4Matricer

Når man har regnet med lineære ligninger et stykke tid opstår behovet for at forenkle notationen. For eksempel kan ligningerne

$\begin{matrix} && &2y &+ &4z &= &-2\\ &3x &+ &2y &+ &7z &= &4 \end{matrix} \tag{4.1}$ repræsenteres ved talskemaet

$\left(\begin{array}{cccc} 0 & 2 & 4 & -2\\ 3 & 2 & 7 & 4 \end{array}\right) \tag{4.2}$ og mange af de operationer vi foretager for at løse ligningerne kan lige så vel udføres på det tilsvarende talskema.

En notation der nogle gange kan være brugbar, for at huske på at vi her ser på et talskema relateret til et ligningssystem, er at indsætte en lodret streg der adskiller koefficienterne og højresiden af ligningssystemet:

$\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 4 & -2\\ 3 & 2 & 7 & 4 \end{array}\right).$

4.1 Matricer

4.1.1 Definitioner

Et rektangulært talskema kaldes en matrix. En matrix med $m$ rækker og $n$ søjler kaldes en $m\times n$ (læs: $m$ gange $n$ ) matrix. Notation for en $m\times n$ matrix $A$ er

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots &a_{1j}& \cdots& a_{1 n} \\ \vdots & \ddots &\vdots & \ddots & \vdots\\ a_{i1} & \cdots &a_{ij}& \cdots& a_{i n} \\ \vdots & \ddots &\vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & \cdots &a_{mj}& \cdots& a_{m n} \end{pmatrix}, \tag{4.3}$ hvor $A_{ij} = a_{i j}$ betegner tallet i $i$ 'te række og $j$ 'te søjle. Hvis vi kalder matricen i (4.2) for $A$ , består den af $2$ rækker og $4$ søjler med $A_{14} = -2$ .

En matrix kaldes kvadratisk hvis den har lige så mange rækker som søjler. For eksempel er de første to matricer nedenfor kvadratiske, mens den tredje ikke er det.
$\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}.$
Diagonalen i en matrix er defineret som indgangene i matricen med samme række- og søjlenummer. Nedenfor er angivet en $3\times 4$ matrix, hvor diagonalelementerne er markerede
$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & 3 & 0 & 1\\ 3 & \color{red}{2} & 1 & 5\\ 1 & 0 & \color{red}{3} & 6 \end{pmatrix}.$ En matrix kaldes en diagonalmatrix, hvis alle dens indgange udenfor diagonalen er $=0$ . Nedenfor er et eksempel på en kvadratisk diagonalmatrix
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.$
En matrix kaldes en rækkevektor hvis den kun har en række. For eksempel er
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ en rækkevektor med tre søjler.
En matrix kaldes en søjlevektor hvis den kun har en søjle. For eksempel er
$\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ en søjlevektor med tre rækker.
Rækkerne i en matrix kaldes matricens rækkevektorer. Den $i$ 'række i en matrix $A$ betegnes $A_i$ . For eksempel har matricen $A$ i (4.2) rækkevektorerne
$A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 & -2 \end{pmatrix} \qquad\text{og}\qquad A_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 7 & 4 \end{pmatrix}.$
Søjlerne i en matrix kaldes matricens søjlevektorer. Den $j$ 'te søjle i en matrix $A$ betegnes $A^j$ . For eksempel har matricen $A$ i (4.2) søjlevektorerne
$A^1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix},\quad A^2 =\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix},\quad A^3 =\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}\quad\text{og}\quad A^4 = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}.$
En række- eller søjlevektor refereres til som en vektor.

Vi vil senere give en mere abstrakt definition af vektorer som elementer i et såkaldt vektorrum.

4.2 Matrixmultiplikation

Antag vi har givet to ligningssystemer

$\begin{matrix} & \color{blue}{u} &+ &2 \color{red}{v} &= p\\ & \color{blue}{u} &- &2 \color{red}{v} &= q \end{matrix} \qquad\text{og}\qquad \begin{matrix} &2 x &+ &3 y &= \color{blue}{u}\\ &-x &- &2 y &= \color{red}{v}. \end{matrix}$ i de variable $u, v$ og $x, y$ .

Vi får et nyt ligningssystem i $x$ og $y$ ved at sætte $u = 2x + 3 y$ og $v=-x-2y$ ind i det første ligningssystem:

$\begin{matrix} &u &+ &2 v &= &(2 x + 3 y) &+ &2(-x -2 y) &= & &- &y &= p\\ &u &- &2 v &= &(2 x + 3 y) &- &2(-x -2 y) &= &4 x &+ &7 y &= q. \end{matrix}$ Med matricer skriver vi

$\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3\\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 4 & 7 \end{pmatrix}. \tag{4.4}$ Lad os prøve at skrive operationen i (4.4) ud generelt det vil sige antag vi har to ligningssystemer a la ovenfor:

$\begin{matrix} & a_{11} \color{blue}{u} &+ &a_{12}\color{red}{v} &= p\\ & a_{21} \color{blue}{u} &+ &a_{22}\color{red}{v} &= q \end{matrix} \qquad\text{og}\qquad \begin{matrix} &b_{11} x &+ &b_{12} y &= \color{blue}{u}\\ &b_{21} x &+ &b_{22} y &= \color{red}{v} \end{matrix}$ men nu med generelle koefficienter. Ved substitution fås som før

$\begin{matrix} & a_{11} u &+ &a_{12} v &= & a_{11} (b_{11} x + b_{12} y) &+ &a_{12} (b_{21} x + b_{22} y)\\ & a_{21} u &+ &a_{22} v &= &a_{21} (b_{11} x + b_{12} y) &+ &a_{22} (b_{21} x + b_{22} y) \end{matrix}$ som så er lig med

$\begin{matrix} &(a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21}) x &+ &(a_{11}b_{12} + a_{12} b_{22}) y &= p\\ &(a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21}) x &+ &(a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22}) y &= q. \end{matrix}$ Formuleret med matricer som i (4.4) skrives

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ \color{blue}{a_{21}} & \color{red}{a_{22}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \color{blue}{b_{11}} & b_{12}\\ \color{red}{b_{21}} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} & a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22}\\ \color{blue}{a_{21} b_{11}} + \color{red}{a_{22} b_{21}} & a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} \end{pmatrix}. \tag{4.5}$

Ligningen ovenfor er intet mindre end formlen for multiplikation af to $2\times 2$ matricer, præcis som den blev indført historisk af Cayley omkring 1857. Ved nærmere eftersyn (og markeret med farver i (4.5) for $i=2$ og $j= 1$ ) ses reglen at tallet i den $i$ 'te række og $j$ 'te søjle i produktmatricen er række-søjle multiplikationen mellem $i$ 'te række og $j$ 'te søjle i de to matricer.

Rækkesøjle multiplikationen mellem en rækkevektor

$\mathbf x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ og en søjlevektor

$\mathbf y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$ med det samme antal indgange er defineret som

$\mathbf x \mathbf y = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n.$

Hvis man er lidt pedantisk vil man måske i notationen skelne mellem tallet $5$ og $1\times 1$ matricen $(5)$ , men det er vi ikke.

Lad $A$ være en $\color{blue}{m}\times \color{black}{p}$ matrix og $B$ en $\color{black}{p}\times \color{red}{r}$ matrix. Så er produktet $A B$ defineret som $\color{blue}{m}\times\color{red}{r}$ matricen $C$ givet ved

$C_{ij} = A_i B^j$ for $1\leq i \leq m$ og $1\leq j \leq r$ .

Hvis $A$ er en $m\times n$ matrix og $B$ en $r\times s$ matrix giver matrixproduktet $A B$ kun mening, hvis $n = r:$ Antallet af søjler i $A$ skal være lig med antallet af rækker i $B$ .

Lad matricerne

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\end{pmatrix}, \quad\text{og}\quad D = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ være givet. Hvilke af nedenstående matrixprodukter giver mening?

$B A$

$A B$

$C D$

$D C$

$C A$

$A D$

Med formlen for matrix multiplikation kan ligningssystemet (4.1) nu skrives som

$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4\\ 3 & 2 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}.$ Her ganger vi en $2\times 3$ matrix (kaldet systemmatricen) sammen med en $3\times 1$ matrix. Rækkesøjlemultiplikationen giver $2\times 1$ matricen

$\begin{pmatrix} 2 y + 4 z\\ 3 x + 2 y + 7 z \end{pmatrix}.$ Denne matrix skal netop være lig med $2\times 1$ matricen på højresiden ovenfor for at ligningssystemet (4.1) er opfyldt.

Lad

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 3 & x & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1& 1 & 1\\ 2 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\quad\text{og}\quad C = A B.$ Hvilke af nedenstående udsagn er rigtige?

$C_{12} = 9$

$C_{23} = 4$

Hvis $C_{32} = 4$ , så er $x = 0$ .

Hvis $C_{31} = -1$ , så er $x=-1$ .

Matrixmultiplikation optræder mange steder. Nedenfor et meget anvendeligt eksempel indenfor sandsynlighedsregning, som i generaliseret form leder til Googles berømte page rank algoritme.

Matrixmultiplikation forekommer naturligt i sandsynlighedsregning. Lad os illustrere med et enkelt eksempel.

Lad os antage at rundt regnet $20$ procent af de mennesker der bor på landet flytter til byen, og at $30$ procent af de mennesker som bor i byen flytter til landet. Lad os også fastslå at disse procentsatser er opgjort per år og lige omformulere en smule:

Hvis man bor på landet er sandsynligheden for at man flytter til byen $0.2$ ,
Hvis man bor på landet er sandsynligheden for at man bliver boende $0.8$ ,
Hvis man bor i byen er sandsynligheden for at man flytter til landet $0.3$ ,
Hvis man bor i byen er sandsynligheden for at man bliver boende $0.7$ ,

når man ser på et år som tidsramme. Dette kan illustreres med nedenstående diagram

Dette giver anledning til lidt købmandsregning. Lad os sige at der i starten til tiden $t = 0$ år bor $x_0$ mennesker i byen og $y_0$ mennesker på landet. Hvor mange mennesker $x_1$ bor der så i byen og hvor mange mennesker $y_1$ bor der på landet til tiden $t = 1$ år?

Med ord bliver byen affolket med $30$ procent, men der kommer tilflyttere, som udgør $20$ procent af befolkningen på landet. Det vil sige

$x_1 = 0.7 x_0 + 0.2 y_0.$ Tilsvarende har vi for befolkningen på landet at

$y_1 = 0.3 x_0 + 0.8 y_0.$ Dette kan skrives via matrixmultiplikation som

$\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.7 & 0.2\\ 0.3 & 0.8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}.$ Proceduren giver også mening for $t=2$ år. Her bliver resultatet

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0.7 & 0.2\\ 0.3 & 0.8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0.7 & 0.2\\ 0.3 & 0.8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0.7 & 0.2\\ 0.3 & 0.8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} \\ &= P^2 \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}, \end{aligned}$ hvor

$P=\begin{pmatrix} 0.7 & 0.2\\ 0.3 & 0.8 \end{pmatrix}. \tag{4.6}$ Ovenstående kan generaliseres så vi har formlen

$\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = P^n \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}, \tag{4.7}$

som giver fordelingen af by- og landbefolkning til tiden $t = n$ år. For at kunne benytte formlen (4.7) skal vi altså udføre $n-1$ matrixmultiplikationer, hvilket kan være lidt overvældende, for eksempel hvis vi ønsker at kende befolkningstallet på landet efter $50$ år. Hver matrixmultiplikation indeholder $8$ almindelige talmultiplikationer og $4$ almindelige taladditioner. Vi vil senere i Kapitel 8 se hvordan egenvektorer og egenværdier for matricer kan hjælpe med denne udregning.

Inden da, lad os blot eksperimentere med at udregne de første potenser af $P$ :

$\begin{aligned} P^2 &= \begin{pmatrix} 0.55 & 0.3\\ 0.45 & 0.7 \end{pmatrix}\\ P^3 = P P^2 &= \begin{pmatrix} 0.475 & 0.35\\ 0.525 & 0.65 \end{pmatrix}\\ P^4 = P P^3 &= \begin{pmatrix} 0.4375 & 0.375\\ 0.5625 & 0.625 \end{pmatrix}\\ &\vdots\\ P^{15} &= \begin{pmatrix} 0.400018 & 0.399951\\ 0.599982 & 0.600012 \end{pmatrix}\\ P^{16} &= \begin{pmatrix} 0.400009 & 0.399994\\ 0.599991 & 0.600006 \end{pmatrix}. \end{aligned}$

Umiddelbart ser det ud som om udregningerne stabiliseres på et stationært niveau, hvor $40$ procent bor i byen og $60$ procent på landet.

Matricen $P$ er et eksempel på en stokastisk $2\times 2$ matrix. Generelt kaldes en kvadratisk matrix en stokastisk matrix hvis alle dens indgange er $\geq 0$ og dens søjlesummer er $1$ .

Nedenfor et eksempel på anvendelser i netværksteori.

Matrixmultiplikation forekommer også i praktiske problemer, hvor netværk er involveret. Lad os antage vi har fem byer, som er forbundet med forskellige veje som nedenfor

Dette netværk har en $5\times 5$ incidensmatrix, hvor by nummer $i$ hører til $i$ 'te række og $i$ 'te søjle. Et $1$ -tal i matricen på plads $(i, j)$ betyder at der er en vej fra by $i$ til by $j$ , mens et $0$ betyder at by $i$ og by $j$ ikke er forbundet med en vej:

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$ Her er

$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\quad\text{og}\quad A^3 = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 6 & 3 & 3 \\ 5 & 4 & 7 & 7 & 3 \\ 6 & 7 & 6 & 7 & 6 \\ 3 & 7 & 7 & 4 & 5 \\ 3 & 3 & 6 & 5 & 2 \end{pmatrix}.$ Hvad er netværksfortolkningen af $A^2, A^3$ og generelt $A^n$ ? Det viser sig at fortolkningen af indgang $(i, j)$ i matricen $A^n$ netop er antallet af stier af længde $n$ fra by $i$ til by $j$ . For eksempel ser vi ovenfor at der er $3$ stier fra by $1$ til by $5$ af længde $3$ svarende til $1245, 1345, 1235$ . De $2$ stier fra by $1$ til by $1$ af længde $3$ er $1231, 1321$ og de $5$ stier af længde $3$ fra by $1$ til $2$ er $1342, 1242, 1323, 1212, 1232$ .

Lad os antage at vi har et netværk med $m$ byer og en tilhørende incidensmatrix $A$ .

Det generelle bevis bygger på at en sti af længde $n$ fra by $i$ til by $j$ må ende med en vej fra en naboby $k$ til $j$ . For hver af disse nabobyer kan vi så nøjes med at tælle antallet af stier af længde $n-1$ fra by $i$ . Hvis vi nu antager at $A^{n-1}_{gh}$ er antallet af stier af længde $n-1$ fra by $g$ til by $h$ , så siger matrixmultiplikation at

$A^n_{i j} = A^{n-1}_{i 1} A_{1 j} + \cdots + A^{n-1}_{i m} A_{m j}.$ Dette tal er antallet af stier af længde $n$ fra by $i$ til by $j$ fordi $A_{k j} = 1$ netop når $k$ er en naboby til $j$ (og ellers $0$ ).

4.3 Matrixregning

Matrixmultiplikation er forskellig fra almindelig talmultiplikation på et helt centralt punkt: Faktorernes orden er ikke ligegyldig. Betragt matricerne

$A= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\qquad\text{og}\qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$ Så er

$A B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\qquad \text{og} \qquad B A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$ dvs. $A B \neq B A$ . Man siger også at matrixmultiplikation er ikke-kommutativ.

4.3.1 Addition af matricer

Man kan (næsten) regne med matricer som almindelige tal. Specielt giver det mening at lægge matricer med samme antal rækker og søjler sammen indgang for indgang:

$\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & \cdots & a_{m n} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & \cdots& b_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{m1} & \cdots & b_{m n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1 n} + b_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1}+b_{m1} & \cdots & a_{m n}+b_{mn} \end{pmatrix}.$

Med hensyn til addition opfører matricer sig ligesom almindelige tal, det vil sige at $A+B=B+A$ .

4.3.2 Skalarmultiplikation af matricer

En matrix kan på naturlig måde multipliceres med et tal $\lambda$ ved at gange ind plads for plads:

$\lambda \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & \cdots & a_{m n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \cdots & \lambda a_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \lambda a_{m1} & \cdots & \lambda a_{m n} \end{pmatrix}.$

Findes et tal $\lambda$ så

$\lambda \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6\\ 8 & 10 & 15 \end{pmatrix}?$

4.3.3 Den distributive lov

For almindelige tal gælder at man kan gange ind i en parentes det vil sige $a (b + c) = a b + a c$ . Denne regel gælder også for matricer og kaldes generelt for den distributive lov (gange bliver distribueret (fordelt) over plus).

Lad $B$ og $C$ være $m\times n$ matricer, $A$ en $r\times m$ matrix og $D$ en $n\times s$ matrix. Så gælder

$A ( B + C) = A B + A C\qquad\text{og}\qquad (B + C) D = B D + C D.$

Bevis

Man kan nøjes med at bevise den første påstand i tilfældet, hvor $A$ er en rækkevektor og $B, C$ søjlevektorer, fordi

$(A (B+C))_{ij} = A_i (B+C)^j = A_i (B^j + C^j).$ Tilsvarende kan den anden påstand bevises i tilfældet hvor $B, C$ er rækkevektorer og $D$ en søjlevektor, fordi

$((B+C) D)_{ij} = (B+C)_i D^j = (B_i + C_i) D^j.$ Begge disse tilfælde følger af den distributive lov for almindelige tal.

For eksempel, hvis $A = (a_1,\dots,a_m)$ er en rækkevektor og

$B= \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix} \qquad C= \begin{pmatrix} c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_m \end{pmatrix}$ søjlevektorer, så er $A(B+C)$ og $AB+AC$ begge $1\times 1$ matricer, det vil sige at de kun har et eneste element. Helt præcis er

$\begin{aligned} A(B+C)&=(\sum_i{a_i(b_i+c_i)})\\ &=(\sum_i{(a_ib_i+a_ic_i)})\\ &=(\sum_i{a_ib_i})+(\sum_i{a_ic_i})\\ &=AB+AC. \end{aligned}$

4.3.4 Den mirakuløse associative lov

Giver det mening at gange tre matricer $A, B$ og $C$ sammen? Vi har faktisk kun defineret produktet af to matricer. Der er to naturlige måder at udregne produktet $A B C$ på:

$( A B ) C\qquad \text{og}\qquad A (B C).$

Vi kan begynde med at gange $A$ sammen med $B$ og så gange $C$ på fra højre. Vi kan også først gange $B$ sammen med $C$ og så gange $A$ på fra venstre. Det er slet ikke klart at de to måder leder frem til samme resultat! At det gælder er helt centralt når man regner med matricer. Resultatet kaldes den associative lov for matrixmultiplikation.

Lad $A$ være en $m\times n$ matrix, $B$ en $n\times r$ matrix og $C$ en $r\times s$ matrix. Så er

$(A B) C = A (B C).$

Det nedenstående bevis er ikke særlig informativt, men det er korrekt. Senere, når vi har set sammenhængen mellem matricer og lineære afbildninger, vil vi være i stand til at give en meget bedre forklaring på hvorfor den associative lov er en selvfølge.

Bevis

Vi skal bevise at

$((A B) C)_{ij} = (A (B C))_{ij}$ for $1\leq i \leq m$ og $1\leq j \leq s$ . Venstresiden kan skrives

$\begin{aligned} (A B)_i C^j &= (A_i B^1, \dots, A_i B^r) C^j\\ &= (A_i B^1) C_{1j} + (A_i B^2) C_{2j} + \cdots + (A_i B^r) C_{rj}. \end{aligned}\tag{4.8}$ Højresiden kan skrives som

$A_i (B C)^j = A_i \begin{pmatrix} B_1 C^j \\ \vdots \\ B_n C^j\end{pmatrix} = A_{i1} (B_1 C^j) + \cdots + A_{in} (B_n C^j). \tag{4.9}$ Ved at skrive rækkesøjle multiplikationerne i (4.8) ud fås

$\begin{aligned} &A_{i1} B_{11} C_{1j} + \cdots + A_{in} B_{n1} C_{1j} +\\ &A_{i1} B_{12} C_{2j} + \cdots + A_{in} B_{n2} C_{2j} +\\ &\vdots\\ &A_{i1} B_{1r} C_{rj} + \cdots + A_{in} B_{nr} C_{rj}. \end{aligned}\tag{4.10}$ Ved at skrive rækkesøjle multiplikationerne i (4.9) ud fås

$\begin{aligned} &A_{i1} B_{11} C_{1j} + \cdots + A_{i1} B_{1r} C_{rj} +\\ &A_{i2} B_{21} C_{1j} + \cdots + A_{i2} B_{2r} C_{rj} +\\ &\vdots\\ &A_{in} B_{n1} C_{1j} + \cdots + A_{in} B_{nr} C_{rj}. \end{aligned}\tag{4.11}$ Rækkerne i summen i (4.10) svarer til søjlerne i summen (4.11) og det ses at disse summer er ens. Derfor er $((A B) C)_{ij} = (A (B C))_{ij}$ .

4.3.5 Opbygning af matricer fra søjler

Hvis vi har $n$ søjlevektorer $\mathbf v_i$ som alle har højde $n$ kan vi danne en $m\times n$ matrix $A=(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\dots \mathbf v_n)$ ved at sætte dem ved siden af hinanden. Så hvis vi har søjlevektorerne

$\mathbf v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix},\quad \mathbf v_2 =\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix},\quad \mathbf v_3 =\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}\quad\text{og}\quad \mathbf v_4 = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}.$ så er

$A=(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\dots, \mathbf v_n)= \begin{pmatrix} 0&2&4&-2\\ 3&2&7&4 \end{pmatrix}.$ Vi kan genfinde søjlevektorerne af $A$ som $A^1=\mathbf v_1$ , $A^2=\mathbf v_2$ , $A^3=\mathbf v_3$ og $A^4=\mathbf v_4$ . Vi vil senere få brug for følgende simple udregning.

Hvis $B$ er en $p\times m$ matrix, så er

$BA=B(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\dots,\mathbf v_n)=(B\mathbf v_1,B\mathbf v_2,\dots,B\mathbf v_n).$

Bevis

Vi regner efter. På den ene side er

$(BA)_{ij}=B_iA^j=B_i\mathbf v_j.$ På den anden side er

$(B\mathbf v_1,B\mathbf v_2,\dots,B\mathbf v_n)_{ij}=(B\mathbf v_j)_{ij}=B_i\mathbf v_j.$

Illustration af beviset ved et eksempel

$A= \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&0 \end{pmatrix} ;\quad B= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&0&-1 \end{pmatrix} = \left( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3\\-1 \end{pmatrix} \right).$ Nu er

$\begin{aligned} AB &= \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&0&-1 \end{pmatrix} \\ &= \left( \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\-1 \end{pmatrix} \right). \end{aligned}$

4.3.6 Identitetsmatricen

Identitetsmatricen $I_n$ af orden $n$ er $n\times n$ diagonalmatricen med $1$ i diagonalen. Nedenfor er identitetsmatricen af orden $5$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$ Identitetsmatricen $I_n$ har egenskaben at

$I_n A = A I_n = A$ for alle $n\times n$ matricer $A$ .

Gør rede for ovenstående egenskab, det vil sige at identitetsmatricen ikke ændrer ved en kvadratisk matrix når den bliver ganget på enten fra venstre eller fra højre.

4.3.7 Den inverse matrix

Man kan dividere med almindelige tal $\neq 0$ . Giver det mening at dividere med matricer? Et almindeligt tal $a\neq 0$ har et "inverst" tal $c$ så $a c = c a = 1$ . Her kan vi bare sætte $c = 1/a = a^{-1}$ . Vi kan umiddelbart overføre denne definition til kvadratiske matricer.

Lad $A, B$ og $C$ være $n\times n$ matricer. Gør rede for at hvis

$B A = I_n$ og

$A C = I_n$ så må $B = C$ .

En $n\times n$ matrix $A$ siges at være invertibel, hvis der eksisterer en $n\times n$ matrix $B$ så

$A B = B A = I_n.$ I givet fald kaldes $B$ den inverse matrix og betegnes $A^{-1}$ .

Man kunne jo spørge om det kan ske for en $m\times n$ matrix $A$ hvor $m<n$ at der findes en $n\times m$ matrix $B$ så at $BA=I_n$ . Det kan desværre aldrig lade sig gøre, selv om det sagtens kan ske at der findes en $n\times m$ matrix $B$ så at $AB=I_m$ .

Den inverse matrix kommer for eksempel ind i billedet ved løsning af lineære ligninger. Et lineært ligningssystem med $n$ ligninger og $n$ ubekendte:

$\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n &= b_1\\ &\vdots\\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + \cdots + a_{nn} x_n &= b_n \end{aligned}$ kan med matrixnotation skrives

$\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{n n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$ eller mere kompakt som $A \mathbf x = \mathbf b$ .

Hvis $A$ er invertibel giver den associative lov følgende udregning:

$\begin{aligned} A \mathbf x &= \mathbf b \implies\\ A^{-1} \left(A \mathbf x\right) &= A^{-1} \mathbf b \implies \\ (A^{-1} A) \mathbf x &= A^{-1} \mathbf b \implies\\ I \mathbf x &= A^{-1} \mathbf b\implies\\ \mathbf x &= A^{-1} \mathbf b.\\ \end{aligned}$

Den inverse matrix giver altså løsningen til ligningssystemet ud fra kun en matrixmultiplikation med højresiden. Bemærk at denne udregning gælder for alle tænkelige højresider $\mathbf b$ i ligningssystemet.

Ligningssystemet

$\begin{matrix} &5 x &+ &3 y &= &13\\ &3 x &+&2 y &= &8 \end{matrix} \tag{4.12}$ kan ved hjælp af matrixmultiplikation skrives som

$A \mathbf v = \mathbf b,$ hvor

$A = \begin{pmatrix} 5& 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\qquad \text{og}\qquad \mathbf b = \begin{pmatrix} 13 \\ 8 \end{pmatrix}.$

Jeg kan her afsløre at $A$ rent faktisk er invertibel samt at

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -3\\ -3 & 5 \end{pmatrix}.$ En enkel matrixmultiplikation:

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3\\ -3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 13 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ afslører som forventet løsningen til ligningssystemet i (4.12).

Produktet af to invertible matricer (når produktet giver mening) er også en invertibel matrix. Dette er indholdet af følgende resultat, som bevises helt formelt ud fra definitionen og den associative lov.

Produktet $A B$ af to invertible matricer $A$ og $B$ er invertibelt med $(A B)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ .

Bevis

Vi skal checke betingelserne i definitionen det vil sige at

$(B^{-1} A^{-1}) (A B) = I\qquad\text{og}\qquad A B (B^{-1} A^{-1}) = I.$ Lad os checke den første betingelse ved brug af den associative lov:

$\begin{aligned} (B^{-1} A^{-1}) (A B) &= ((B^{-1} A^{-1}) A) B\\ &= (B^{-1} (A^{-1} A)) B \\ &= (B^{-1} I) B = B^{-1} (I B) = B^{-1} B = I, \end{aligned}$ hvor $I$ betegner identitetsmatricen. Betingelsen $A B (B^{-1} A^{-1}) = I$ checkes analogt.

For de nysgerrige er her en udfordring. Vi har defineret en matrix $A$ til at være invertibel, hvis der findes en matrix $B$ så både $A B = I$ og $B A = I$ . Kan vi umiddelbart konkludere at $B A = I$ hvis kun $A B = I$ ?

Vi vil vende tilbage til denne udfordring senere.

4.3.8 Den transponerede matrix

Den transponerede til en $m\times n$ matrix $A$ er $n\times m$ matricen $A^T$ givet ved

$A^T_{i j} = A_{j i},$ det vil sige matricen, som indeholder søjlerne i $A$ som rækker (og rækkerne som søjler). For eksempel er

$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 & -2\\ 3 & 2 & 7 & 4 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 0 & 3\\ 2 & 2\\ 4 & 7\\ -2 & 4 \end{pmatrix}.$ Læg også mærke til at $(A^T)^T = A$ for en vilkårlig matrix $A$ .

Lad $A$ være en $m\times r$ matrix og $B$ en $r\times n$ matrix. Så er

$(A B)^T = B^T A^T.$

Bevis

Per definition er $(A B)^T_{i j} = (A B)_{j i}$ . Denne indgang er givet som række-søjle multiplikation mellem $j$ 'te række i $A$ og $i$ 'te søjle i $B$ , hvilket er identisk med række-søjle multiplikation mellem $i$ 'række i $B^T$ og $j$ 'te søjle i $A^T$ .

Lad $A$ være en kvadratisk matrix. Gør rede for at $A$ er invertibel hvis og kun hvis $A^T$ er invertibel.

En kvadratisk matrix $A$ kaldes symmetrisk hvis $A = A^T$ . Gør rede for at

$B B^T$ er en symmetrisk matrix, hvor $B$ er en vilkårlig matrix.

Hint

Brug Proposition 4.16!

4.4 Rækkeoperationer

Der er en række meget naturlige operationer man kan udføre på matricer, som præcis svarer til hvad man ville gøre på det tilsvarende system af ligninger:

Ombytning af række $i$ og række $j$ :
$R_i \leftrightarrow R_j.$
Multiplikation af række $i$ med et tal $\lambda\neq 0$ :
$R_i \rightarrow \lambda R_i.$
Addition af række $j$ multipliceret med et tal $\lambda$ til række $i$ :
$R_i \rightarrow R_i + \lambda R_j.$

Disse operationer kaldes rækkeoperationer. Rækkeoperationer er invertible:

$\bullet$ Ved først at ombytte to rækker og dernæst ombytte de samme to rækker genfinder vi den oprindelige matrix.

$\bullet$ Ved først at gange en række med et tal $\lambda\neq 0$ og dernæst gange samme række med $1/\lambda$ genfinder vi den oprindelige matrix.

$\bullet$ Ved at addere $\lambda$ gange række $j$ til række $i$ og dernæst addere $-\lambda$ gange række $j$ til række $i$ genfinder vi den oprindelige matrix.

To matricer $A$ og $B$ kaldes rækkeækvivalente, hvis man kan udføre en følge af rækkeoperationer på $A$ og få $B$ frem. Dette skrives $A\sim B$ .

Betragt følgende fire $2\times 2$ matricer

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix}\quad\text{og}\quad D= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$ Hvilke af følgende udsagn er sande?

$A\sim A$

$A\sim B$

$A\sim C$

$B\sim D$

Lad $A$ , $B$ og $C$ være tre matricer med samme antal rækker og søjler. Gør rede for at

$A\sim A$ .
$A\sim B\quad$ medfører at $\quad B\sim A$ .
$A\sim B\quad\text{og}\quad B\sim C\quad$ medfører at $A\sim C$ .

Lad os vende tilbage til matricen i (4.2), som er skrevet som en totalmatrix (matrix der inkluderer både systemmatricen og højresiden til et ligningssystem)

$\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 4 & -2\\ 3 & 2 & 7 & 4 \end{array}\right).$ Operationen ( $\gamma$ ) svarer til Gauss elimination. At trække første ligning fra anden ligning i (4.1) svarer til at gange første række i (4.2) med $-1$ og addere til anden række. Efter denne operation har vi matricen

$\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 4 & -2\\ 3 & 0 & 3 & 6 \end{array}\right).$ Vi benytter nu operationen ( $\beta$ ) og ganger anden række med $\frac {1}{3}$ og får matricen

$\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 4 & -2\\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right).$ Tilsvarende ganger vi første række med $\frac{1}{2}$ og får matricen

$\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 2 & -1\\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right).$ En kortere måde at skrive disse operationer på, er ved

$\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 4 & -2\\ 3 & 2 & 7 & 4 \end{array}\right) \,\stackrel{\sim}{\substack{R_2 \to R_2 - R_1}}\, \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 4 & -2\\ 3 & 0 & 3 & 6 \end{array}\right) \,\stackrel{\sim}{\substack{R_1\to \frac{1}{2}R_1 \\[1mm] R_2\to \frac{1}{3}R_2}}\, \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 2 & -1\\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right).$ Hvis vi omformulerer matricen ovenfor til ligninger, svarer den til

$\begin{matrix} && &y &+ &2z &= &-1\\ &x & & &+ &z &= &2. \end{matrix}$

Intuitivt er rækkefølgen af ligningerne her forkert. Vi vil gerne have at ligningen indeholdende den første variabel $x$ kommer først. Vi benytter operationen ( $\alpha$ ) og bytter rundt på første og anden række. Dermed har vi

$\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 4 & -2\\ 3 & 2 & 7 & 4 \end{array}\right) \quad\sim\quad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 2 & -1 \end{array}\right). \tag{4.13}$ Vi accepterer matricen til sidst i (4.13) som en specielt enkel form vi kan reducere den oprindelige matrix (4.2) til. Den enkle form af matricen afspejler sig i det tilsvarende ligningssystem ved at man umiddelbart kan aflæse løsningerne til at være

$\begin{matrix} &x& & &= &-z &+ &2\\ & & &y&= &-2z &-&1. \end{matrix}$ Det vil sige $z$ er en fri variabel og bestemmer $x$ og $y$ som ovenfor. Den simple form vi har reduceret den oprindelige matrix til kaldes reduceret række echelon form.

4.5 Reduceret række echelon form (RREF)

En række i en matrix kaldes en nulrække hvis alle dens indgange er tallet $0$ .

En matrix $A$ siges at være på reduceret række echelon form (RREF) hvis

Nulrækker er i bunden af matricen.
Hvis en række i $A$ ikke er en nulrække, så er den første indgang $\neq 0$ i rækken tallet $1$ . Denne indgang kaldes et pivotelement.
Et pivotelement er længere til højre end pivotelementerne i de foregående rækker.
Et pivotelement er den eneste indgang $\neq 0$ i sin søjle.

Hvilke af nedenstående matricer er på RREF?

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Enhver $m\times n$ matrix $A$ er rækkeækvivalent med en entydig $m\times n$ matrix på RREF.

Bevis *

En konkret matrix

$A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 4 & 10\\ 0 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Lad $j$ markere første søjle i $A$ , som indeholder en indgang $\neq 0$ . Efter ombytning af rækker kan vi antage at $a = A_{1j}\neq 0$ . Vi følger A

$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Ved at gange første række igennem med $1/a$ kan vi yderligere antage at $A_{1j} = 1$ . Fortsætning

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Vi kan så rækkereducere via Gauss elimination ud fra antagelsen $A_{1j}=1$ og opnå at $A_{1j}$ er eneste indgang $\neq 0$ i sin søjle. Lad os kalde første række $R$ efter disse modifikationer af $A$ . Nu ser vi på R

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -9 \end{pmatrix}\quad R= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 5 \end{pmatrix}$

Denne procedure kan gentages på $(m-1)\times n$ matricen $B$ bestående af de sidste $m-1$ rækker i $A$ og vi kan antage at denne mindre matrix kan rækkereduceres til $(m-1)\times n$ matricen $H$ på RREF. Og på B og H

$B= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & -3 & -9 \end{pmatrix}\quad H= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Lad $m\times n$ matricen $C$ bestå af $R$ som første række og $H$ som de sidste $m-1$ rækker. Reduktion til C

$C= \begin{pmatrix} 0&1&2&5\\ 0&0 & 1 & 3\\ 0&0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\quad$

RREF for den oprindelige matrix $A$ fremkommer nu ved at benytte pivotelementerne i $H$ til at skabe $0$ i første række i $C$ i deres respektive søjler. Endelig har vi en RREF

$\begin{pmatrix} 0&1&0&-1\\ 0&0 & 1 & 3\\ 0&0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\quad$

Dermed har vi vist eksistensen af en RREF. Nu skitserer vi et bevis for entydigheden af RREF (fra en artikel af Thomas Yuster i Mathematics Magazine, March, 1984). Vi bruger et induktionsargument. Induktionen bruger antallet søjler.

Hvis $n=1$ har $A$ kun en søjle. Der er kun to muligheder. $A$ kunne være nullvektoren $\mathbf 0$ . Men $\mathbf 0$ er selv på RREF, og den ændrer sig ikke under rækkoperationer, så entydigheden er klar. Hvis $A\neq \mathbf 0$ er RREF også entydig, fordi rækkereduktionen af $A$ er nødvendigvis søjlevektoren med $1$ på første indgang og $0$ på de øvrige indgange. Nu har vi klaret induktionsstarten. For at give et fuldstændigt induktionsbevis for entydigheden er det nok at vise at hvis vi allerede har bevist entydighed af RREF for matricer på formen $m\times (n-1)$ , så er entydigheden også gældende for matricer på formen $m\times n$ .

Vi laver nu induktionskridtet, og antager at $n>1$ , og at sætningen gælder for alle $m\times (n-1)$ matricer. Lad $A'$ betegne $m\times (n-1)$ matricen som fremkommer fra $A$ ved at slette sidste søjle i $A$ . Hvis nu $B$ og $C$ er to RREF, som begge hører til $A$ , kan vi antage at de stemmer overens på de første $n-1$ søjler. Stop! Hvorfor kan vi antage det?

Jo, fordi hvis vi tilsvarende sletter de sidste søjler i $B$ og $C$ får vi to $m\times (n-1)$ matricer $B'$ og $C'$ . Og $B'$ og $C'$ er begge RREF for $A'$ . Ifølge vores induktionsantagelse er dermed $B'=C'$ .

$B$ og $C$ kan kun adskille i den sidste søjle, så vores opgave er at vise at også de to sidste søjler er ens, det vil sige at $B^n=C^n$ .

Vi skelner nu mellem to tilfælder. Det første tilfælde er at både $B^n$ og $C^n$ er pivotsøjler. Det andet tilfælde er at enten $B^n$ ikke er en pivotsøjle i $B$ , eller at $C^n$ ikke er en pivotsøjle i $C$ . Vi giver et argument der viser at $B=C$ i det første tilfælde, og et helt andet argument der viser at $B=C$ i det andet tilfælde. Tilsammen beviser de to argumenter sætningen. Bevis for at B og C er ens i det første tilfælde

Antag at $B^n$ og $C^n$ begge er pivotsøjler. Vi kigger først på $B$ . Vi bemærker at pivotsøjlen $B^n$ er bestemt af $B'$ . Hvis vi kender $B'$ og ved at den sidste søjle er en pivotsøjle, så kender vi også $B$ . Pivotelementet står nemlig i den første række i $B$ der er en nullrække i $B'$ . Sådan her:

$\begin{pmatrix} 1&0&6&0& 0\\ 0&1&0&3&0\\ 0&0&0&0&\color{red}1\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}$

På den samme måde er $C$ bestemt af $C'$ , fordi vi ved at $C^n$ er en pivotsøjle. Men da $B'=C'$ følger det at $B=C$ .

\begin{showhidest}{Bevis for at B og C er ens i det andet tilfælde} Enten er den sidste række i $B$ eller den sidste række i $C$ ikke en pivotsøjle. Der er ikke forskel på $B$ og $C$ i antagelserne, så vi kan også lige så godt antage at det er $B^n$ der ikke er en pivotsøjle. Det efterfølgende argument virker lige så fint for $C$ , vi skifter bare $B$ ud mod $C$ i notationen.

Vi antager altså at $B^n$ ikke er en pivotsøjle.

Da den sidste række i $B$ ikke er en pivotsøjle, kan vi finde ifølge bemærkning UNDEFINED: pivotsøjle finde en løsning $u$ til vektorligningen $Bu=0$ som opfylder at $u_n\neq 0$ . Nu er $B$ og $C$ RREF til den samme matrix $A$ , så hvis $Bu=0$ er også $Au =0$ og $Cu=0$ , og dermed $(B-C)u=0$ . Siden $B'=C'$ befinder sig de eneste elementer i $B-C$ der er forskellige fra 0 i den sidste søjle. Hvis vi tager højde for dette og udfører matrixmultiplikationen får vi

$0=(B-C)u=(B^n-C^n)\color{red}(u_n)\color{black}=u_n(B^n-C^n)$ Her er $\color{red}(u_n)\color{black}$ en $1\times 1$ matrix. Da $u_n\neq 0$ har vi lov til at dividere med $u_n$ . Vi får at $B^n-C^n=0$ , og dermed er vi færdige. \end{showhidest}

Eksempel

Et eksempel til illustration af proceduren i beviset kunne være

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},$ hvor $j = 2$ . Her er

$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ og dermed

$H = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$ Derfor bliver

$C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} \end{pmatrix}$ og de markerede pivotelementer ovenfor bruges ved Gauss elimination til at give den endelige RREF

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

4.5.1 Løsning af ligninger ved hjælp af RREF

Hvis en $m\times n$ matrix $R$ er på RREF er ligningssystemet $R \mathbf x = \mathbf b$ med $m$ ligninger og $n$ variable specielt nemt at gå til. Pivotelementerne i $R$ er de eneste indgange i deres søjle $\neq 0$ . Deres søjlenumre svarer til de såkaldte bundne variable. De øvrige søjlenumre svarer til de såkaldte frie variable.

Lad os se på et konkret eksempel. Lad

$R= \begin{pmatrix} 0 & \color{red}{1} & 2 & \color{red}{0} & \color{red}{0} & 1\\ 0 & \color{red}{0} & 0 & \color{red}{1} & \color{red}{0} & 1\\ 0 & \color{red}{0} & 0 & \color{red}{0} & \color{red}{1} & 3 \end{pmatrix}.$ Da er $R$ på RREF, og de tre pivoter står i søjlerne med nummer $2,4,5$ . Hvis vi vil løse en ligning $R\mathbf x=\mathbf b$ hvor $\mathbf x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5.x_6)^T$ og $\mathbf b = (b_1,b_2,b_3)^T$ , så er de bundne variable ${\color{red}{x_2}},{\color{red}{x_4}},{\color{red}{x_5}}$ og de frie variable er ${\color{green}{x_1}},{\color{green}{x_3}},{\color{green}{x_6}}$ .

Skrevet som ligninger svarer $R\mathbf x=\mathbf b$ til ligningssystemet

$\begin{matrix} &\color{red}{x_2} &+ &2\color{green}{x_3} & && &&+ &\color{green}{x_6} &= &b_1\\ && && &\color{red}{x_4} & &&+ &\color{green}{x_6} &= &b_2\\ && && && &\color{red}{x_5}&+ &3\color{green}{x_6} &= &b_3 \end{matrix}$ med løsningsformlerne

$\begin{aligned} \color{red}{x_2} &= b_1 - 2\color{green}{x_3} - \color{green}{x_6}\\ \color{red}{x_4} &= b_2 - \color{green}{x_6}\\ \color{red}{x_5} &= b_3 - 3 \color{green}{x_6}. \end{aligned}$ Bemærk at $x_1$ også kan vælges vilkårligt selvom den ikke direkte indgår i løsningsformlerne ovenfor.

En helt systematisk måde at skrive dette op på, og for at gøre det klart at de frie variable kan vælges vilkårligt, er ved at sætte ${\color{green}{x_1}} = t_1$ , ${\color{green}{x_3}} = t_3$ og ${\color{green}{x_6}} = t_6$ og opskrive:

$\begin{pmatrix} \color{green}{x_1} \\ \color{red}{x_2} \\ \color{green}{x_3} \\ \color{red}{x_4} \\ \color{red}{x_5} \\ \color{green}{x_6} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ b_1 \\ 0 \\ b_2 \\ b_3 \\ 0 \end{pmatrix} + t_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t_3\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t_6\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ -1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix},$ hvor $t_1,t_3,t_6\in\mathbb{C}$ kan vælges vilkårligt. Her ses også bedre hvilke bidrag de frie variable giver, og dette kommer vi til at vende tilbage til i Kapitel 6 når vi undersøger nulrum for matricer.

Her er en alternativ måde at opskrive løsninger på

Vi skriver $\mathbf x_F=(x_1,x_3,x_6)^T$ og $\mathbf x_B=(x_2,x_4,x_5)^T$ , og laver nu en lille omsortering af søjlerne i $R$ . Vi flytter de tre pivot søjle foran. De resterende søjler der svarer til frie variable samler vi til en matrix vi kalder

$R'= \begin{pmatrix} 0&2&1\\ 0&0&1\\ 0&0&3 \end{pmatrix} .$ Nu ser vi at følgende to ligningssystemer er fuldstændigt ensbetydende:

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 &1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\\ x_6 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}$ og

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2\\ x_4\\ x_5\\ x_1\\ x_3\\ x_6 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}.$ Formuleret i matrixsprog siger det at ligningen

$R\mathbf x=\mathbf b$ er ensbetydende med at

$I_3\mathbf x_B+R'\mathbf x_F=\mathbf b$ som er ensbetydende med at

$\mathbf x_B=\mathbf b-R'\mathbf x_F.$

4.6 Elementære matricer

Vi vil nu omfortolke rækkeoperationer ved hjælp af matrixmultiplikation. Hver af de tre typer af rækkeoperationer som vi beskrev i begyndelsen af 4.4 svarer til multiplikation fra venstre med en matrix af en bestemt type.

For eksempel er ombytning af rækkke 1 med række 2 i en $3\times n$ matrix det samme som multiplikation fra venstre med

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$ Multiplikation af den anden række med 5 er detsamme som produkt med

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},$ og operationen at gange den tredie række med $-3$ og lægge den til den første række er detsamme som multiplikation med matricen

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

For eksempel giver udtrykket for matrixmultiplikation

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a -3g& b-3h & c-3i\\ d & e & f\\ g & h & i \end{pmatrix}.$

Vis de resterende to af de ovenstående påstande for $3\times 3$ matricer ved direkte udregning!

Vi siger at en elementær matrix fremkommer ved at udføre præcis en rækkeoperation på den kvadratiske $m\times m$ identitetsmatrix $I_m$ . Hvis denne rækkeoperation er givet ved at multiplicere fra venstre med en matrix $E$ , er den tilhørende elementære matrix altså $EI_m=E$ .

Vi indfører betegnelser for de tre typer af elementære matricer. Lad $P_{rs}$ være den matrix der fremkommer fra identitetsmatricen ved at bytte om på rækkerne med nummer $r$ respektive $s$ . Vi lader $D_i(\lambda)$ betegne matricen, som fremkommer ved at gange $i$ 'te række i identitetsmatricen af orden $m$ med $\lambda$ . Dette er stadig en diagonal matrix, lige som enhedsmatricen, det vil sige at hvis $j\neq k$ er $D_i(\lambda)_{jk}=0$ . Til sidst lader vi $E_{ij}(\lambda)$ betegne den elementære matrix, som fremkommer fra identitetsmatricen af orden $m$ ved at gange $j$ 'te række med $\lambda$ og addere til $i$ 'te række. Denne matrix er lig identitetsmatricen med undtagelse af at der i indgangen i $i$ 'te række og $j$ 'te søjle står $\lambda$ i stedet for $0$ .

At udføre en rækkeoperation på en $m\times n$ matrix $A$ svarer til at gange den tilsvarende elementære $m\times m$ matrix på fra venstre.
En elementær matrix svarende til en rækkeoperation er invertibel. Dens inverse matrix er den elementære matrix svarende til den inverse rækkeoperation.

Bevis

Vi begynder med at bevis for ((ⅰ.)). Vi betragter først tilfældet at $A$ er en $m\times 1$ matrix, det vil sige at $A$ er en søjlevektor. For at spare på det dyrbare papir plejer man at skrive en søjlevektor som $(v_1,v_2,\dots,v_m)^T$ hvor $T$ står for transponering, og gamle vaner er svære at give slip på selv når man skriver for skærmen. Nu regner vi ved at bruge formlen for matrixmultiplikation. Følgende to produkter er nemme at beregne:

$\begin{aligned} P_{ij}(v_1,v_2,\dots,v_m)^T&=(\dots,v_{i-1},v_j,v_{i+1},\dots,v_{j-1},v_i,v_{j+1},\dots)^T\\ D_i(\lambda)(v_1,v_2,\dots,v_m)^T&=(\dots,v_{i-1},\lambda v_i,v_{i+1},\dots)^T \end{aligned}$

Vi er lidt mere forsigtige i det tredie tilfælde.

$E_{ij}(\lambda)(v_1,v_2,\dots,v_m)^T=(w_1,\dots,w_m)$ hvor

$w_r=\sum_s E_{ij}(\lambda)_{rs}v_s$ Hvis $r\neq i$ er $E_{ij}(\lambda)_{rs}=0$ for $r\neq s$ , så at

$w_r=E_{ij}(\lambda)_{rr}v_r=1\cdot v_r=v_r.$ Hvis $r=i$ så er $E_{ij}(\lambda)_{is}=0$ for $s\neq i$ eller $s\neq j$ , så at

$w_r=E_{ij}(\lambda)_{ri}v_i+E_{ij}(\lambda)_{rj}v_j=1\cdot v_i+\lambda\cdot v_j=v_i+\lambda v_j$ Det vil sige,

$E_{ij}(\lambda)(v_1,v_2,\dots,v_m)^T=(\dots,v_{i-1},v_i+\lambda v_j,v_{i+1},\dots)^T$ Vi ser at i alle tre tilfælder er multiplikation med en elementær matrix $EA$ detsamme som den tilsvarende rækkeoperation, hvis $A$ er en søjlevektor.

I det generelle tilfælde kan vi skrive matricen $A$ som opbygget af søjlevektorer af højde $m$ , og bruge 4.9

$\begin{aligned} A&=(A_1,\dots, A_n)\\ EA&=(EA_1,\dots,EA_n) \end{aligned}$

Ifølge specialtilfældet brugt på hver søjle $A_i$ , så fremkommer $EA$ fra $A$ ved at bruge den samme rækkeoperation på hver søjle i $A$ . Men det er det samme som at bruge søjleoperationen på $A$ .

Nu ser vi på del ((ⅱ.)). Hvis $E_1,E_2$ er en elementære matricer der svarer til inverse søjleoperationer, så er $E_1E_2=E_1E_2 I_m$ den matrix der fremkommer ved at udføre først søjleoperationen der svarer $E_2$ på identitetsmatricen, og derefter udføre søjleoperationen der svarer til $E_1$ på resultatet. Da disse søjleoperationer er inverse, ender vi med at få identitetsmatricen tilbage, det vil sige at $E_1E_2=I_m$ . Tilsvarende er $E_2E_1=I_m$ , så at $E_1$ og $E_2$ er inverse matricer.

Nu er vi endelig i stand til at gengive en algoritme til at udregne den inverse matrix.

En $n\times n$ matrix $A$ er invertibel hvis og kun hvis dens RREF er $I_n$ . Hvis $A$ er invertibel er RREF for $n\times (2n)$ matricen

$\left(A | I_n\right)$ lig med $n\times (2n)$ matricen

$\left(I_n | A^{-1}\right).$

Bevis

En $n\times n$ matrix på RREF som ikke er identitetsmatricen bliver nødt til at indeholde en nulrække. Med andre ord, hvis en matrix på RREF er invertibel, så er den nødt til at være identitetsmatricen. Lad os antage at $A$ er invertibel. Som for enhver anden matrix kan vi finde et produkt $E$ af elementære matricer så $E A$ er RREF for $A$ , men da $E$ og $E A$ \linkref{er invertible}{prodinv} bliver denne RREF altså nødt til at være lig identitetsmatricen.

Modsat hvis matricen har RREF lig identitetsmatricen så findes et produkt $F$ af elementære matricer så $F A = I_n$ og $A$ er invertibel med $A^{-1} = F$ , da $F$ som produkt af elementære matricer er invertibel.

Den sidste påstand følger ved at gange matricen $F$ ovenfor på matricen $(A | I_n)$ . Dette matrixprodukt giver $(FA | FI_n)=(I_n | F)$ . Da multiplikation med $F$ fra venstre giver rækkereduktion, og da $(I_n | F)=(I_n| A^{-1})$ er på RREF, er $(I_n,A^{-1})$ den entydigt bestemte RREF af $(A| I_n)$ .

Ovenstående sætning giver en metode til at udregne den inverse matrix.

Lad os undersøge om matricen

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ har en invers, og i så fald finde $A^{-1}$ .

Vi opstiller totalmatricen $(A|I_3)$ og finder RREF:

$\begin{aligned} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \,\stackrel{\sim}{\substack{R_1 \to \frac{1}{2}R_1 \\[1mm] R_3\to R_3-2R_2}}\, &\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right) \\ \,\stackrel{\sim}{\substack{R_3\to R_3-R_1}}\, &\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -\tfrac{1}{2} & -2 & 1 \end{array}\right) \\ \,\stackrel{\sim}{\substack{R_1\to R_1-\tfrac{1}{2}R_3 \\[1mm] R_3\to \tfrac{1}{2}R_3}}\, &\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{3}{4} & 1 & -\tfrac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{4} & -1 & \tfrac{1}{2} \end{array}\right). \end{aligned}\tag{4.14}$ Fra Sætning 4.29 har vi derfor at $A$ er invertibel og dens inverse er

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{3}{4} & 1 & -\tfrac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\tfrac{1}{4} & -1 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 3 & 4 & -2 \\ 0 & 4 & 0 \\ -1 & -4 & 2 \end{pmatrix}.$ Vi kan snildt tjekke efter at $AA^{-1} = A^{-1}A = I_3$ .

Lad $A$ være en $n\times n$ matrix. Så er $A$ invertibel hvis og kun hvis ligningssystemet

$A \mathbf v = \mathbf 0$ kun har løsningen $\mathbf v=\mathbf 0$ .

Bevis

Hvis $A$ er invertibel fås

$A \mathbf v = \mathbf 0\implies A^{-1} (A \mathbf v) = A^{-1}\mathbf 0 =\mathbf 0 \implies (A^{-1} A) \mathbf v = \mathbf 0 \implies \mathbf v = \mathbf 0.$ Hvis $A$ ikke er invertibel kan vi rækkereducere $A$ til en matrix $B$ med en nulrække til sidst (se Sætning 4.29 og Opgave 4.39). Men her gælder $A \mathbf v = \mathbf 0 \iff B \mathbf v = \mathbf 0$ og ligningsystemet $B \mathbf v = \mathbf 0$ har en løsning $\neq \mathbf 0$ , fordi det har mindst en fri variabel svarende til at den sidste søjle ikke indeholder et pivotelement (se afsnit 4.5.1).

4.7 Opgaver

Lad

$P = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12}\\ p_{21} & p_{22} \end{pmatrix}$ være en stokastisk matrix det vil sige alle indgangene i matricen er $\geq 0$ og $p_{11} + p_{21} = 1$ samt $p_{12} + p_{22} = 1$ .

Antag at $p_{21} + p_{12} > 0$ og lad $\mathbf v$ være vektoren

$\begin{pmatrix} \dfrac{p_{12}}{p_{21} + p_{12}}\\ \\ \dfrac{p_{21}}{p_{21} + p_{12}} \end{pmatrix}.$ Hvorfor er $P \mathbf v = \mathbf v$ ? Hvordan relaterer det til Eksempel 4.4 om stokastiske matricer?

Lad $A$ og $B$ være invertible $n\times n$ matricer. Gør detaljeret rede for at $A B (B^{-1} A^{-1}) = I$ ved brug af den associative lov.

Forklar hvorfor matricen

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 5\\ 2 & 5 & 7\\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$ ikke er invertibel.

For hvilke tal $x$ er matricen

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ x & 1 & 1\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ invertibel.

Lad

$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -7 & -8 & -9\\ 3 & -4 & -13 & -14 & -15 \end{pmatrix}.$

Find den reducerede række echelon form for $A$ .
Find samtlige løsninger til ligningssystemet
$\begin{aligned} x -2 y -7z - 8 w &= -9 \\ 3x -4 y -13 z - 14 w &= -15. \end{aligned}$

Udregn den inverse matrix til matricen

$\begin{pmatrix} i & 1 & 1\\ 1 & i & 1\\ 1 & 1 & -i \end{pmatrix}$ og gør rede for alle trin i din beregning.

Skriv matricen

$\begin{pmatrix} 5 & 3\\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ som et produkt af elementære matricer.

Gør rede for at en kvadratisk matrix forskellig fra identitetsmatricen bliver nødt til at indeholde en nulrække hvis den er på RREF.

Lad $A$ og $B$ være to $n\times n$ matricer. Er det rigtigt at

$(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A^2 + B^2 + 2 A B?$ Hvad med

$(A + B)(A - B) = A^2 - B^2?$