5Determinanter

I dette kapitel vil vi definere determinanten, et tal $\det(A)$ for en generel $n\times n$ matrix $A$, som opfylder: $A$ er invertibel hvis og kun hvis $\det(A)\neq 0$. Fremstillingen er inspireret af Artin's legendariske algebrabog.

5.1 Definition

Vi definerer determinanten for en $1\times 1$ matrix som $\det (a) = a$ for derefter at definere determinanten $\det(A)$ for en $n\times n$ matrix $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} \tag{5.1}$$ induktivt ud fra formlen hvor $A_{ij}$ er $(n-1)\times (n-1)$ matricen, som fremkommer ved at slette $i$'te række og $j$'te søjle. Definitionen er ''induktiv'', fordi før vi kan beregne determinanten af en $n\times n$ matrix med formlen, så er vi nødt til at kunne beregne determinanten af $A_{i1}$, det vil sige determinanten af en $(n-1)\times (n-1)$ matrix. Vi kunne sådan set skrive en formel ned for determinanten som ikke er induktiv. Ulempen ved dette er at denne formel bliver meget lang.Hvis en matrix ikke er kvadratisk, altså for eksempel en $2\times 3$ matrix og den slags, definerer vi ikke dens determinantLæg mærke til fortegnsmønsteret $+-+-\cdots$ i (5.2). For en $2\times 2$ matrix ses ud fra (5.2) at $$\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}.$$ For $3\times 3$ matricer, det vil sige $n=3$ i (5.2), udleder vi en formel som ikke er induktiv på følgende måde: $$\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} &= a_{11} (a_{22} a_{33} - a_{32} a_{23}) - a_{21}(a_{12} a_{33} - a_{32} a_{13}) + a_{31}(a_{12} a_{23} - a_{22} a_{13})\\ &= a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12}a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32}. \end{aligned}$$ Det virker nu klart hvorfor man ikke har lyst til at gentage denne spøg for $4\times 4$ matricer (her er der hele $24$ led i formlen for determinanten. For $3\times 3$ matricer var der kun $6$). Formlen for determinanten vokser eksplosivt. For eksempel, for at beregne determinanten af en $10\times 10$ matrix består den tilsvarende formel af 3.628.800 termer, og alle dem gider vi ikke lægge sammen. Heldigvis er der langt hurtigere metoder til at udregne determinanten, men det kræver at vi kigger nærmere på dens egenskaber.

5.2 Egenskaber

Vi udleder her nogle helt fundamentale egenskaber for determinanten, specielt at den ikke ændrer sig ved addition af et multiplum af en række til en anden række. I det følgende betegner $A_1, \dots, A_n$ rækkerne i $n\times n$ matricen $A$.

5.2.1 Determinanten af identitetsmatricen

Ud fra definitionen (5.2), ses for identitetsmatricen $I_n$ at $$\det(I_n) = \det(I_{n-1}),$$ hvor $n>1$. Ud fra $\det(I_1) = 1$ sluttes altså generelt at $$\det(I_n) = 1.$$

5.2.2 Multiplikation af en række med et tal

Hvis en række multipliceres med et tal ganges determinanten med tallet: $$\det\begin{pmatrix} A_1 \\ \vdots \\ \lambda A_i \\ \vdots \\ A_n \end{pmatrix} = \lambda \det \begin{pmatrix} A_1 \\ \vdots \\ A_i \\ \vdots \\ A_n \end{pmatrix},$$ hvor $\lambda$ er et tal. For eksempel er $$\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 21 & 9 & 12\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 3\cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 7 & 3 & 4\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ Denne er påstand er rigtig for $n=1$. Ved at antage at den er rigtig for $(n-1)\times (n-1)$ matricer fås ved indsættelse i (5.2), at $$a_{11} \lambda \det(A_{11}) - \cdots + (-1)^{i+1} \lambda a_{i1} \det(A_{1i}) +\cdots + a_{n1} \lambda \det(A_{n1}) = \lambda \det(A),$$ hvilket viser påstanden for $n\times n$ matricer.Dette lille argument er et nyt simpelt eksempel på et induktionbevis.

5.2.3 Additivitet af rækker

Determinanten er additiv i rækkerne i den forstand at $$\det(B)= \det\begin{pmatrix} A_1 \\ \vdots \\ A_i + A'_i \\ \vdots \\ A_n \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} A_1 \\ \vdots \\ A_i \\ \vdots \\ A_n \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} A_1 \\ \vdots \\ A'_i \\ \vdots \\ A_n \end{pmatrix},$$ hvor $A'_i$ er en rækkevektor.For eksempel er $$\det \begin{pmatrix} 111 & 222 & 3333\\ 1+4 & 2+5 & 3+6\\ 777 & 888 & 999 \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 111 & 222 & 3333\\ 1 & 2 & 3\\ 777 & 888 & 999 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 111 & 222 & 3333\\ 4 & 5 & 6\\ 777 & 888 & 999 \end{pmatrix}.$$ Denne er påstand er rigtig for $n=1$. Ved at antage at den er rigtig for $(n-1)\times (n-1)$ matricer fås ved indsættelse i (5.2), at determinanten af den første matrix er $$\begin{aligned} \det(B)&=a_{11} (\det(A_{11}) + \det(A'_{11})) - \cdots + (-1)^ia_{(i-1)1} (\det(A_{(i-1)1}) + \det(A'_{(i-1)1}))\\ &+(-1)^{i+1} (a_{i1} + a'_{i1}) \det(A_{1i}) \\ &+(-1)^{i+2}a_{(i+1)1} (\det(A_{(i+1)1}) + \det(A'_{(i+1)1}))\cdots + (-1)^{n+1}a_{n1} (\det(A_{n1}) + \det(A'_ {n1}))\\ &= \det(A) + \det(A'), \end{aligned}$$ hvor $A'$ er matricen $A$ med $i$'te række udskiftet med rækken $A'_i$. For at producere det sidste lighedstegn i denne udregning har vi brugt at $A_{1i} = A'_{1i}$ og $a_{j1}=a_{j1}'$ for $j\neq i$. Dette viser påstanden for $n\times n$ matricer.Altså, et induktionbevis igen.

5.2.4 To ens naborækker

Hvis en matrix består af rækkerne $A_1, A_2, \dots, A_n$ og $A_i = A_{i+1}$ for et $i = 1, \dots, n-1,$ så er $\det(A) = 0$. Påstanden er korrekt for $2\times 2$ matricer. Ved at antage at den er rigtig for $m\times m$ matricer med $m<n$ fås ved indsættelse i (5.2), at $$\det(A) = (-1)^{i+1} a_{i1} \det(A_{i1}) + (-1)^{i+2} a_{i+1,1} \det(A_{i+1, 1}) = 0,$$ da $A_{i1} = A_{i+1,1}$ og $a_{i1} = a_{i+1, 1}$. Dermed er påstanden også korrekt for $n\times n$ matricer.

5.2.5 Naborækkeoperation

Resultatet i afsnit 5.2.4 medfører at $$\det\begin{pmatrix} A_1 \\ \vdots \\ A_i \\ A_{i+1} + \lambda A_i \\ \vdots \\ A_m \end{pmatrix} = \det(A) + \lambda \det\begin{pmatrix} A_1 \\ \vdots \\ A_i \\ A_i \\ \vdots \\ A_m \end{pmatrix} = \det(A),$$ hvor $\lambda$ er et tal.

5.2.6 Fortegnsskift ved ombytning af naborækker

Resultaterne i afsnit 5.2.2, 5.2.3 og 5.2.5 medfører at determinanten skifter fortegn, når man ombytter to naborækker: $$\det\begin{pmatrix} A_1 \\ \vdots \\ A_i \\ A_{i+1} \\ \vdots \\ A_m \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} A_1 \\ \vdots \\ A_i \\ A_{i+1} - A_i \\ \vdots \\ A_m \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} A_1 \\ \vdots \\ A_{i+1} \\ A_{i+1} - A_i \\ \vdots \\ A_m \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} A_1 \\ \vdots \\ A_{i+1} \\ -A_i \\ \vdots \\ A_m \end{pmatrix} = -\det\begin{pmatrix} A_1 \\ \vdots \\ A_{i+1} \\ A_i \\ \vdots \\ A_m \end{pmatrix}.$$

5.2.7 To ens rækker

Resultatet i afsnit 5.2.6 medfører følgende.Hvis en matrix har to ens rækker kan vi nemlig efter ombytning mellem naborækker opnå at disse to ens rækker er naborækker. Så følger resultatet af afsnit 5.2.4.

5.2.8 Rækkeoperation

På samme måde som i afsnit 5.2.5 medfører afsnit 5.2.7 nu at determinanten ikke ændres ved addition af et multiplum af en række til en anden række helt generelt: $$\det\begin{pmatrix} A_1 \\ \vdots \\ A_i \\ \vdots \\ A_j + \lambda A_i \\ \vdots \\ A_m \end{pmatrix} = \det(A) + \lambda \det\begin{pmatrix} A_1 \\ \vdots \\ A_i \\ \vdots \\ A_i \\ \vdots \\ A_m \end{pmatrix} = \det(A),$$ hvor $\lambda$ er et tal.

5.2.9 Ombytning af to rækker

På præcis samme måde som i afsnit 5.2.6 kan vi nu vise at $$\det\begin{pmatrix} A_1 \\ \vdots \\ A_i \\ \vdots \\ A_j \\ \vdots \\ A_m \end{pmatrix} = -\det\begin{pmatrix} A_1 \\ \vdots \\ A_j \\ \vdots \\ A_i \\ \vdots \\ A_m \end{pmatrix}.$$

5.3 Udregning af determinanten

Vi har nu udledt nok egenskaber ved determinanten til at angive en meget effektiv måde at regne den ud på. Vi følger ganske enkelt rækkeoperationerne på vej til dens RREF. De eneste rækkeoperationer, som ændrer determinanten er ombytning af rækker samt multiplikation af en række med et tal.Lad os se denne procedure i et par eksempler: $$\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 0,$$ idet en matrix med en nulrække har determinant $0$ (Se Opgave 5.10).I et andet eksempel har vi $$\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} &= - \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = - \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}\\ \\ &= - \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} = 2 \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 2 \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 2. \end{aligned}$$ I videoen nedenfor prøver vi kræfter med et lidt større eksempel og giver også en lille ekstra udfordring. Bevis

5.4 Determinanten af elementære matricer

I sidste kapitel introducerede vi tre typer elementære matricer $E_{ij}(\lambda), P_{ij}$ og $D_i(\lambda)$:

1. $E_{ij}(\lambda)$ betegner den elementære matrix, som fremkommer via identitetsmatricen af orden $n$ ved at gange $j$'te række med $\lambda$ og addere til $i$'te række. Denne matrix er lig identitetsmatricen med undtagelse af indgangen $\lambda$ der står i $i$'te række og $j$'te søjle.
2. $P_{ij}$ betegner matricen, som fremkommer ved at bytte rundt på $i$'te række og $j$'te række i identitetsmatricen af orden $n$.
3. $D_i(\lambda)$ betegne matricen, som fremkommer ved at gange $i$'te række i identitetsmatricen af orden $n$ med $\lambda\neq 0$.

Alle invertible matricer kan skrives som et produkt af disse. Ud fra determinantens egenskaber ovenfor ser vi at

1. $\det(E_{ij}(\lambda)) = 1.$
2. $\det(P_{ij}) = -1.$
3. $\det(D_i(\lambda)) = \lambda.$

Specielt ses at $$\det (E A) = \det(E) \det(A), \tag{5.3}$$ hvor $A$ er en vilkårlig $n\times n$ matrix og $E$ en elementær matrix. Dette leder frem til følgende. BevisEn anvendelse af Sætning 5.6 med $B = A^{-1}$ giver følgende resultat. Bevis

5.5 Polynomier af grad $n$ gennem $n+1$ punkter

Under brug af determinanter kan vi nu give et bevis for at der gennem $n+1$ punkter $$(x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)\in \mathbb{R}^2 \tag{5.4}$$ altid findes et og kun et polynomium $$f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n \tag{5.5}$$ af grad $n$, som går gennem punkterne forudsat at $x$-værdierne er forskellige det vil sige $x_i\neq x_j$ for $i\neq j$.At polynomiet (5.5) går gennem punkterne i (5.4) betyder at $f(x_i) = y_i$ for $i=0, \dots, n$. Denne betingelse kan oversættes til ligningssystemet $$\begin{matrix} a_0 &+ &a_1 x_0 &+ &a_2 x_0^2 &+ &\cdots &+ &a_n x_0^n &= &y_0\\ a_0 &+ &a_1 x_1 &+ &a_2 x_1^2 &+ &\cdots &+ &a_n x_1^n &= &y_1\\ &&&&&&&&&\vdots&\\ a_0 &+ &a_1 x_n &+ &a_2 x_n^2 &+ &\cdots &+ &a_n x_n^n &= &y_n \end{matrix} \tag{5.6}$$ med $n+1$ ligninger i de $n+1$ ubekendte $a_0, a_1, \dots, a_n$. Ligningssystemet (5.6) skrives op på matrixform som $$\begin{pmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \dots & x_0^n\\ 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0\\ a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}.$$ Matricen $$\begin{pmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \dots & x_0^n\\ 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^n \end{pmatrix} \tag{5.7}$$ kaldes Vandermonde matricen (efter Alexandre-Théophile Vandermonde) med hensyn til $x_0, x_1, \dots, x_n$. Man kan vise generelt at determinanten af Vandermonde matricen i (5.7) er $$(x_1 - x_0) (x_2 - x_0) (x_2 - x_1)(x_3 - x_0) (x_3 - x_1) (x_3 - x_2) \cdots (x_n - x_{n-1}). \tag{5.8}$$ Specielt er determinanten af Vandermonde matricen $\neq 0$ hvis og kun hvis $x$-erne er forskellige det vil sige $x_i\neq x_j$ for $i\neq j$.Ideen til beviset for formlen (5.8) kommer fra tilfældet $n=2$. Alt hvad man benytter er reglerne 5.2.8 og 5.2.2 samt Sætning 5.7: $$\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} 1 & x_0 & x_0^2\\ 1 & x_1 & x_1^2\\ 1 & x_2 & x_2^2 \end{pmatrix} &= \det \begin{pmatrix} 1 & x_0 & 0\\ 1 & x_1 & x_1^2 - x_0 x_1\\ 1 & x_2 & x_2^2 - x_0 x_2 \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & x_1 - x_0 & x_1^2 - x_0 x_1\\ 1 & x_2 - x_0 & x_2^2 - x_0 x_2 \end{pmatrix}\\ \\ &= \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & x_1 - x_0 & x_1^2 - x_0 x_1\\ 0 & x_2 - x_0 & x_2^2 - x_0 x_2 \end{pmatrix}\\ \\ & = (x_1-x_0) \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & x_1\\ 0 & x_2 - x_0 & x_2^2 - x_0 x_2 \end{pmatrix}\\ \\ &= (x_1-x_0) (x_2 - x_0) \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & x_1\\ 0 & 1 & x_2 \end{pmatrix} = (x_1 - x_0)(x_2 - x_0) (x_2 - x_1). \end{aligned}$$ Det generelle bevis for $x_0, x_1, \dots, x_n$ følger successivt det centrale trin i ovenstående tilfælde gennem $n$ søjleoperationer ud fra første række. Se opgave 5.14.I tilfældet med forskellige $x$-værdier er determinanten af Vandermonde matricen $\neq 0$. Dermed er den invertibel ifølge Sætning 5.5 og ligningsystemet (5.6) har en og kun en løsning. Derfor er der præcis et polynomium, som går gennem punkterne. Man kan selvfølgelig bare gå i krig og regne på løsninger til (5.6), men matematikkens styrke er beviset for den helt generelle sætning. Matematikken viser at der er noget unikt at lede efter og regne på.

5.6 Opgaver