7Basisskifte og lineære transformationer

I dette kapitel skal vi undersøge hvordan lineære funktioner mellem vektorrum (lineære transformationer) kan beskrives ved matricer, samt hvordan valg af basis kan bruges til at give forskellige matrixrepræsentationer; nogle pænere end andre. Eksempelvis repræsenterer matricerne

$\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 24 & -12 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{og} \quad \begin{pmatrix} 2 & & & \\ & 2 & & \\ & & -2 & \\ & & & -2 \end{pmatrix}$ den samme underliggende lineære transformation. Heraf er det klart at foretrække diagonalmatricen. Den første matrixrepræsentation har brugt standard basen for $\mathbb{R}^4$ , mens den anden har gjort brug af basen

$\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}.$

I Kapitlerne 8, 11 og 12 skal vi se hvordan man kan vælge ''optimale'' baser, så vi får diagonalmatricer.

Inden vi kommer så langt, og inden vi definerer lineære transformationer og deres matrixrepræsentationer, så skal vi se hvordan vi kan lave basisskifte.

7.1 Basisskifte

Forskellige baser for det samme vektorrum $V$ kan bruges til at beskrive vektorer $\mathbf w\in V$ . Vi kunne have to baser i spil, $B_1 = \{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\}$ og $B_2 = \{\mathbf u_1,\dots,\mathbf u_n\},$ og vi husker at for hver basis så vil $\mathbf w$ have en koordinatvektor, som beskriver $\mathbf w$ gennem linearkombinationer af basisvektorerne:

$\begin{aligned} \mathbf w &= x_1\mathbf v_1 + \dots + x_n\mathbf v_n \\ &= y_1\mathbf u_1 + \dots + y_n\mathbf u_n. \end{aligned}\tag{7.1}$ Her har vi koordinatvektorerne $[\mathbf w]_{B_1} = (x_1,\dots,x_n)^T$ og $[\mathbf w]_{B_2} = (y_1,\dots,y_n)^T$ med hensyn til baserne $B_1$ og $B_2$ . Selv når man har abstrakte vektorrum, så vil koordinatvektorerne være søjlevektorer med tal i $\mathbb{F}$ , så selvom vi i dette kursus mest ser på underrum af $\mathbb{F}^n$ , så er princippet det samme for eksempelvis vektorrum af polynomier: Det vigtigste at tage med herfra, er at når vi regner med baser er der altid tale om regning på koordinatvektorer.

Eksempel fra Wikipedia på en vektor $\mathbf v\in\mathbb{R}^2$ beskrevet ved standard basen og en anden basis $\{\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2\}$ .

Vi ønsker nu en måde at komme fra koordinatvektoren $[\mathbf w]_{B_1}$ og til koordinatvektoren $[\mathbf w]_{B_2}$ , og her kommer basisskiftematricen i spil. Skift af basis er faktisk helt essentielt for anvendelser (Kapitel 12).

Lad $B_1 = \{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\}$ og $B_2 = \{\mathbf u_1,\dots,\mathbf u_n\}$ være to baser for et vektorrum $V$ . Basisskiftmatricen fra $B_1$ til $B_2$ er $n\times n$ matricen $T$ givet ved

$T = ([\mathbf v_1]_{B_2},[\mathbf v_2]_{B_2},\dots, [\mathbf v_n]_{B_2}).$ Det er altså matricen hvis søjler er koordinatvektorerne for basen $B_1$ med hensyn til basen $B_2$ .

Nu har vi defineret en matrix som vi kalder basisskiftematricen, men navnet giver først mening når vi tager den i brug.

Basisskiftematricen $T$ fra Definition 7.1 er den entydige matrix der opfylder
$[\mathbf w]_{B_2} = T[\mathbf w]_{B_1}, \tag{7.2}$ for enhver vektor $\mathbf w\in V$ .
Matricen $T$ er invertibel, og $T^{-1}$ er basisskiftematricen fra $B_2$ til $B_1$ .
Hvis $V\subseteq\mathbb{F}^p$ (så $n\leq p$ ), kan vi skrive $B_1 = (\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n)$ og $B_2 = (\mathbf u_1,\dots,\mathbf u_n)$ som matricer. Så kan $T$ bestemmes ved $n\times n$ matricen i øverste højre hjørne af RREF fra følgende totalmatrix
$(B_2|B_1) \sim \left(\begin{array}{c|c} I_n & T \\ \mathbf 0 & \mathbf 0 \end{array}\right) \tag{7.3}$ hvor antal nulrækker i RREF er $p-n$ .
Hvis $V = \mathbb{F}^n$ kan $T$ findes ved
$T = B_2^{-1}B_1. \tag{7.4}$

Bevis*

Vi starter med entydigheden. Antag at der er to matricer $T_1$ og $T_2$ der opfylder (7.2). Så har vi at $(T_1-T_2)\mathbf x = \mathbf 0$ for alle $\mathbf x$ , hvilket kun opfyldes af nulmatricen, så $T_1 = T_2$ .

Vi udtrykker basisvektorerne i $B_1$ via basisvektorerne i $B_2$ :

$\begin{aligned} \mathbf v_1 = a_{11} \mathbf u_1 &+ \cdots + a_ {n1} \mathbf u_n\\ &\vdots \\ \mathbf v_n = a_{1n} \mathbf u_1 &+ \cdots + a_{nn} \mathbf u_n. \end{aligned}\tag{7.5}$ Så er $T = (a_{ij})$ . Vi sætter derefter (7.5) ind i (7.1):

$\begin{aligned} \mathbf w = x_1 (a_{11} \mathbf u_1 &+ \cdots + a_ {n1} \mathbf u_n) + \\ &\vdots\\ \phantom{=} x_n (a_{1n} \mathbf u_1 &+ \cdots + a_{nn} \mathbf u_n). \end{aligned}\tag{7.6}$

Ved nu at samle bidragene fra hver $\mathbf u_j$ -vektor i (7.6) får vi koordinaterne for $\mathbf w$ i basen $B_2$ som

$\begin{aligned} \mathbf w= (a_ {11} x_1 &+ \cdots + a_{1n} x_n) \mathbf u_1 + \\ &\vdots \\ (a_{n1} x_1 &+ \cdots + a_{nn} x_n) \mathbf u_n. \end{aligned}$ Hvis vi skriver $\mathbf y=T\mathbf x$ , så at $y_j=a_{j1}x_1+a_{j2}x_2+\cdots+a_{jn}x_n$ , får vi altså

$\mathbf w=y_1\mathbf u_1+y_2\mathbf u_2+\cdots+y_n\mathbf u_n.$ Herved ses at matrixmultiplikationen giver koordinaterne for $\mathbf w$ i basen $B_2$ , da koordinatvektorer er entydigt bestemt.

Lad $\widetilde{T}$ være basisskiftematricen fra $B_2$ til $B_1$ , så er det klart at vi har $T\widetilde{T} = \widetilde{T}T = I_n$ . Derved er $T$ invertibel og $\widetilde{T} = T^{-1}$ .

Hvis $V$ er vektorrum af søjlevektorer, og vi lader $B_1$ og $B_2$ være $n\times n$ matricer med basisvektorerne som søjler, kan vi bestemme koordinatvektorerne $[\mathbf v_1]_{B_2},\dots,[\mathbf v_n]_{B_2}$ ved at løse ligningssystemerne

$B_2\mathbf x = \mathbf v_j,$ for hvert $j=1,\dots,n$ . Disse ligningssystemer løses samlet ved hjælp af (7.3). Da $T$ er entydigt bestemt får man en RREF på den angivne form.

Hvis $V=\mathbb{F}^n$ så er $B_2$ invertibel. Matricen består nemlig af $n$ lineært uafhængige søjler, så dets nulrum er trivielt, og ved RREF fås identitetsmatricen $I_n.$ Nu er (7.3) det samme som $T = B_2^{-1}B_1$ .

Som navnet antyder, er det matricen som overfører koordinaterne for $\mathbf w$ fra basis $B_1$ til basis $B_2$ .

Vi ser især, at hvis $V=\mathbb{F}^n$ og vi går fra en basis $B$ til standard basen (svarer til identitetsmatricen $I_n),$ så er $B$ basisskiftematricen. Omvendt hvis vi går fra standard basen til basis $B$ er $B^{-1}$ basisskiftematricen.

Det betaler sig at se et helt konkret eksempel på anvendelsen af Proposition 7.2. Lad

$B_1 = \left\{\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}\qquad \text{og}\qquad B_2 = \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}$ være to baser for $\mathbb{R}^2$ . Eller skrevet på matrixform:

$B_1 = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\qquad \text{og}\qquad B_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.$ Vi kan udregne basisskiftematricen $T$ fra $B_1$ til $B_2$ ved brug af (7.4):

$T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -7 & -3 \end{pmatrix}.$

Lad os tage en konkret vektor

$\mathbf w = 2\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} - 4 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}. \tag{7.7}$ Så er koordinatvektoren med hensyn til $B_1$ givet ved $[\mathbf w]_{B_1} = (2,-4)^T$ . Vi kunne også have fundet koordinatvektoren som løsning til $B_1\mathbf x = \mathbf w$ . Nu kan vi let finde koordinater med hensyn til $B_2$ , blot ved at gange med $T$ :

$[\mathbf w]_{B_2} = T[\mathbf w]_{B_1} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -7 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}.$ Vi kan tjekke efter, ved at opskrive linearkombinationen i basis $B_2$ , og se om vi får vektoren $\mathbf w$ fra (7.7):

$\mathbf w = B_2[\mathbf w]_{B_2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$

Hvis koordinaterne i basen

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\quad{\text{og}}\quad \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ til en vektor er $(2, -1)$ , hvad gælder så om koordinaterne $(\lambda_1, \lambda_2)$ til vektoren i basen

$\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}\quad{\text{og}}\quad \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \end{pmatrix}?$

$\lambda_1 < 0$ .

$\lambda_2 < 0$ .

$\lambda_1 + \lambda_2 = 1$

7.2 Lineære transformationer

Nu skal vi se på nogle afbildninger (funktioner) mellem vektorrum, som har nogle af de samme egenskaber som matricer. Hvis $U$ og $V$ er vektorrum, så bruger vi notationen $F : U\to V$ til at fortælle at $F$ er en funktion med definitionsmængde $U$ og med funktionsværdier i $V$ . Eksempelvis kunne vi have $U = \mathbb{R}^2$ og $V = \mathbb{R}^3$ som indikerer at funktionen $F : \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$ afbilder punkter i planen til punkter i rummet. $F$ kunne her eksempelvis have forskriften

$F(x,y) = \begin{pmatrix} x-y \\ x \\ 2x+3y \end{pmatrix}.$ Så vil $F(1,0) = (1,1,2)^T$ , $F(0,1) = (-1,0,3)^T$ , $F(2,2) = (0,2,10)^T$ og så videre. Selv hvis definitionsmængden er søjlevektorer, her $\mathbb{R}^2$ , så vil vi af notationsmæssige årsager stadig skrive enten $F(x,y)$ eller $F(\mathbf u)$ for $\mathbf u\in \mathbb{R}^2$ i stedet for $F((x,y)^T)$ .

Vi er særligt interesserede i afbildninder der er lineære.

Lad $F:U\to V$ hvor $U$ og $V$ er vektorrum over $\mathbb{F}$ . Så kaldes $F$ en lineær transformation hvis for alle $\mathbf u,\mathbf v\in U$ og $\lambda\in\mathbb{F}$ der gælder

$F(\mathbf u+\mathbf v) = F(\mathbf u) + F(\mathbf v),$
$F(\lambda\mathbf u) = \lambda F(\mathbf u).$

Det første vi bemærker, er at egenskaberne for $F$ i Definition 7.5 er noget vi kender fra matrixregning. Specifikt hvis $A$ er en $m\times n$ matrix med tal i $\mathbb{F}$ , så er funktionen $F(\mathbf u) = A\mathbf u$ en lineær transformation $F : \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m$ . Det er faktisk ganske almindelig notation at skrive $F\mathbf u$ i stedet for $F(\mathbf u)$ , på samme måde som med en matrix.

Men der er også andre vektorrum man kan have i spil. For eksempel, lad $\mathbb{P}_n$ være vektorrummet af reelle polynomier af grad højst $n$ , det vil sige funktioner på formen

$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0,$ for koefficienter $a_n,\dots,a_0\in\mathbb{R}$ . Vi ved hvordan et polynomium differentieres:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}p(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \dots + a_1,$ og giver et polynomium af en grad lavere. Differentialkvotienten $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} : \mathbb{P}_n\to\mathbb{P}_{n-1}$ er en lineær transformation, og linearitetsegenskaberne $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(p_1+p_2) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}p_1 + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}p_2$ og $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\lambda p) = \lambda \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}p$ kender vi fra calculus.

For at kunne bruge al vores viden fra matrixregning og løsning af lineære ligningssystemer i praksis, er det ofte nødvendigt at repræsentere lineære transformationer $F$ som matricer $A$ . Her kan $F$ eksempelvis være afbildninger mellem funktionsrum der beskriver systemer inden for fysik og kemi. Beregninger på disse systemer approksimeres ofte med stykvise polynomier i såkaldte finite element metoder, og ved at bruge polynomielle baser kan man beskrive avancerede modeller ved hjælp af matricer.

Det er ekstremt vigtigt at bemærke at en lineær transformation $F: U\rightarrow V$ er entydigt bestemt ud fra dens værdier

$F(\mathbf u_1), \dots, F(\mathbf u_n)$ på en basis $B_U = \{\mathbf u_1, \dots, \mathbf u_n\}$ for $U$ . Hvis vi kalder koordinaterne for $\mathbf u\in U$ for $[\mathbf u]_{B_U} = (x_1,\dots,x_n)^T$ følger dette ved at bruge linearitetsegenskaberne i Definition 7.5:

$\begin{aligned} F(\mathbf u) &= F(x_1 \mathbf u_1 + \dots + x_n \mathbf u_n)\\ &= F(x_1 \mathbf u_1) + \dots + F(x_n \mathbf u_n)\\ &= x_1 F(\mathbf u_1) + \dots + x_n F(\mathbf u_n). \end{aligned}$ Hvis man også har en basis $B_V$ for $V$ , og ved hvordan man kommer fra koordinatvektoren $[\mathbf u]_{B_U}$ til koordinatvektoren $[F(\mathbf u)]_{B_V}$ for enhver vektor $\mathbf u\in U$ , så har man en fuld beskrivelse af $F$ givet ved hjælp af koordinatvektorer.

Lad os tage en quiz i at undersøge om en afbildning er en lineær transformation.

Hvilke af nedenstående påstande er rigtige?

Afbildningen $F: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ givet ved $F(x) = x + 1$ er en lineær transformation.

Afbildningen $F: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ givet ved $F(x) = x^2$ er en lineær transformation.

Afbildningen $F: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ givet ved $F(x) = 2 x$ er en lineær transformation.

Afbildningen $F: \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$ givet ved $F(x, y) = (x + y, x -y)$ er en lineær transformation.

7.2.1 Repræsentation ved en matrix

Nu kommer vi til et meget centralt punkt i disse noter: sammenhængen mellem matricer og lineære afbildninger. Vi vil gerne kunne sige at ''en lineær afbildning er det samme som en matrix'', og det er ikke helt forkert, men det er heller ikke helt rigtigt, og for at komme videre er man nødt til at forstå hvorfor. Den lille, men vigtige, forskel er at vi har brug for at vælge baser!

Lad $F : U\to V$ være en lineær transformation mellem vektorrum $U$ og $V$ . Hvis $B_U = \{\mathbf u_1,\dots,\mathbf u_n\}$ er en basis for $U$ og $B_V = \{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_m\}$ er en basis for $V$ , så kaldes $m\times n$ matricen

$A = ([F(\mathbf u_1)]_{B_V},\dots,[F(\mathbf u_n)]_{B_V}) \tag{7.8}$ for matrixrepræsentationen af $F$ med hensyn til $B_U$ og $B_V$ . Det er altså matricen hvis søjler er koordinatvektorerne for $F(\mathbf u_1),\dots,F(\mathbf u_n)$ med hensyn til basen $B_V$ .

Ligesom med basisskiftematricen, så er Definition 7.7 bare definitionen på en matrix. Navnet kommer fra dens egenskaber.

Matricen $A$ fra Definition 7.7 er den entydige matrix der opfylder
$[F(\mathbf u)]_{B_V} = A[\mathbf u]_{B_U},$ for enhver vektor $\mathbf u\in U$ .
Hvis $U\subseteq\mathbb{F}^q$ og $V\subseteq \mathbb{F}^p$ (så $n\leq q$ og $m\leq p$ ), kan vi opskrive $B_V = (\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_m)$ som en $p\times m$ matrix. Hvis vi kalder $F(B_U)$ for $p\times n$ matricen $(F(\mathbf u_1),\dots,F(\mathbf u_n))$ , så kan $A$ bestemmes ved $m\times n$ matricen i øverste højre hjørne af RREF fra følgende totalmatrix
$(B_V|F(B_U)) \sim \left(\begin{array}{c|c} I_m & A \\ \mathbf 0 & \mathbf 0 \end{array}\right), \tag{7.9}$ hvor antal nulrækker i RREF er $p-m$ .
Hvis $U\subseteq\mathbb{F}^q$ og $V = \mathbb{F}^m$ , kan $A$ findes ved
$A = B_V^{-1}F(B_U). \tag{7.10}$

Bevis*

Entydigheden vises på samme måde som i beviset for Proposition 7.2.

Første del af beviset er næsten det samme, som vi så i beviset af Proposition 7.2. Vi udtrykker $F(\mathbf u_1),\dots,F(\mathbf u_n)$ via basisvektorerne i $B_V$ :

$\begin{aligned} F(\mathbf u_1) = a_{11} \mathbf v_1 &+ \dots + a_ {m1} \mathbf v_m\\ &\vdots \\ F(\mathbf u_n) = a_{1n} \mathbf v_1 &+ \dots + a_{mn} \mathbf v_m. \end{aligned}\tag{7.11}$ Så er $A = (a_{ij})$ . Lad nu $\mathbf u\in U$ , så har vi også for $[\mathbf u]_{B_U} = (x_1,\dots,x_n)^T$ og ved brug af linearitet:

$\begin{aligned} \mathbf u &= x_1\mathbf u_1 + \dots + x_n\mathbf u_n, \\ F(\mathbf u) &= x_1F(\mathbf u_1) + \dots + x_nF(\mathbf u_n). \end{aligned}\tag{7.12}$ Vi sætter derefter (7.11) ind i (7.12):

$\begin{aligned} F(\mathbf u) = x_1 (a_{11} \mathbf v_1 &+ \dots + a_ {m1} \mathbf v_m) + \\ &\vdots\\ \phantom{=} x_n (a_{1n} \mathbf v_1 &+ \dots + a_{mn} \mathbf v_m). \end{aligned}\tag{7.13}$ Ved nu at samle bidragene fra hver $\mathbf v_j$ -vektor i (7.13) får vi koordinaterne for $F(\mathbf u)$ i basen $B_V$ som

$\begin{aligned} F(\mathbf u)= (a_ {11} x_1 &+ \cdots + a_{1n} x_n) \mathbf v_1 + \\ &\vdots \\ (a_{m1} x_1 &+ \cdots + a_{mn} x_n) \mathbf v_m. \end{aligned}$ Hvis vi skriver $\mathbf y=A\mathbf x$ , så at $y_j=a_{j1}x_1+a_{j2}x_2+\dots+a_{jn}x_n$ , får vi altså

$F(\mathbf u)=y_1\mathbf v_1+y_2\mathbf v_2+\dots+y_n\mathbf v_n.$ Herved ses at matrixmultiplikationen giver koordinaterne for $F(\mathbf u)$ i basen $B_V$ , da koordinatvektorer er entydigt bestemt.

Hvis $U$ og $V$ er vektorrum af søjlevektorer, kan vi bestemme koordinatvektorerne $[F(\mathbf u_1)]_{B_V},\dots,[F(\mathbf u_n)]_{B_V}$ ved at løse ligningssystemerne

$B_V\mathbf x = F(\mathbf u_j), \tag{7.14}$ for hvert $j=1,\dots,n$ . Ved at samle matricen $F(B_U) = (F(\mathbf u_1),\dots,F(\mathbf u_n))$ kan disse ligningssystemer løses samlet ved hjælp af (7.9).

Hvis $V$ er et ægte underrum, eksempelvis et to-dimensionelt underrum af $\mathbb{R}^3$ , vil matricen for $B_V$ ikke være kvadratisk. Dog ved vi at der altid eksisterer en entydig løsning til systemerne (7.14) da $F(\mathbf u_1),\dots,F(\mathbf u_n)\in V$ , samt at koordinatvektorer i en basis altid eksisterer og er entydigt bestemt.

Nedenfor er en forelæsning fra 2012 med forklaring af matrixrepræsentationer af lineære transformationer med ekstern bistand.

Igen er det strengt nødvendigt at se dette anvendt på konkrete eksempler.

Lad $U = \mathbb{R}^2$ med basis $B_U = \{\mathbf u_1,\mathbf u_2\}$ givet ved

$\mathbf u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \text{og} \qquad \mathbf u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.$ Og lad $V = \mathrm{span}\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}$ med basis $B_V = \{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}$ givet ved

$\mathbf v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \text{og} \qquad \mathbf v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.$ Bemærk at $V$ er et to-dimensionelt underrum af $\mathbb{R}^3$ . Nu ønsker vi at finde en matrixrepræsentation for $F : U\to V$ givet ved

$F(x,y) = \begin{pmatrix} 3x \\ 3x-2y \\ -2y \end{pmatrix}$ med hensyn til baserne $B_U$ og $B_V$ . Tjek gerne på nuværende tidspunkt at $F(\mathbf u)$ giver en vektor i $V$ for hvert $\mathbf u\in\mathbb{R}^2$ , samt at $F$ er en lineær transformation.

Først finder vi $F(\mathbf u_1)$ og $F(\mathbf u_2)$ :

$F(\mathbf u_1) = F(1,1) = \begin{pmatrix} 3\\1\\-2 \end{pmatrix} \qquad \text{og} \qquad F(\mathbf u_2) = F(1,-1) = \begin{pmatrix} 3\\5\\2 \end{pmatrix}.$ Vi kan nu samle matricerne $B_V = (\mathbf v_1,\mathbf v_2)$ og $F(B_U) = (F(\mathbf u_1),F(\mathbf u_2))$ og anvende (7.9):

$(B_V | F(B_U)) = \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & -2 & 2 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).$ Vi ved nu at matrixrepræsentationen $A$ er givet ved $2\times 2$ matricen øverst til højre i RREF (det vil nemlig være en $\dim(V)\times\dim(U)$ matrix):

$A = \begin{pmatrix} 3 & 3\\ -2 & 2 \end{pmatrix}.$ Vi kan altid lave et tjek, for at se om vi har regnet rigtigt. Vi tager en konkret vektor i brug:

$\mathbf u = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \mathbf u_1 + \mathbf u_2 \qquad \text{og} \qquad F(\mathbf u) = F(2,0) = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} = 6\mathbf v_1 + 0\mathbf v_2.$ Der er derfor koordinatvektorer $[\mathbf u]_{B_U} = (1,1)^T$ og $[F(\mathbf u)]_{B_V} = (6,0)^T$ , hvilket heldigvis er helt i overensstemmelse med matrixrepræsentationen $A$ og Proposition 7.8:

$[F(\mathbf u)]_{B_V} = A[\mathbf u]_{B_U} = \begin{pmatrix} 3 & 3\\ -2 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}.$

Antag at den lineære transformation $F: U \rightarrow V$ , hvor $U = \mathbb{R}^2$ og $V = \mathbb{R}^2$ er givet ved

$F(x,y) = \begin{pmatrix} x + y \\ x - y \end{pmatrix}.$ Hvad er matricen som repræsenterer $F$ med hensyn til

$B_U = B_V = \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}?$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$

$\begin{pmatrix} 1 & {1} \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$

En helt konkret anvendelse af resultatet ovenfor er gennemgået i nedenstående video.

I diskussionen efter Definition 7.5 var $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ et eksempel på en lineær transformation mellem vektorrum af polynomier, f.eks. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} : \mathbb{P}_2\to \mathbb{P}_1$ . Vi kan udstyre $\mathbb{P}_2$ med basen bestående af polynomierne $B_U = \{x^2,x,1\}$ og $\mathbb{P}_1$ med basen $B_V = \{x,1\}$ ; prøv at overveje hvorfor disse rent faktisk er baser.

Koordinatvektoren for $p(x) = a_2x^2+ a_1x+a_0$ er $[p]_{B_U} = (a_2,a_1,a_0)^T$ , mens for $q(x) = b_1x+b_0$ er $[q]_{B_V} = (b_1,b_0)^T$ .

Differentiationen af $p$ viser at

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}p(x) = 2a_2x + a_1.$ Vi ser at $[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2]_{B_V} = [2x]_{B_V} = (2,0)^T$ . Tilsvarende er $[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x]_{B_V} = (0,1)^T$ og $[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}1]_{B_V} = (0,0)^T$ . Vi kan derfor repræsentere $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} : \mathbb{P}_2\to \mathbb{P}_1$ med matricen

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},$ svarende til at

$\Bigl[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}p\Bigr]_{B_V} = A[p]_{B_U}.$ Lad os differentiere $4x^2 + 2x - 1$ ved hjælp af matrix-vektor multiplikation:

$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix}$ hvilket fra basen $B_V$ giver polynomiet $8x+2$ .

Dette er naturligvis en meget simpel anvendelse af en matrixrepræsentation, og det bliver mere interessant når disse indgår i ligningssystemer.

Prøv at gennemgå eksemplet ovenfor, men hvor vi ser på den lineære transformation $F : \mathbb{P}_2 \to \mathbb{P}_3$ med $F = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} + x$ , svarende til

$F(p) = \Bigl(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} + x\Bigr)(a_2x^2+a_1x+a_0) = a_2x^3 + a_1x^2 + (2a_2+a_0)x + a_1.$ Vis at matrixrepræsentationen af $F$ i baserne $\{x^2,x,1\}$ og $\{x^3,x^2,x,1\}$ er

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$ Hvis man i stedet bruger baserne $\{x^2+2x-3,x-1,2\}$ og $\{x^3,x^2,x,1\}$ får man

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$

7.3 Sammensætning af lineære transformationer

Når man har matrixrepræsentationer vil man ofte gerne blive ved med at anvende disse til udregninger, da det ofte er lettere at regne på matricer. Vi skal nu se, at matrixmultiplikation svarer til at sammensætte to lineære transformationer.

Det sker at vi har tre vektorrum $U,V,W$ og to lineære transformationer $G:U\to V$ og $F:V\to W$ . Så kan vi definere en sammensat lineær transformation $F\circ G$ ved

$F\circ G(\mathbf u)=F(G(\mathbf u)).$

Lad $F : \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ og $G : \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$ være givet ved

$F(x,y,z) = \begin{pmatrix} x+y \\ z-y \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}}_{A_F}\begin{pmatrix} x \\y \\ z \end{pmatrix}$ og

$G(a,b) = \begin{pmatrix} a\\a+b\\2a-3b \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}}_{A_G}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}.$ Her er $A_F$ og $A_G$ matrixrepræsentationerne for $F$ og $G$ i standard baserne.

Vi kan nu finde tilsvarende matrixrepræsentationer for $F\circ G : \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ og $G\circ F : \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ :

$\begin{aligned} F\circ G(a,b) &= F(G(a,b)) = F(a,a+b,2a-3b) \\ &= \begin{pmatrix} 2a+b \\ a-4b \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}}_{A_{F\circ G}}\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}, \\ G\circ F(x,y,z) &= G(F(x,y,z)) = G(x+y,z-y) \\ &= \begin{pmatrix} x+y \\x+z\\2x+5y-3z \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & -3 \end{pmatrix}}_{A_{G\circ F}}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}. \end{aligned}$ Tilsvarende har vi matrixrepræsentationerne $A_{F\circ G}$ og $A_{G\circ F}$ for $F\circ G$ og $G\circ F$ i standard baserne. Det finurlige er nu, at $A_{F\circ G} = A_FA_G$ og $A_{G\circ F} = A_GA_F$ .

Denne sammenhæng er ikke tilfældig, og vi behøvede heller ikke at anvende standard baser for at det går op. Så længe at samme basis bruges på $\mathbb{R}^3$ i matrixrepræsentationerne $A_F$ og $A_G$ får man $A_{F\circ G} = A_FA_G$ , og hvis samme basis bruges på $\mathbb{R}^2$ fås $A_{G\circ F} = A_GA_F$ . Dette resultat er givet nedenfor.

Lad $U,V,W$ være vektorrum med baser $B_U,B_V,B_W$ . Lad $G:U\to V$ og $F:V\to W$ være lineære transformationer. Hvis $A_G$ er matrixrepræsentationen for $G$ i baserne $B_U$ og $B_V$ , samt $A_F$ er matrixrepræsentationen af $F$ i baserne $B_V$ og $B_W$ , så er

$A_{F\circ G} = A_FA_G$ matrixrepræsentationen af $F\circ G : U\to W$ i baserne $B_U$ og $B_W$ .

Bevis

Vi regner i koordinater. Lad $\mathbf u\in U$ , så er $F\circ G(\mathbf u) = F(G(\mathbf u))$ , og vi har

$[G(\mathbf u)]_{B_V} = A_G[\mathbf u]_{B_U},$ og

$[F(G(\mathbf u))]_{B_W} = A_F[G(\mathbf u)]_{B_V} = A_FA_G[\mathbf u]_{B_U}.$ Dermed har vi at $A_FA_G$ er matrixrepræsentationen af $F\circ G$ i baserne $B_U$ og $B_W$ .

Dette forklarer faktisk meget fint, hvorfor matrixmultiplikationen er defineret som den er. Det hele handler om repræsentationer af lineære transformationer og at kunne sammensætte disse. Dette gør det også mere klart at den associative lov gælder for matrixprodukter, $(AB)C = A(BC)$ , da dette er sandt for sammensætning af afbildninger.

Vi skal naturligvis også se, hvordan man skifter mellem baser i matrixrepræsentationer. Nøglen til dette er, måske ikke så overraskende (navnet taget i betragtning), at gange med basisskiftematricer. Hvis vi har nogle faste baser vi skal arbejde med, så kan vi altså en gang for alle udregne basisskiftematricer mellem disse, og så kan man altid gå frem og tilbage mellem forskellige baser for sine matrixrepræsentationer. Dette er nogle gange meget brugbart i anvendelser, hvor algoritmer kan være designet til at bruge udvalgte baser.

Lad $F:U\to V$ være en lineær transformation mellem vektorrum $U$ og $V$ . Antag at:

$B_U^1$ og $B_U^2$ er to baser for $U$ .
$B_V^1$ og $B_V^2$ er to baser for $V$ .
$A$ er matrixrepræsentation for $F$ i baserne $B_U^1$ og $B_V^1$ .
$T$ er basisskiftematrix fra $B_U^2$ til $B_U^1$ .
$S$ er basisskiftematrix fra $B_V^1$ til $B_V^2$ .

Så er $SAT$ matrixrepræsentationen for $F$ i baserne $B_U^2$ og $B_V^2$ .

Bevis

Vi regner i koordinater. Lad $\mathbf u\in U$ , da har vi fra Proposition 7.2 og Proposition 7.8:

$SAT[\mathbf u]_{B_U^2} = SA[\mathbf u]_{B_U^1} = S[F(\mathbf u)]_{B_V^1} = [F(\mathbf u)]_{B_V^2}.$ Dermed er $SAT$ matrixrepræsentationen af $F$ i baserne $B_U^2$ og $B_V^2$ .

Vi vender nu tilbage til eksemplet i starten af kapitlet. Lad

$A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 24 & -12 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.$ Dette er eksempelvis matrixrepræsentationen af $F:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4$ givet ved $F(\mathbf x) = A\mathbf x$ i standard basen (på begge vektorrum).

Men der blev også nævnt en anden basis

$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$ Basisskiftematricen fra $B$ til standard basen er bare matricen $B$ , mens basisskiftematricen fra standard basen til $B$ er matricen $B^{-1}$ . Derfor giver Proposition 7.15 at

$B^{-1}AB = \begin{pmatrix} 2 & & & \\ & 2 & & \\ & & -2 & \\ & & & -2 \end{pmatrix}$ er matrixrepræsentationen af $F$ med hensyn til basen $B$ (på begge vektorrum).

Som vi ser i Eksempel 7.16, så er det ikke altid en god ide at anvende standard basen, hvis man ønsker sig en flot matrixrepræsentation. Især i anvendelser er det vigtigt at få så mange nuller i sin matrix som muligt.

Vi skal se videre på at finde optimale baser i Kapitlerne 8, 11 og 12, hvor begreber som egenværdier og egenvektorer bliver en essentiel ingrediens.

7.4 Opgaver

Lad $F: U\rightarrow V$ , hvor $U = V = \mathbb{R}^2$ være givet ved

$F(x,y) = \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}.$ Find matrixrepræsentationen af $F$ med hensyn til baserne $B_U$ for $U$ og $B_V$ for $V$ , givet ved

$B_U = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}\right\}\quad \text{og} \quad B_V = \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 2\end{pmatrix}\right\}.$

(Eksamen marts 2017)

Betragt følgende produkt af reelle $3\times 3$ matricer (du behøver ikke tjekke det)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \\ 1 & -4 & 1 \end{pmatrix} = I_3.$ Definer nu følgende tre vektorer i $\mathbb{R}^3$ :

$\mathbf v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf v_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}.$

Vis at $B = \{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3\}$ udgør en basis for $\mathbb{R}^3$ .
Beregn koordinatvektoren $[\mathbf u]_B$ med hensyn til $B$ for en vilkårlig vektor $\mathbf u = (x,y,z)^T$ i $\mathbb{R}^3$ .
Herefter betragtes vektorerne
$\mathbf w_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf w_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf w_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$ Det oplyses at $\widetilde{B} = \{\mathbf w_1,\mathbf w_2,\mathbf w_3\}$ er en basis for $\mathbb{R}^3$ (skal ikke tjekkes). Find basisskiftematricen $T$ fra basis $\widetilde{B}$ til basis $B$ .

(Eksamen juni 2016)

Betragt mængden $B$ bestående af vektorerne

$\mathbf v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf v_2 = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ i $\mathbb{R}^3$ .

Gør rede for at $B$ udgør en basis for $\mathbb{R}^3$ .
Betragt $B = (\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3)$ som en $3\times 3$ matrix. Den inverse matrix $B^{-1}$ er lig med
$\frac{1}{d}\begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ for et tal $d$ . Find tallet $d$ og skitser din metode for at nå frem til det.
Lad $F : \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ være givet ved den lineære transformation
$F(x_1,x_2,x_3) = \begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ x_2+x_3 \\ x_3+x_1 \end{pmatrix}. \tag{7.15}$ Find matrixrepræsentationen for $F$ i basen $B$ (brugt på begge vektorrum).

(Eksamen maj 2021)

Lad tre vektorer $\mathbf u_1$ , $\mathbf u_2$ og $\mathbf u_3$ være givet ved

$\mathbf u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf u_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$

Gør rede for at $B_1 = \{\mathbf u_1,\mathbf u_2,\mathbf u_3\}$ er en basis for $\mathbb{R}^3$ .
Find koordinater for nedenstående tre vektorer $\mathbf w_1$ , $\mathbf w_2$ og $\mathbf w_3$ med hensyn til basen $B_1$ :
$\mathbf w_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf w_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf w_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.$
Lad $B_2 = \{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}$ være en basis for $\mathbb{R}^2$ (skal ikke bevises), hvor
$\mathbf v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{og} \quad \mathbf v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}.$ Lad $F : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ være en lineær transformation (skal ikke bevises), givet ved
$F(x,y,z) = \begin{pmatrix} x \\ y-z \end{pmatrix}.$ Bestem matrixrepræsentationen af $F$ med hensyn til baserne $B_1$ og $B_2$ .
Find koordinaterne til $F(\mathbf w_1)$ , $F(\mathbf w_2)$ og $F(\mathbf w_3)$ med hensyn til basen $B_2$ .