1Tal og vektorer i planen

I dette kapitel vil vi introducere tal helt fra de naturlige tal $1, 2, \dots$ , komme ind på negative tal og brøker, for til sidst at berøre de reelle tal og vektorer i planen. Selvom I nok har en god erfaring med dette, er det stadig en god ide at læse dette kapitel, så især notationen kommer ind under huden.

Alt dette leder frem til de komplekse tal i næste kapitel. For at komme i dybden med dem kræves at man er fortrolig med lidt trigonometri og vektorer i planen.

Vi starter med de positive heltal:

$1, 2, 3, 4, \dots$

Det at tælle er fundamentalt for mennesket og arkæologiske kilder nævner at mennesket har gjort det i mindst 50.000 år. Man må formode at tællesymbolerne dengang har været primitive uden avancerede symboler som $0, \dots, 9$ . Måske har man symboliseret $1, 2, 3, 4, 5$ som nedenfor

Tallenes historie er fascinerende.

1.1 Det mirakuløse tal nul

Notationen med pinde er ikke specielt økonomisk. Vores titalssystem er i dag så indgroet i vores kultur, at vi synes det er spild af blæk at skrive tallet $20$ som

Man må ikke glemme at notationen $20$ indeholder visdom gemt i årtusinders ophobet menneskelig erfaring. Ved at indføre tallet $0$ kan man tælle i grupper af $1, 10, 100, \dots$ . Således dækker notationen $20$ over at man tæller $0$ grupper af $1$ og $2$ grupper af $10$ . I det hele taget er symbolet $0$ et mirakel, som har bragt menneskeheden betydeligt videre efter det blev indført at den indiske matematiker Brahmagupta i 628. At have et specielt symbol for ingenting er en smuk abstraktion.

Omkring computerens opfindelse kom der mere fokus på at man ikke nødvendigvis behøver at tælle med hensyn til grupper af størrelser $1, 10, 100, \dots$ . Man kan også tælle binært, det vil sige med hensyn til grupper af størrelser $1, 2, 4, 8, 16, \dots$ . I det binære talsystem kan de $20$ pinde skrives

$10100.$ Måske er dette mere elegant - enten er en gruppe der ( $1$ ) eller også er den der ikke ( $0$ ). Læg mærke til at tallet $0$ er central lige meget hvilket talsystem man vælger.

Brahmagupta opfandt tallet $0$ i år $628$ . Hvad gælder om tallet $628$ ?

Det skrives $1010001000$ i det binære talsystem.

Det skrives $1001110100$ i det binære talsystem.

I det oktale talsystem, det vil sige med hensyn til grupper af størrelse $1, 8, 64, 512, \dots$ , skrives $628$ som $1210$ .

Det skrives DCXXVIII som romertal.

1.2 De naturlige tal

Rent matematisk har de naturlige tal egentlig ikke noget at gøre med hvilket talsystem de bliver skrevet op i. I den abstrakte matematiske verden giver det god mening at bruge pinde til at repræsentere naturlige tal. Faktisk er det sådan man indfører de naturlige tal med den aksiomatiske metode under navnet Peanos aksiomer.

Vi definerer de naturlige tal til at være de positive heltal:

$1, 2, 3, \dots,$ hvor vi allerede ved hvordan man adderer og multiplicerer naturlige tal. Mængden af naturlige tal betegnes med $\mathbb{N}$ . I tilfælde hvor vi gerne vil starte fra $0$ i stedet for $1$ , så skriver vi $\mathbb{N}_0$ .

1.3 De hele tal

Vi ved godt at der findes negative tal, men hvordan vil vi egentlig forklare dem? Skru tiden nogle hundrede år tilbage, og forestil dig hvor svært det har været at komme fra at man har $0$ kroner i sin pung og skylder $5$ kroner væk, til at abstrahere og sige at man har $-5$ kroner i sin pung.

I matematikkens verden drejer det sig om at kunne løse ligninger. Indenfor de naturlige tal kan man ikke løse de enkleste ligninger. For eksempel har ligningen

$x + 5 = 3 \tag{1.1}$ ikke løsninger i de naturlige tal. Mere formelt skriver vi at der ikke findes noget $x\in \mathbb{N}$ , som opfylder at $x + 5 = 3$ . For at kunne løse denne ligning bliver nødt til at udvide de naturlige tal til de hele tal

$\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$ som betegnes $\mathbb{Z}$ (for Zahlen på tysk). I mængden af heltal har ligningen (1.1) løsningen $x=-2$ .

1.4 De rationale tal

Der er stadig ret enkle ligninger som for eksempel

$2 x = 1, \tag{1.2}$ som vi ikke kan løse med et heltal $x\in \mathbb{Z}$ . Det er grunden til at vi indfører mængden af brøker eller rationale tal, som betegnes $\mathbb{Q}$ . Brøker er som bekendt tal af formen $p/q$ , hvor $p\in \mathbb{Z}$ og $q\in\mathbb{N}$ . Ligningen (1.2) kan løses med brøken $x = \frac{1}{2}$ .

Hvad gælder om ligningen

$\frac{1}{2} + \frac{x}{3} = 1?$

Den har to løsninger.

Ingen løsninger til ligningen er naturlige tal.

Der er kun en løsning, som er et rationalt tal mellem $1$ og $2$ .

Der er kun en løsning, som er et rationalt tal mellem $0$ og $1$ .

Det er ikke svært at lægge heltal sammen eller gange to brøker sammen, men forestil dig nu at du har glemt hvordan man lægger brøker sammen. Kunne du benytte hjernekraft til at finde ud af det, blot ud fra indfaldsvinklen med at man skal kunne løse ligninger? Lad os tage eksemplet

$s = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}. \tag{1.3}$ Vi er godt klar over at $s$ bestemt ikke er lig med

$\frac{1 + 1}{2+ 3} = \frac{2}{5}$ i og med at $s$ må være større end $\frac{1}{2}$ . Men hvordan finder vi $s$ som brøk? Her hjælper ligninger os. Vi ved at $x = \frac{1}{2}$ og $y = \frac{1}{3}$ er løsninger til ligningerne

$\begin{aligned} 2 x & = 1\\ 3 y & = 1. \end{aligned}$ Hvis vi nu ganger første ligning med $3$ og anden ligning med $2$ får vi ligningerne

$\begin{aligned} 6 x & = 3\\ 6 y & = 2. \end{aligned}$ Disse to ligninger kan vi nu lægge sammen og få ligningen

$6 x + 6 y = 6 (x + y) = 5.$ Derfor er

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = x + y = \frac{5}{6}.$ Et alternativ til ligningerne kunne være at gange ligningen (1.3) igennem med $6 = 2\cdot 3$ og få

$6 s = 6 \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = \frac{6}{2} + \frac{6}{3} = 3 + 2 = 5\quad \text{det vil sige}\quad s = \frac{5}{6}.$ Indrømmet, matematisk har vi snydt en smule her. Faktisk har vi også brug for at sige hvornår to brøker er ens, som for eksempel

$\frac{5}{6} = \frac{10}{12},$ men det er en anden historie.

Efter præcis samme metode som i eksemplet kan vi finde (med bogstaver) formlen

$\frac{a}{s} + \frac{b}{t} = \frac{a t + b s}{s t} \tag{1.4}$ for addition af de to brøker $\frac{a}{s}$ og $\frac{b}{t}$ . Prøv langsomt at gå igennem metoden, som følger: $x = \frac{a}{s}$ og $y = \frac{b}{t}$ er løsninger til ligningerne

$\begin{aligned} s x & = a\\ t y & = b. \end{aligned}$ Ved at gange første ligning med $t$ og anden ligning med $s$ og addere ligningerne fremkommer formlen (1.4).

Diofants ungdom varede $1/6$ af hans liv. Han fik skæg efter $1/12$ mere. Efter $1/7$ mere blev han gift. Fem år senere fik han en søn. Sønnen levede halvt så længe som faderen og Diofant døde fire år efter sønnen. Hvor gammel blev Diofant?

1.5 De reelle tal

Vi begyndte med de naturlige tal $\mathbb{N}$ og kunne ikke løse enkle ligninger. Så udbyggede vi til de hele tal $\mathbb{Z}$ , men kunne her stadig ikke løse helt simple ligninger som $2 x = 1$ . Det gjorde at vi ''opfandt'' brøker eller de rationale tal $\mathbb{Q}$ . Her har vi at gøre med tal, hvor man kan addere, subtrahere, multiplicere og dividere (med alle tal undtagen $0$ ). Med symboler har vi lavet kæden (hvor $\subset$ betyder ''ægte delmængde af''):

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}.$ Til hverdag omgiver vi os praktisk taget kun med rationale tal. Computere kan strengt taget kun håndtere rationale tal. Men rationale tal kan sagtens være overordentligt komplicerede med store tællere og nævnere som for eksempel

$\frac{237894619875623478956127341734059237458923745237528903475203857} {534058927340589273450923475029345723049587234095723408957121232}.$ Findes der andre tal end de rationale?

Her støder vi på et af de mest overraskende elementer i matematikkens historie. Svaret er ja og skal findes i Pythagoras' læresætning om længden af hypotenusen i en retvinklet trekant. Som du helt givet husker, siger Pythagoras for en retvinklet trekant med hypotenuselængde $c$ og med katetelængder $a$ og $b$ at

$a^2 + b^2 = c^2.$ Vi kan illustrere det med vektorer i et koordinatsystem:

Her siger Pythagoras at længden af vektoren med koordinaterne $(a, b)$ er $\sqrt{a^2 + b^2}$ eller i mere dagligdags sprog: Længden af diagonalen i et rektangel med sidelængder $a$ og $b$ er $\sqrt{a^2 + b^2}$ .

Men overraskende nok er længden af diagonalen i et rektangel, hvor begge sidelængder er $1$ (det vil sige et kvadrat med sidelængde $1$ ) ikke er et rationalt tal. Noget så naturligt som længden af diagonalen nedenfor er ikke en brøk, men altså et såkalt irrationalt tal.

Et af de mest berømte matematiske argumenter, flere tusinde år gammelt, er netop et bevis for dette.

Hovedingrediensen i det matematiske bevis for at kvadratroden af $2$ ikke er et rationalt tal er følgende udsagn om naturlige tal: Kvadratet at et ulige tal er ulige f.eks., $3^2 = 9, 5^2 = 25, 7^2 = 49$ . Kan du lave et bevis for at udsagnet gælder for alle ulige tal?

Selvom man til daglig egentlig ikke har brug for irrationale tal, er det i matematikken ekstremt vigtigt at kunne håndtere tal som $\sqrt{2}$ . I abstrakt matematik kan man vise at der faktisk er langt flere irrationale tal end rationale. Disse udgør tilsammen de reelle tal, som betegnes $\mathbb{R}$ . Det er en anelse teknisk at konstruere de reelle tal matematisk, men vi vil alligevel benytte dem, når vi regner med vektorer i planen.

1.6 Vektorer i planen

En vektor $\mathbf v$ i planen er givet ved dens koordinater $\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$ , som er ordnede par af reelle tal $x, y\in \mathbb{R}$ . Af typografiske hensyn skrives vektoren $\mathbf v$ også ofte som $(x, y)$ .

Det er meget naturligt at lægge to vektorer sammen og gange en vektor med et tal på følgende måde: Betragt vektorerne, og bemærk at vektorer er skrevet med fed skrift:

$\mathbf u = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\quad\text{og}\quad \mathbf v = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}.$ Så er summen $\mathbf u + \mathbf v$ lig med

$\begin{pmatrix} a + c \\ b + d \end{pmatrix}$ og skalarmultiplikationen $\lambda \mathbf u$ med tallet $\lambda\in\mathbb{R}$ , er lig med

$\begin{pmatrix} \lambda a \\ \lambda b \end{pmatrix}.$ Vi betegner mængden af vektorer givet ved deres koordinater som $\mathbb{R}^2$ . Fra din baggrund i matematik ved du at det indre produkt (også kaldet prikprodukt) mellem $\mathbf u$ og $\mathbf v$ er givet ved formlen

$\mathbf u \cdot \mathbf v = a c + b d.$ Det indre produkt har en masse gode egenskaber, eksempelvis gælder:

$\begin{aligned} (\lambda \mathbf u)\cdot \mathbf v &= \lambda (\mathbf u\cdot \mathbf v)\\ \mathbf u \cdot (\mathbf v + \mathbf w) &= \mathbf u\cdot \mathbf v + \mathbf u\cdot \mathbf w. \end{aligned}$

Den Euklidiske norm (længden) af vektoren $\mathbf u\in\mathbb{R}^2$ er givet ved formlen

$\left\vert \mathbf u \right\vert = \sqrt{\mathbf u\cdot \mathbf u} = \sqrt{a^2 + b^2}\qquad(\text{NB: } \left\vert \mathbf u \right\vert^2 = \mathbf u\cdot \mathbf u).$

En vektor $\mathbf v$ siges at være en enhedsvektor hvis den har norm $1$ , det vil sige $\left\vert \mathbf v \right\vert = 1$ .

To vektorer $\mathbf u$ og $\mathbf v$ siges at være ortogonale (vinkelrette) hvis $\mathbf u\cdot \mathbf v = 0$ .

1.7 Ortogonal projektion af en vektor på en anden vektor

Lad $\mathbf u$ og $\mathbf v$ være to vektorer som vist nedenfor. Husk, ved at gange $\mathbf v$ med en skalar $\lambda\in \mathbb{R}$ opnås en ny vektor der er parallel med $\mathbf v$ , men som har længden $|\lambda||\mathbf v|,$ altså længden af vektoren er skaleret. Hvor meget skal vi forkorte eller forlænge $\mathbf v$ med, for at afstanden mellem $\lambda \mathbf v$ og $\mathbf u$ bliver mindst mulig?

Der er her tale et minimeringsproblem. Vi kender vektorerne $\mathbf u$ og $\mathbf v$ og skal finde tallet $\lambda$ så længden

$\left\vert \mathbf u - \lambda \mathbf v \right\vert$ af vektoren $\mathbf u - \lambda \mathbf v$ bliver minimal; længden af denne vektor svarer til afstanden mellem $\mathbf u$ og $\lambda\mathbf v$ . Det er præcis det samme som at finde $\lambda$ , som minimerer funktionen

$\begin{aligned} f(\lambda) &= |\mathbf u - \lambda \mathbf v|^2 = (\mathbf u - \lambda \mathbf v)\cdot (\mathbf u - \lambda \mathbf v) = \mathbf u\cdot \mathbf u -2 \lambda \mathbf u\cdot \mathbf v + \lambda^2 \mathbf v\cdot \mathbf v\\ &=\left\vert \mathbf v \right\vert^2 \lambda^2 - 2 (\mathbf u\cdot \mathbf v) \lambda + \left\vert \mathbf u \right\vert^2. \end{aligned}$ Faktisk er funktionen $f$ en parabel i $\lambda$ , som vender benene opad og med bundpunkt for

$\lambda = \frac{\mathbf u\cdot \mathbf v}{\left\vert \mathbf v \right\vert^2}.$ Med denne værdi for $\lambda$ gælder (prøv selv at indsætte udtrykket)

$(\mathbf u - \lambda \mathbf v) \cdot \mathbf v = 0,$ det vil sige vektorerne $\mathbf u-\lambda \mathbf v$ og $\mathbf v$ er vinkelrette. Det er måske ikke så overraskende ud fra tegningen ovenfor.

For vektorer $\mathbf u$ og $\mathbf v\neq \mathbf 0$ i planen, så kaldes vektoren

$\mathbf w = \Bigl(\frac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{|\mathbf v|^2}\Bigr)\mathbf v \tag{1.5}$ for den ortogonale projektion af $\mathbf u$ på $\mathbf v$ .

Vi skal se nærmere på dette begreb i højere dimensioner i Kapitel 9, som er helt essentielt for at løse og undersøge egenskaber for store ligningssystemer i praksis.

Betragt vektorerne

$\mathbf u = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix}\qquad\text{og}\qquad \mathbf v = \begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}.$ For hvilket $\lambda$ er $\mathbf u - \lambda \mathbf v$ vinkelret på $\mathbf v$ ?

$\lambda = 1$ .

$\lambda = \frac{2}{3}$ .

$\lambda = \frac{4}{5}$ .

$\lambda = \frac{3}{5}$ .

Hvis $\mathbf w$ er den ortogonale projektion af $\mathbf u$ på $\mathbf v$ , så angiver tallet

$d = |\mathbf u-\mathbf w| \tag{1.6}$ afstanden fra $\mathbf u$ til linjen gennem origo og med retning $\mathbf v$ (linjen udspændt af vektoren $\mathbf v$ ).

Lad $d$ betegne afstanden fra punktet $(1, 1)$ til linjen gennem $(0, 0)$ og $(2, 1)$ . Hvad gælder om $d$ ?

$d = \frac{1}{2}.$

$d = 0.447214.$

$d = \frac{\sqrt{5}}{5}.$

$d = \frac{2}{\sqrt{5}}.$

1.8 Cosinus og sinus til en vinkel

Vi repeterer cosinus og sinus af vinkler. Mængden af alle enhedsvektorer (vektorer med norm $1$ ) er lige præcis de vektorer med koordinater på enhedscirklen nedenfor.

Enhedsvektoren $(x, y)$ på tegningen er entydigt givet ud fra dens vinkel $\theta$ med $x$ -aksen.

Cosinus, $\cos(\theta)$ , til vinklen $\theta$ er defineret som $x$ -koordinaten og sinus, $\sin(\theta)$ , som $y$ -koordinaten til enhedsvektoren. Denne definition giver omgående den velkendte formel

$\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1.$

Ud fra tegningen ovenfor kan man også aflæse følgende ligninger:

$\begin{aligned} \cos(-\theta) &= \cos(\theta)\\ \sin(-\theta) &= - \sin(\theta)\\ \cos(\theta + \pi/2) &= -\sin(\theta)\\ \sin(\theta + \pi/2) &= \cos(\theta). \end{aligned}\tag{1.7}$

Vinkler kan angives i form af grader eller radianer. Vi vil altid regne i radianer, svarende til at omkredsen af enhedscirklen er $2\pi$ .

Lad $x$ være cosinus til $\pi/4$ (svarer til $45$ grader). Hvad gælder om $x$ ?

$x = \sin(\pi/4).$

$2 x^2 = 1.$

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

$x = \sin(3\pi/4).$

For den retvinklede trekant

kan man også via definitionen af cosinus og sinus ud fra enhedscirklen finde frem til formlerne

$\begin{aligned} c \cos(\theta) &= a\\ c \sin(\theta) &= b. \end{aligned}\tag{1.8}$

Disse formler er meget nyttige, når man skal regne på vektorer i planen, hvilket vi får brug for i næste kapitel om komplekse tal.

Findes en retvinklet trekant med sidelængder $3$ , $4$ og $5$ ? I givet fald, bestem vinklerne i denne trekant.

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf u\cdot \mathbf v} {\left\vert \mathbf u \right\vert \left\vert \mathbf v \right\vert}. \tag{1.9}$

Situationen med $\lambda<0$ kan gennemgåes på en tilsvarende måde, og leder frem til den samme formel.

1.9 Cosinus og sinus for summen af to vinkler

Man kan ret nemt overbevise sig om at $\cos(A + B)$ ikke er lig med

$\cos(A) + \cos(B)$ for to vinkler $A$ og $B$ . For eksempel gælder $\cos(0) + \cos(0) = 2 \neq \cos(0+0)$ . Men findes der en formel, som udtrykker $\cos(A + B)$ ved hjælp af cosinus og sinus til $A$ og $B$ ?

Ud fra tegningen ovenfor kan vi udlede en formel for cosinus til differencen mellem de to vinkler $A$ og $B$ . Da de to vektorer er enhedsvektorer, er deres indre produkt givet fra (1.9) netop lig med cosinus til forskellen mellem deres vinkler dvs.

$\cos(A - B) = \begin{pmatrix} \cos(A) \\ \sin(A) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cos(B) \\ \sin(B) \end{pmatrix} = \cos(A) \cos(B) + \sin(A) \sin(B). \tag{1.10}$

Ved at lave et lille trick og udskifte $B$ med $-B$ i formlen (1.10) får vi

$\cos(A + B) = \cos(A - (- B)) = \cos(A)\cos(-B) + \sin(A)\sin(-B).$ Ved nu at benytte $\cos(-B) = \cos(B)$ og $\sin(-B) = - \sin(B)$ fra (1.7), kommer vi frem til formlen

$\cos(A + B) = \cos(A) \cos(B) - \sin(A) \sin(B). \tag{1.11}$

Hvad med additionsformler for sinus? Her benyttes igen (1.7) til at slutte

$-\sin(x) = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\quad\text{samt}\quad \cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right),$ det vil sige

$\sin(A + B) = -\cos\left(A + B +\frac{\pi}{2}\right) = -\left(\cos(A) \cos\left(B+\frac{\pi}{2}\right) - \sin(A) \sin\left(B+\frac{\pi}{2}\right)\right).$ og dermed

$\sin(A + B) = \cos(A) \sin(B) + \sin(A) \cos(B). \tag{1.12}$

Nu overlades det som en opgave til læseren at overbevise sig om at den sidste formel

$\sin(A - B) = \sin(A) \cos(B) - \sin(B) \cos(A) \tag{1.13}$

gælder.

1.10 Opgaver

Lad $d$ betegne afstanden fra punktet $(2, 1)$ til linjen gennem $(0, 0)$ og $(1, 3)$ . Hvad gælder om $d$ ?

$d > \frac{3}{2}.$

$1 < d < \frac{3}{2}$

$2 d^2 = 5.$

$3 d^2 = 5.$

Giv et præcist argument for at

$\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta).$

Lommeregneren siger at $\sin(\pi/3)$ cirka er $0.866$ . Giv et geometrisk argument for at

$\sin(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ved hjælp af en retvinklet trekant, hvor de to ikke-rette vinkler er $\theta = \pi/3$ og $\theta/2 = \pi/6$ .

Hint

Vi kan starte med en ligesidet trekant med sidelængder på $2$ . Vinklerne vil derfor alle være lige store, og derfor $\pi/3$ . Skær nu trekanten over i to retvinklede trekanter som vist nedenfor. Så får vi dermed en retvinklet trekant med diagonal $2$ , en vinkel på $\pi/3$ og en hosliggende katete på $1$ .

Find den modsatrettede katete $\color{red}{?}$ fra Pythagoras sætning. Nu skal bruges sammenhængen for sinus til en vinkel i en retvinklet trekant.