0Indledning

Dette materiale er en bearbejdning af noter som oprindeligt er kodet, skrevet og brugt af Niels Lauritzen. Det er også Niels stemme man vil kunne høre i flere af videoerne i noterne. Lineær algebra indgår som en af grundstenene for matematisk modellering i naturvidenskabelige fag, og er hovedingrediensen i videnskabelige beregninger, eksempelvis i finite element metoder til numerisk løsning af differentialligninger. Det er også grundstenen for teoretiske overvejelser inden for matematisk analyse, fysik og signalbehandling i datalogi, hvor vi begynder at bevæge os fra endelig dimensionelle problemer til uendelig dimensionelle. På trods af dette er meget af terminologien og mange af metoderne de samme.Der findes mange bøger om lineær algebra, og de fleste af dem er udmærkede. I Aarhus har man på forskellige tidspunkter brugt Nielsen og Salomonsen ''Lineær algebra via eksempler'', Leon ''Linear algebra with applications'' og du Plessis ''Forelæsningsnoter i lineær algebra''. I København bruger man Hesselholt og Wahl ''Lineær algebra''. Hvis i kigger i nogle af disse, eller i andre lignende kilder, tager i sikkert ikke varig skade af det.

0.1 Om definitioner og sætninger

Teorien i materialet er skrevet i form af ''definitioner'' og ''sætninger'', hvorefter der typisk vil være eksempler der illustrerer brugen af dem. Definitioner er vores måde at navngive begreber, som eksempelvis hvad er et ''heltal'' eller hvad er et ''komplekst tal''; der er altså ikke tale om et resultat der kræver et matematisk bevis, men en forklaring af hvad et nyt begreb betyder. Sætninger er matematiske resultater, hvis sandhed bevises ud fra definitioner og aksiomer, og andre kendte resultater. Når opgaverne løses er det en god øvelse at indse hvilke definitioner og sætninger man gør brug af, og at lave præcise henvisninger til disse, så det er tydeligt hvad fremgangsmåden er. Dette forventes både til afleveringerne og til eksamen. Man vil også støde på andre varianter af ''sætning'', såsom ''lemma'' eller ''proposition''. Det er matematikeres måde at rangere resultater på, hvor ''lemma'' henviser til et delresultat der hovedsagligt har til formål at vise en sætning, og ''proposition'' er et resultat som ikke anses som vigtigt nok til at blive kaldt en sætning.

0.2 Om beviser

Formålet med dette kursus er at lære at bruge lineær algebra. Som matematiker gør man rede for hvorfor de metoder vi anbefaler rent faktisk virker. Det gøres i beviser, som er matematikeres måde at overbevise tvivlere. Men i dette kursus er vores hovedformål ikke at gøre rede for alle detaljer i argumenterne. Derfor er vi gået med til det kompromis at vi giver de matematisk korrekte argumenter, men vi skjuler dem.BevisHensigten er at beviserne skal være skrevet ud i alle detaljer. På den ene side betyder det at man bør kunne arbejde sig igennem hvert enkelt argument, og forstå hvorfor de forskellige påstande er sande. På den anden side gør det at nogle af argumenterne fylder meget, og kunne overskygge eksemplerne i noterne, hvis ikke de blev skjult.Hvis I ønsker at få den fulde sandhed at vide, må I altså meget gerne klikke på knapperne som er spredt ud over teksten og er markeret ''bevis'' eller lignende. Selvom disse beviser ikke er del af pensum, er der alligevel tre gode grunde til at studere nogle af dem. Den første grund er at det giver en meget bedre forståelse af stoffet. Den anden grund er at de fleste af beviserne er gode og ikke alt for vanskelige øvelser i at bruge teorien; det kan faktisk være mindst lige så godt at studere et bevis som at regne en numerisk opgave. Den tredje grund er at beviserne øver i at læse en matematisk tekst, og derved også hvordan man skriver matematik. Beviserne i disse noter minder meget om tankegangen i andre matematiske artikler og bøger, men ambitionen er at de skal være mere udførlige end hvad man normalt finder i sådanne tekster.Et par af beviserne er relativt indviklede, og går udover hvad man forventer af en ''øvelse''.Bevis*Selv hvis I aldrig læser et eneste bevis, så husk på at det her er ikke et rent regnekursus. I fremtiden er risikoen relativ stor for at I kommer ud for at løse ligninger eller for at på anden måde bruge lineær algebra. Da vil I ikke sidde ned ved et bord og løse ligninger i hånden på et stykke papir, men selvfølgelig vil I fodre en computer med ligningerne. Det ville vi også gøre. De udregninger vi laver her er primært øvelser for at lære at fortolke de resultater som en maskine ville kunne give. Det nytter ikke meget at man ejer en computer som kan beregne egenvektorer, hvis man ikke er klar over hvad en egenvektor er, og hvad de kan bruges til. Teorien bygger på en abstrakt begrebsdannelse som er vigtig selvom man kun interesserer sig for anvendelser. I har lov til at stole på vores beviser, men I skal lære at forstå de begreber vi kommer til at arbejde med. Og erfaringen siger at den bedste måde at lære at forstå disse begreber, er ved at løse konkrete opgaver med udregninger i hånden.

0.3 Annoteringssystem for noterne

Det er muligt at bruge et annoteringssystemet i noterne til at stille spørgsmål direkte i teksten. Den nøjagtige fremgangsmåde er forklaret af Niels i denne video: