2De komplekse tal

Lad os vende tilbage til historien om ligninger og tal. Det vil føre for vidt at forklare, hvordan man systematisk indfører tal, som ikke behøver være brøker. Kort sagt laver man dem som uendelige decimaltal, men detaljerne er ret kedelige og lidt besværlige. Så vi vil antage at vi ved hvad reelle tal er. Man kan ikke finde et reelt tal, som løser ligningen $$x^2 + 1 = 0.$$ Intet reelt tal ganget med sig selv giver $-1$. Enhver simpel lommerregner vil blinke en fejlmeddelelse, hvis du forsøger at tage kvadratroden til $-1$. Derimod vil et moderne computer algebra system som Maple eller Mathematica formentlig give dig symbolet $I$ som output. Hvad er dette $I$?

2.1 Definitioner og regneregler

Vi har brug for at vide hvad komplekse tal er og hvordan man regner med dem.En specielt vigtig regneregel for reelle tal hedder den distributive lov. Den siger at $$x (y + z) = x y + x z$$ for $x, y, z\in \mathbb{R}$. En anden velkendt regel siger at faktorernes orden er ligegyldig, eller at multiplikation er kommutativ, det vil sige $x y = y x$.Lad os antage at vi oven i de reelle tal kaster et opdigtet eller imaginært tal $i$ ind, som har egenskaben at Hvis $a, b, c, d$ er reelle tal og vi antager at $i$ adlyder de almindelige regneregler får vi følgende udregning: $$\begin{aligned} \color{blue}{(a + b i) (c + d i)} &= (a+ b i) c + (a + b i) d i\\ &= a c + b i c + a d i + b i d i\\ &= a c + b c i + a d i + b d i^2\\ &= a c + b c i + a d i - b d\\ &= \color{blue}{(a c - b d) + (a d + b c) i}. \end{aligned}$$ Det vil sige to tal på formen $x + y i$, hvor $x$ og $y$ er reelle tal, ganger sammen til et tal af samme standard form.Faktisk kan man vise, at når man definerer multiplikation som ovenfor og addition som $$(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d)i,$$ så får man en mængde af nye tal, som opfylder alle velkendte regneregler for reelle tal, som f.eks. $$\begin{aligned} x (y z) &= (x y) z\\ x( y + z) &= x y + x z\\ x y & = y x\\ 1 x &= x. \end{aligned}$$ Hvorfor benyttes notationen $i$ for en kvadratrod af $-1$? Begrundelsen er historisk og daterer sig tilbage til $1500$-tallet, hvor den italienske matematiker Cardano havde behov for at regne med opdigtede eller imaginære tal for at finde en formel til løsning af tredjegradsligninger. Det komplekse tal $i$ kaldes for den imaginære enhed. Man skal dog ikke forledes til at tro at de komplekse tal kun er et påfund opdigtet for fem lange sekler siden af en tosset matematiker. De dukker hele tiden op i anvendelser. Den ene af de to mest fundamentale fysiske teorier, kvantefysikken, er formuleret i termer af komplekse tal og vektorrum.Vi kommer også ofte til at få brug for komplekse tal senere i kapitlerne fra og med Kapitel 8, selv når vi står med ligningssystemer der består af reelle tal.Vi har at $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$, ved at se at et reelt tal $x$ også er et komplekst tal $x + 0i$.Ved hjælp af formlen for multiplikation af komplekse tal ses for $z = x + iy$, at Vi ser at $z$ ganget med sin komplekst konjugerede altid giver et reelt tal. Dette betyder at for $z\neq 0$ gælder $$z\frac{\overline{z}}{|z|^2} = \frac{|z|^2}{|z|^2} = 1.$$ For ethvert komplekst tal $z\neq 0$ har vi nu fundet et andet komplekst tal $\overline{z}/|z|^2$, der ganget med $z$ giver $1$. Dette betyder at vi kan dividere med komplekse tal, ved at bruge $$\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}.$$ Specifikt, hvis vi har to komplekse tal $z_1$ og $z_2\neq 0$, så har vi nu en meget nyttig formel for at skrive $z_1/z_2$ på standard form På tilsvarende måde kan man udlede nogle andre nyttige formler, som f.eks. $$\begin{aligned} |\overline{z}| &= |z| \\ |z_1z_2| &= |z_1|\,|z_2| \\ \Bigl|\frac{z_1}{z_2}\Bigr| &= \frac{|z_1|}{|z_2|}\\ \overline{z_1z_2} &= \overline{z_1}\,\overline{z_2} \\ \overline{\Bigl(\frac{z_1}{z_2}\Bigr)} &= \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}, \end{aligned}\tag{2.2}$$ hvor det i divisionsformlerne naturligvis er antaget at $z_2\neq 0$.

2.1.1 Mandelbrotmængden

Geometrisk opholder de komplekse tal sig i to dimensioner, mens de almindelige tal kun bevæger sig på en linje i en dimension.Man kan benytte de komplekse tal til at generere såkaldte fraktaler som Mandelbrotmængden som er visualiseret nedenfor. Mandelbrotmængden er blevet kaldt et af de smukkeste og mest komplicerede objekter i moderne matematik. Mandelbrotmængden er frembragt ene og alene ved at iterere multiplikationer og additioner med komplekse tal.

2.2 Geometrisk fortolkning og polær form

Den geometriske fortolkning af de komplekse tal blev først introduceret af den danske matematiker Caspar Wessel (1745-1818) i 1797.Det forekommer ret naturligt at opfatte et komplekst tal $z = x + i y$, som punktet $(x, y)$ i et koordinatsystem.Med dette geometriske billede, ser vi også at modulus $|z|$ lige præcis svarer til normen af vektoren $(x,y)$. Vi interesserer os nu også for vinklen $\theta$.Læg mærke til at hvis $\theta$ er argumentet for det komplekse tal $z$, så er $$\frac{z}{\left\vert z \right\vert} = \mathrm{e}^{i \theta}. \tag{2.4}$$ Det er fordi at $z/\left\vert z \right\vert$ præcis svarer til vektoren $(x, y)$ ganget med dens reciprokke længde. Denne vektor er en enhedsvektor, som danner vinklen $\theta$ med $x$-aksen. Det vil sige den svarer præcis til det komplekse tal $\mathrm{e}^{i\theta}$.Ligningen (2.4) giver den smukke geometriske repræsentation $$z = \left\vert z \right\vert \mathrm{e}^{i\theta} \tag{2.5}$$ af det komplekse tal $z$. Fremstillingen (2.5) kaldes for den polære form af $z$.Denne repræsentation fortjener at blive kaldt smuk, fordi den afspejler sig mirakuløst i multiplikationen af komplekse tal: Lad $z_1$ og $z_2$ være to komplekse tal med argumenter henholdsvis $\theta_1$ og $\theta_2$. Så er $$z_1 z_2 = \left\vert z_1 \right\vert \mathrm{e}^{i\theta_1} \left\vert z_2 \right\vert \mathrm{e}^{i \theta_2} =\left\vert z_1 \right\vert \left\vert z_2 \right\vert \mathrm{e}^{i(\theta_1+ \theta_2)}. \tag{2.6}$$ Med ord har vi gjort rede for at man multiplicerer to komplekse tal ved at multiplicere deres længder og addere deres argumenter. Dette er særligt brugbart når man opløfter et komplekst tal i en potens. Hvis $n$ er et heltal og $z = |z|\mathrm{e}^{i\theta}$, så får vi Det sidste lighedstegn i (2.6) har vi rent faktisk ikke vist endnu og det er da også et af hovedresultaterne: BevisLæg i øvrigt mærke til verdens smukkeste formel: $$\mathrm{e}^{i \pi} + 1 = 0.$$ Formlen kombinerer på minimal vis de allervigtigste konstanter i matematikken: $\mathrm{e}, i, \pi, 1$ og $0$ og følger af definitionen i (2.3). XKCD har også sin mening om den sag.Lad os tage et konkret eksempel hvor vi omskriver et komplekst tal til polær form.

2.2.1 De Moivres formel

Abraham de Moivre var en fransk matematiker, som udover at beskæftige sig med sandsynlighedsteori også fik sit navn udødeliggjort gennem De Moivres formel. Denne formel siger i al sin enkelhed at der for et naturligt tal $n$ og et reelt tal $x$ gælderDet er ikke svært at bevise formlen via Sætning 2.10 ovenfor, som medfører at $$(\cos(x) + i \sin(x))^n = (\mathrm{e}^{i x})^n = \mathrm{e}^{i n x} = \cos(n x) + i \sin( n x).$$ Ikke desto mindre er (2.9) et mirakel, som markerer den stærke forbindelse mellem komplekse tal og trigonometriske funktioner. For eksempel kan man benytte De Moivres formel til at udlede formler som $$\cos(3 x) = 4 \cos(x)^3 - 3 \cos(x). \tag{2.10}$$

2.3 Andengradsligningen og højeregradsligninger

Lad os rette opmærksomheden mod ligningen $$z^n = 1, \tag{2.11}$$ hvor $n$ er et naturligt tal. Hvis vi kun begrænser os til de reelle tal, har (2.11) højst to løsninger (for eksempel for $n=2$) og nogle gange kun en (for eksempel for $n=3$). I de komplekse tals domæne har vi to dimensioner og kan boltre os både lodret og vandret. En løsning $z$ til (2.11) bliver nødt til at have modulus $1$ det vil sige $z = \mathrm{e}^{i\varphi}$ med $\varphi\in [0, 2\pi)$. Da $$z^n = \mathrm{e}^{i n \varphi} = \cos(n \varphi) + i \sin (n \varphi) = 1$$ har vi altså $2 \pi m = n \varphi$ for et helt tal $m\in \mathbb{Z}$, da alle argumenter for $1$ er heltalsmultiplum af $2\pi$. Hvis $\varphi$ er argumentet for $z$ har vi altså kun mulighederne $m = 0, 1, \dots, n-1$.Dermed kan alle løsninger til (2.11) skrives som passende potenser af $\epsilon_n = \mathrm{e}^{i 2 \pi/n}$: $$\epsilon_n^m = \mathrm{e}^{m \frac{2\pi i}{n}},$$ hvor $m = 0, 1, \dots, n-1$. Vi har faktisk bevist at (2.11) altid har $n$ forskellige løsninger over de komplekse tal.Bevis

2.3.1 Den gode gamle andengradsligning

Vi er nu interesserede i at finde komplekse løsninger til den velkendte andengradsligning $$az^2 + bz + c = 0, \tag{2.13}$$ hvor $a,b,c\in\mathbb{C}$ og $a\neq 0$.Her støder vi på det verdensberømte trick (completing the square): $$a z^2 + b z + c = a\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4 a} + c.$$ Ved at gange (2.13) igennem med $4a$, får vi derfor $$0 = 4a(az^2+bz+c) = (2az+b)^2-b^2+4ac.$$ Ved at isolere diskriminanten $D = b^2-4ac$, så får vi den ækvivalente ligning $$(2az+b)^2 = D.$$ Hvis vi i første omgang leder efter $\omega = 2az+b$, så er dette en ligning $\omega^2 = D$ på samme form som i Sætning 2.16. Vi ved derfor at der er to løsninger for $\omega,$ som vi kan kalde $\pm\sqrt{D}$. Herefter kan vi isolere $z$ i $2az+b = \omega$. Dette er opsummeret i sætningen nedenfor. Her er den polære form vigtig, da hvis $D = b^2-4ac$ har polær form $D = r\mathrm{e}^{i\theta}$, så kan vi finde $\sqrt{D} = \sqrt{r}\mathrm{e}^{i\theta/2}$.

2.3.2 Algebraens fundamentalsætning

Vi så ovenfor at andengradsligninger altid har løsninger i de komplekse tal. Det helt enestående er at dette resultat også gælder for $n$'te gradsligninger det vil sige ligninger af formen $$a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0 = 0,$$ hvor $a_n, \dots, a_0\in\mathbb{C}$ og $a_n\neq 0$. Vi har blot vist det for $n=2$, men det gælder for alle $n = 1, 2, 3, \dots$!Denne perle kaldes for algebraens fundamentalsætning. Det er spændende at læse om historien bag denne sætning.Der findes ikke et algebraisk bevis for sætningen a la det vi lavede for $n=2$.

2.3.3 Højeregradsligninger og multiplicitet

Selvom der ikke er en algebraisk formel for at finde løsninger til alle $n$'te gradsligninger, så er der en meget pæn sammenhæng mellem graden af ligningen og antallet af løsninger.Vi ser at for enhver $n$'te gradsligning med $n>0$, så vil der altid være præcis $n$ komplekse løsninger (når multipliciteterne tælles med). Dette er bestemt ikke tilfældet hvis man kun kigger efter reelle løsninger, hvor der muligvis slet ingen reelle løsninger er. I den næste store revision af noterne vil jeg tilføje et mere dybdegående kapitel om komplekse polynomier hvor Sætning 2.20 bevises, men for nu må I nøjes med at acceptere resultatet. Multipliciteten af en rod er ikke meget vigtig lige her og nu, men det bliver det senere når vi skal finde egenværdier for en matrix i Kapitel 8.

2.4 Om komplekse tal og periodiske fænomener

Cosinus og sinus er rasende interessante funktioner. De er matematikkens fremmeste våben i beskrivelsen af periodiske fænomener som for eksempel planetbaner og bølgebevægelser. De bliver endnu mere anvendelige, når man betragter dem ved hjælp af den komplekse eksponentialfunktion $\mathrm{e}^{i x}$.En periodisk funktion $f(t)$ er en funktion, som gentager sig selv efter et bestemt tidsrum $T$ det vil sige $f(t) = f(t + T)$. For eksempel er både sinus og cosinus periodiske funktioner med periode $T = 2\pi$.Uden at afsløre den fulde sandhed Spoiler kan jeg her skrive at man normalt kigger på cosinus- og sinusfunktioner på formen $$A \cos(N x)\qquad \text{og} \qquad A \sin(N x), \tag{2.16}$$ hvor $A$ er et tal, som angiver højden (amplituden) af bølgerne og $N$ er et tal, som beskriver antal bølger per tidsenhed (frekvensen). Cosinus- og sinusfunktionerne i (2.16) samles under et i funktionerne $A \mathrm{e}^{i N x}$.Disse funktioner er byggeklodser for naturligt forekommende periodiske fænomener.For eksempel er den periodiske funktion $\cos(x)^3$:sum af de to periodiske funktioner $\frac{1}{4} \cos(3 x)$ og $\frac{3}{4} \cos(x)$:Dette kan aflæses af formlen i (2.10), som vi netop fik ved hjælp af $$(\mathrm{e}^{i x})^3 = \mathrm{e}^{i (3 x)}.$$ For at få et indtryk af de komplekse tals nytte i signalbehandling opfordres du til at kigge nærmere på opgaverne.

2.5 Opgaver