ matricer

Vi fokuserer nu på en $2\times 2$ matrix $A.$ Det karakteristiske polynomium er derfor

$\begin{aligned} p(\lambda) &= (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2) \\ &= \lambda^2 - (\lambda_1+\lambda_2)\lambda + \lambda_1\lambda_2 \\ &= \lambda^2 - \mathrm{tr}(A)\lambda + \det(A), \end{aligned}$ hvor vi gjorde brug af Sætning 11.7. Dermed er der egenværdierne

$\tfrac{1}{2}\mathrm{tr}(A) \pm \sqrt{\tfrac{1}{4}\mathrm{tr}(A)^2 - \det(A)}. \tag{C.6}$

Dette leder frem til følgende udregning med Putzer's metode.

Lad $A$ være en $2\times 2$ matrix og lad $B = A - \tfrac{1}{2}\mathrm{tr}(A)I,$ så er

$\mathrm{e}^{tA} = \mathrm{e}^{\frac{1}{2}\mathrm{tr}(A)t}\mathrm{e}^{tB}.$ Definer

$\eta_A = \tfrac{1}{4}\mathrm{tr}(A)^2 - \det(A).$ Hvis $\eta_A$ er et reelt tal, så er $\mathrm{e}^{tB}$ givet ved:

Hvis $\eta_A = 0,$ er
$\mathrm{e}^{tB} = I + tB.$
Hvis $\eta_A < 0,$ er
$\mathrm{e}^{tB} = \cos(\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}t)I + \frac{\sin(\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}t)}{\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}}B.$
Hvis $\eta_A > 0,$ er
$\mathrm{e}^{tB} = \cosh(\sqrt{\eta_A}t)I + \frac{\sinh(\sqrt{\eta_A}t)}{\sqrt{\eta_A}}B.$

Bevis

Vi observerer fra (C.6), at egenværdierne for $B$ er $\pm\sqrt{\eta_A}.$

(i): Egenværdierne for $B$ er $\lambda_1=\lambda_2 = 0.$ Fra Putzer's metode (Sætning C.7) har vi

$r_1(t) = 1 \quad \textup{og} \quad r_2(t) = \int_{0}^t 1\,\mathrm{d} s = t,$ så vi får

$\mathrm{e}^{tB} = r_1(t)I + r_2(t)B = I+tB.$

(ii): Egenværdierne for $B$ er $\lambda_1 = i\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}$ og $\lambda_2 = -i\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}.$ Vi får nu

$\begin{aligned} r_1(t) &= \mathrm{e}^{i\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}t}, \\ r_2(t) &= \mathrm{e}^{-i\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}t}\int_{0}^t \mathrm{e}^{2i\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}s}\,\mathrm{d} s = \frac{\mathrm{e}^{i\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}t} - \mathrm{e}^{-i\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}t}}{2i\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}} \\ &= \frac{\sin(\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}t)}{\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}}. \end{aligned}$ Dermed får vi

$\begin{aligned} \mathrm{e}^{tB} &= r_1(t)I + r_2(t)(B-i\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}I) \\ &= (\mathrm{e}^{i\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}t} - \tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{i\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}t} + \tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-i\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}t})I + \frac{\sin(\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}t)}{\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}}B \\ &= \cos(\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}t)I + \frac{\sin(\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}t)}{\sqrt{\lvert \eta_A \rvert}}B. \end{aligned}$

(iii): Dette bevis er næsten identisk med (ii), så det overlades til læseren at gennemgå det. Her bruges definitionerne på de hyperbolske funktioner:

$\cosh(t) = \frac{\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t}}{2} \quad \textup{og} \quad \sinh(t) = \frac{\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{-t}}{2}.$

Proposition C.9 kan også anvendes til hurtigt at finde eksponentialmatricen for nogle komplekse matricer. Lad

$A = \begin{pmatrix} 1 + 2i & 3 \\ 1 & 1 - 2i \end{pmatrix},$ så er

$\begin{aligned} \mathrm{tr}(A) &= (1+2i)+(1-2i) = 2, \\ \det(A) &= (1+2i)(1-2i)-3 = 2, \\ \eta_A &= \tfrac{1}{4}\mathrm{tr}(A)^2 - \det(A) = -1, \\ B &= A - \tfrac{1}{2}\mathrm{tr}(A)I = \begin{pmatrix} 2i & 3 \\ 1 & -2i \end{pmatrix}. \end{aligned}$ Vi lander i tilfælde (ii) af Proposition C.9 og får:

$\begin{aligned} \mathrm{e}^{tA} &= \mathrm{e}^{\frac{1}{2}\mathrm{tr}(A)t}\mathrm{e}^{tB} = \mathrm{e}^t\cos(t)I+\mathrm{e}^{t}\sin(t)B \\ &= \begin{pmatrix} \mathrm{e}^t(\cos(t)+2i\sin(t)) & 3\mathrm{e}^t\sin(t) \\ \mathrm{e}^t\sin(t) & \mathrm{e}^{t}(\cos(t)-2i\sin(t)) \end{pmatrix}. \end{aligned}$

C.5 Asymptotisk opførsel for løsninger af differentialligninger

Når det kommer til lineære systemer af differentialligninger med systemmatrix $A,$ så har især realdelen af egenværdierne en vigtig rolle.

For en kvadratisk matrix $A,$ med egenværdier $\lambda_1,\dots,\lambda_r,$ kaldes

$\alpha(A) = \max_{j\in\{1,\dots,r\}}\mathrm{Re}(\lambda_j)$ for den spektrale abscisse.

Den spektrale abscisse kan anvendes til at give vurderinger på normen af en eksponentialmatrix. Dette bruges blandt andet til at undersøge den asymptotiske opførsel for løsninger til $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\mathbf x(t) = A\mathbf x(t).$

Lad $A$ være en kvadratisk matrix og lad $\lVert \cdot \rVert$ være en matrixnorm. For ethvert $\nu > \alpha(A),$ eksisterer et $C>0,$ så

$\lVert \mathrm{e}^{tA} \rVert \leq C\mathrm{e}^{t\nu}, \quad t \geq 0.$

Bevis

Lad $\lambda_j$ og $r_j$ være som i Putzer's metode (Sætning C.7), samt lad $t\geq 0$ og $\nu > \alpha(A).$ Bemærk at $\lvert \mathrm{e}^{t\lambda_j} \rvert = \mathrm{e}^{t\mathrm{Re}(\lambda_j)},$ så vi har

$\lvert r_1(t) \rvert \leq \mathrm{e}^{t\nu}.$ Nu vil vi bevise, at $\lvert r_j(t) \rvert\leq C_j\mathrm{e}^{t\nu}$ for $j=1,\dots,n$ for konstanter $C_j>0.$ Vi har allerede klaret induktionsstarten $j=1.$ Antag at $\lvert r_{j-1}(t) \rvert\leq C_{j-1}\mathrm{e}^{t\nu}$ for et $j\in \{2,\dots,n\},$ så gælder

$\begin{aligned} \lvert r_j(t) \rvert &\leq \mathrm{e}^{t\mathrm{Re}(\lambda_j)}\int_{0}^t \mathrm{e}^{-s\mathrm{Re}(\lambda_j)} \lvert r_{j-1}(s) \rvert\,\mathrm{d} s \\ &\leq C_{j-1}\mathrm{e}^{t\mathrm{Re}(\lambda_j)}\int_{0}^t \mathrm{e}^{s(\nu-\mathrm{Re}(\lambda_j))} \,\mathrm{d} s \\ &= \frac{C_{j-1}}{\nu-\mathrm{Re}(\lambda_j)}(\mathrm{e}^{t\nu}-\mathrm{e}^{t\mathrm{Re}(\lambda_j)}) \\ &\leq C_j \mathrm{e}^{t\nu} \end{aligned}$ for $C_j = \frac{C_{j-1}}{\nu-\mathrm{Re}(\lambda_j)} > 0.$ Dette afslutter induktionsbeviset.

Nu konkluderes beviset ved brug af Putzer's metode, trekantsuligheden for matrixnormen, samt $\lvert r_j(t) \rvert\leq C_j\mathrm{e}^{t\nu}$ :

$\lVert \mathrm{e}^{tA} \rVert \leq \sum_{j=0}^{n-1}\lvert r_{j+1}(t) \rvert \lVert P_j \rVert \leq \Bigl( \sum_{j=0}^{n-1}C_{j+1}\lVert P_j \rVert\Bigr)\mathrm{e}^{t\nu}.$

Lad $A$ være en kvadratisk matrix.

Hvis $\alpha(A) > 0$ eksisterer $\mathbf x_0\neq \mathbf 0$ (med vilkårlig lille norm), så løsningen til $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\mathbf x(t) = A\mathbf x(t)$ og $\mathbf x(0) = \mathbf x_0$ opfylder
$\lim_{t\to \infty} \lvert \mathbf x(t) \rvert = \infty.$
Der gælder $\alpha(A) < 0,$ hvis og kun hvis, alle løsninger til $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\mathbf x(t) = A\mathbf x(t)$ opfylder
$\lim_{t\to \infty} \lvert \mathbf x(t) \rvert = 0.$

Bevis

(i): Lad $\lambda,\mathbf v$ være et egenværdi/egenvektor par for $A$ med $\lvert \mathbf v \rvert=1.$ Lad $\delta>0$ være vilkårlig. Vi ser nu på løsningen $\mathbf x(t)$ med $\mathbf x(0) = \delta\mathbf v.$ Så har vi

$\lvert \mathbf x(t) \rvert = \delta\lvert \mathrm{e}^{tA}\mathbf v \rvert = \delta\lvert \mathrm{e}^{t\lambda}\mathbf v \rvert = \delta\mathrm{e}^{t\mathrm{Re}(\lambda)}. \tag{C.7}$ Det vil sige, hvis $\mathrm{Re}(\lambda) > 0,$ vil $\lim_{t\to\infty}\lvert \mathbf x(t) \rvert = \infty$ uanset hvor lille $\delta>0$ er.

(ii): For den specifikke løsning i (C.7), hvis $\mathrm{Re}(\lambda) = 0,$ vil $\lvert \mathbf x(t) \rvert \equiv \delta \neq 0.$ Kombineret med (i), er det derfor nok at vise $\alpha(A) < 0$ medfører at alle løsninger til $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\mathbf x(t) = A\mathbf x(t)$ opfylder $\lim_{t\to \infty} \lvert \mathbf x(t) \rvert = 0.$

Vi vælger nu $\nu$ så $\alpha(A) < \nu < 0.$ Af Proposition C.12 og norm-uligheden i (12.10), får vi

$\lvert \mathbf x(t) \rvert = \lvert \mathrm{e}^{tA}\mathbf x(0) \rvert \leq C\mathrm{e}^{t\nu}\lvert \mathbf x(0) \rvert \to 0 \quad\text{for}\quad t\to \infty,$ for enhver løsning til $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\mathbf x(t) = A\mathbf x(t).$

CEksponentialmatrix

C.1 Eksponentialmatricen og dens egenskaber

C.2 Løsning af inhomogent system af differentialligninger

C.3 Putzer's metode

C.4 Eksempler på udregning af eksponentialmatrix

C.4.1 Resultater for 2\times 2 matricer

C.5 Asymptotisk opførsel for løsninger af differentialligninger

C.4.1 Resultater for $2\times 2$ matricer