8Egenværdier og egenvektorer

Diagonalmatricer er uden tvivl de pæneste matricer vi kan arbejde med. I lineære ligningssystemer svarer en diagonal systemmatrix til at der kun indgår én variabel i hver ligning, så man kan direkte aflæse løsningerne.

I andre tilfælde kan det være brugbart at udregne potensen af en matrix (se Eksempel 4.4), det vil sige udregne $A^2, A^3, \dots$ af en kvadratisk matrix $A$ . For en kvadratisk diagonalmatrix er disse operationer meget mere overkommelige.

Hvis

$D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & &\ddots &\\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}$ er en kvadratisk diagonalmatrix, så er

$D^m = \begin{pmatrix} \lambda_1^m & & & \\ & \lambda_2^m & & \\ & &\ddots &\\ & & & \lambda_n^m \end{pmatrix},$ for et naturligt tal $m\in\mathbb{N}$ . Det vil sige, at en kvadratisk diagonalmatrix opløftes til en potens ved at opløfte diagonalelementerne til potensen.

Bevis

Definition 4.1 (af matrixmultiplikation) for to diagonalmatricer giver

$\begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & &\ddots &\\ & & & \lambda_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mu_1 & & & \\ & \mu_2 & & \\ & &\ddots &\\ & & & \mu_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_1 \mu_1 & & & \\ & \lambda_2 \mu_2 & & \\ & &\ddots &\\ & & & \lambda_n \mu_n \end{pmatrix}.$ Formlen for $D^m$ er en konsekvens af dette.

Hvis man eksempelvis prøver at udregne $A^5$ for en ikke-diagonal matrix, vil man hurtigt indse at det kan være et større projekt. Det betaler sig derfor at lave $A$ om til en diagonalmatrix for at udregne $A^m$ . Dette kan nogle gange lade sige gøre ved en såkaldt diagonalisering, hvilket betyder at man finder en basis således at matricen med hensyn til den nye basis er en diagonalmatrix.

For en invertibel matrix $V$ findes den inverse matrix $V^{-1}$ og udregningen $B = V^{-1} A V$ giver mening for en kvadratisk matrix $A$ med samme dimensioner som $V$ . Matricerne $A$ og $B$ kaldes similære, svarende til at der er et basisskifte (basis som søjlerne i $V$ ) der overfører $A$ til $B$ .

Lad

$V = \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 \\ 0 & \alpha_2 \end{pmatrix}\qquad\text{og}\qquad A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix},$ hvor $\alpha_1\neq 0$ og $\alpha_2\neq 0$ . Lad $B = V^{-1} A V$ . Hvad er rigtigt af nedenstående?

$B = \begin{pmatrix} a_{11} & \frac{\alpha_2}{\alpha_1} a_{12} \\ \frac{\alpha_1}{\alpha_2} a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}.$

$B = \begin{pmatrix} \frac{\alpha_2}{\alpha_1} a_{11} & a_{12} \\ \frac{\alpha_1}{\alpha_2} a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}.$

$A V = V A.$

$B = A$ hvis $\alpha_1 = \alpha_2$ .

Lad os antage et øjeblik at matricen $A$ er similær med en diagonalmatrix $D$ , det vil sige vi kan finde en invertibel matrix $V$ så

$V^{-1} A V = D.$ Så har vi tilsvarende at

$A = V D V^{-1}$ og dermed

$A^2 = (V D V^{-1}) (V D V^{-1}) = V D (V^{-1} V) D V^{-1} = V D^2 V^{-1}.$ Nøjagtig den samme udregning kan laves ikke bare for potensen $2$ , men for en generel potens $m$ :

$A^m = V D^m V^{-1}. \tag{8.1}$

Det vil sige, hvis vi er så heldige at finde en invertibel matrix $V$ , således at $V^{-1} A V$ er en diagonalmatrix, så kan vi udregne potenser af $A$ meget nemmere end ved almindelig matrixmultiplikation. Dette viser sig også at være ganske brugbart når man løser lineære systemer af ordinære differentialligninger, som man kan se senere i dette kapitel. I Kapitel 11 og 12 vil diagonalisering komme igen som et vigtigt redskab til f.eks. principle component analysis som bruges til at finde det mest relevante data blandt store mængder af målinger inden for eksempelvis kemi, biologi og fysik. Lidt mere jordnært er Googles PageRank algoritme til at finde de mest relevante hjemmesider ud fra en Google-søgning.

Det er slet ikke sikkert at et sådan $V$ findes, men vi kan prøve på at analysere hvad matricen $A$ skal opfylde for at det lader sig gøre.

8.1 Egenværdier, egenvektorer og diagonalisering

Først ser vi, at i en diagonalisering $A = VDV^{-1}$ skal der gælde en særlig sammenhæng mellem søjlerne i $V$ og diagonalelementerne i $D$ .

Lad $A$ være en $n\times n$ matrix, $V = (\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n)$ en invertibel $n\times n$ matrix og $D$ diagonalmatricen

$D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & &\ddots &\\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}.$ Så gælder $V^{-1} A V = D$ hvis og kun hvis

$A \mathbf v_i = \lambda_i \mathbf v_i \tag{8.2}$ for $i = 1, \dots, n$ . Hvis det kan lade sig gøre, kaldes $A$ diagonaliserbar.

Bevis

$V^{-1} A V = D$ gælder hvis og kun hvis $A V = V D$ . Per definition af matrixmultiplikation følger det at søjlevektorerne i $A V$ er $A \mathbf v_i$ for $i=1, \dots, n$ samt at de tilsvarende søjlevektorer i $V D$ er $\lambda_i \mathbf v_i$ .

Hvis vi kigger lidt nærmere på (8.2), ser vi at der er tale om nogle helt særlige vektorer $\mathbf v_i$ . For de fleste vektorer $\mathbf w$ vil $A\mathbf w$ ikke være parallel med $\mathbf w$ , men vi ser at dette lige præcis er tilfældet for $\mathbf v_i$ -vektorerne hvis de skal bruges i en diagonalisering af $A$ ; her er $\lambda_i\mathbf v_i$ bare en skalering af $\mathbf v_i$ , som derfor (hvis $\lambda_i\neq 0)$ udspænder den samme linje som $\mathbf v_i$ -vektoren.

Disse overvejelser leder frem til følgende definition.

Lad $A$ være en kvadratisk matrix. Et komplekst tal $\lambda\in\mathbb{C}$ kaldes en egenværdi for $A$ og en vektor $\mathbf v\neq \mathbf 0$ kaldes en egenvektor hørende til $\lambda$ , hvis de opfylder

$A\mathbf v = \lambda\mathbf v. \tag{8.3}$

I vektorrumsterminologien skal man bestemme sig for om et vektorrum er et reelt vektorrum eller et komplekst vektorrum. Dette har formelt betydning for egenværdier og egenvektorer, da reelle vektorrum kun gør brug af reelle skalarer. For at simplificere gennemgangen i dette kapitel (og de næste kapitler), så vil vi antage at alle matricer vi undersøger er komplekse matricer, således at vi også tillader komplekse egenværdier. Husk at selv hvis en matrix kun har reelle tal i dens indgange, så er de reelle tal stadig en delmængde af de komplekse tal.

Det er værd at bemærke, at hvis $\mathbf v$ er egenvektor til $\lambda$ , så vil $\mu\mathbf v$ også være en egenvektor for ethvert tal $\mu\neq 0$ :

$A(\mu\mathbf v) = \mu A\mathbf v = \lambda(\mu\mathbf v).$

Lad os tage et kig på matricen

$A = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 2+2i & -1 \end{pmatrix}.$ Så har vi at $\lambda_1 = -1$ er en egenværdi og $\mathbf v_1 = (0,1)^T$ en tilhørende egenvektor, fordi

$A\mathbf v_1 = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 2+2i & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} = -\mathbf v_1.$ Tilsvarende er $\lambda_2 = i$ en egenværdi og $\mathbf v_2 = (1,2)^T$ en tilhørende egenvektor, da

$A\mathbf v_1 = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 2+2i & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i \\ 2i \end{pmatrix} = i\mathbf v_2.$

Det er ikke oplagt med vores viden nu, om en matrix overhovedet har endeligt mange egenværdier, eller hvordan man i praksis kan beregne egenværdier og egenvektorer, medmindre man får dem givet som i eksemplet ovenfor.

8.2 Udregning af egenværdierne for en matrix

Fra Definition 8.4 ser det kompliceret ud at finde egenværdier og egenvektorer, da vi i princippet har en ubekendt i både $\lambda$ og $\mathbf v$ . Men ved en lille omskrivning af (8.3), kan vi se hvordan vi først kan bestemme egenværdierne og derefter finde egenvektorer:

$A\mathbf v = \lambda\mathbf v \quad \Leftrightarrow \quad (A-\lambda I)\mathbf v = \mathbf 0. \tag{8.4}$ Vi ser at $\mathbf v$ skal ligge i nulrummet for matricen $A-\lambda I$ , og da vi kun er interesserede i $\mathbf v\neq \mathbf 0$ så skal $N(A-\lambda I)$ have dimension større end $0$ . Sagt med andre ord: Vi skal finde tal $\lambda$ så matricen $A-\lambda I$ er singulær. Nu har vi et kriterium som udelukkende afhænger af $\lambda$ , og vi kan bruge determinanten $\det(A-\lambda I)$ til at undersøge om matricen er singulær.

Vi har dermed følgende resultat, hvor graden af polynomiet kommer fra definition af determinanten.

Lad $A$ være en $n\times n$ matrix. Så er funktionen
$p(\lambda) = \det(A-\lambda I_n)$ et polynomium af grad $n$ i $\lambda$ . Dette polynomium kaldes for det karakteristiske polynomium for $A.$
Et tal $\lambda$ er egenværdi for $A$ hvis og kun hvis $\lambda$ er rod i det karakteriske polynomium, dvs. løsning til
$p(\lambda) = 0.$ Vi kalder multipliciteten af roden $\lambda$ for den algebraiske multiplicitet af egenværdien.

På nuværende tidspunkt kan det være en god ide at kigge tilbage i Kapitel 2 (Sætning 2.20), og genopfriske hvad multipliciteten af en rod i et polynomium er.

Lad os illustrere udregningen af egenværdier og egenvektorer med et eksempel.

Betragt $3\times 3$ matricen

$A = \begin{pmatrix} -2 & -2 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.$ Vi kan opskrive det karakteristiske polynomium for $A$ ved

$p(\lambda) = \det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix} -2-\lambda & -2 & -2 \\ 2 & 3-\lambda & 1 \\ 2 & 1 & 3-\lambda \end{pmatrix}.$ Nu bruger vi definition af determinanten fra Kapitel 5:

$\begin{aligned} p(\lambda) &= (-2-\lambda)\det\begin{pmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 1 & 3-\lambda \end{pmatrix} + 2\det\begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 3-\lambda & 1 \end{pmatrix} \\ &= -\lambda^3+4\lambda^2-4\lambda. \end{aligned}$ Vi ser at $\lambda = 0$ er rod i $p$ , da $\lambda$ indgår i alle leddene, mere specifikt har vi at

$p(\lambda) = -\lambda(\lambda^2-4\lambda +4) = -\lambda(\lambda-2)^2.$ Løsningerne til $p(\lambda) = 0$ , og dermed egenværdierne for $A$ , er altså $\lambda_1 = 0$ (algebraisk multiplicitet 1) og $\lambda_2 = 2$ (algebraisk multiplicitet 2).

Nu kan vi finde tilhørende egenvektorer ved at løse $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$ , hvor $\lambda$ erstattes af egenværdierne.

Vi starter med $\lambda_1 = 0$ :

$A-\lambda_1I = \begin{pmatrix} -2 & -2 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$ Vi kan aflæse at alle egenvektorerne for $\lambda_1$ udspændes af vektoren

$\mathbf v_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.$ Lad os nu finde egenvektorer hørende til $\lambda_2 = 2$ :

$A-\lambda_2I = \begin{pmatrix} -4 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$ Dermed er alle egenvektorerne for $\lambda_2$ udspændt af de to vektorer

$\mathbf v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{og} \quad \mathbf v_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}.$

For en generel $3\times 3$ matrix bliver det karakteristiske polynomium et tredjegradspolynomium. Metoden til at finde rødder for tredjegradspolynomier er ikke lige til at huske på. Oftest kender man en rod på forhånd og kan regne sig frem til de to andre.

For et polynomium af grad $\geq 5$ kan man bevise at der faktisk ikke findes en direkte løsningsformel! I praksis er man tilfreds med numeriske approksimationer til egenværdierne, som ofte kan være for matricer betydelig større end $5\times 5$ . Det er ikke ualmindeligt at man opererer med lineære ligningssystemer med millionvis af ligninger og ubekendte inden for statistik eller til simulering af fænomener i fysik og kemi.

Dog ved vi fra Sætning 2.20 at der altid er præcis $n$ komplekse rødder (når man tæller multipliciteten af rødderne med) til et $n$ 'te gradspolynomium. Tilsvarende vil en $n\times n$ matrix altid have præcis $n$ komplekse egenværdier (når man tilsvarende tæller de algebraiske multipliciteter med).

Hvilke af nedenstående udsagn er korrekte?

Matricen

$\begin{pmatrix} \phantom{-}0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ har ingen reelle egenværdier.

Matricen

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ har $-\lambda^3 + 15 \lambda^2 + 16\lambda$ som karakteristisk polynomium.

$0$ er en egenværdi for

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}.$

$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ er en egenvektor for

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}.$

$\begin{pmatrix} \phantom{-}i \\ -i \end{pmatrix}$ er en egenvektor for

$\begin{pmatrix} \phantom{-}2 & 1\\ -1 & 2 \end{pmatrix}.$

$\begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix}$ er en egenvektor for

$\begin{pmatrix} \phantom{-}2 & 1\\ -1 & 2 \end{pmatrix}.$

8.3 Geometrisk multiplicitet og kriterium for diagonalisering

Vi husker fra Sætning 8.3, at en $n\times n$ matrix $A$ kan diagonaliseres hvis og kun hvis der kan findes $n$ lineært uafhængige egenvektorer for $A$ , således at disse kan opstilles som søjlerne i en invertibel matrix $V$ .

Nu ser vi nærmere på hvordan vi kan tjekke efter, om der er ''tilstrækkelig mange'' lineært uafhængige egenvektorer. Først introducerer vi lidt mere terminologi.

Lad $A$ være en kvadratisk matrix. Hvis $\lambda$ er en egenværdi for $A$ , så kaldes

$N(A-\lambda I)$ for egenrummet hørende til $\lambda$ .

Vi kalder dimensionen af egenrummet, $\dim N(A-\lambda I)$ , for den geometriske multiplicitet af $\lambda$ .

Vi så i foregående afsnit at $N(A-\lambda I)$ er vektorrummet bestående af alle egenvektorerne for $\lambda$ , pånær nulvektoren som ikke er en egenvektor. Herudover havde vi begrebet algebraisk multiplicitet for $\lambda$ som relaterede sig til rødderne af det karakteristiske polynomium (heraf navnet ''algebraisk''), og nu har vi også den geometriske multiplicitet af $\lambda$ , som angiver antallet af lineært uafhængige egenvektorer der hører til denne egenværdi (heraf navnet ''geometrisk'').

Det næste resultat viser at vektorer fra forskellige egenrum automatisk er lineært uafhængige.

Hvis $\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_r$ er egenvektorer for en kvadratisk matrix $A$ , hørende til forskellige egenværdier, så er $\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_r$ lineært uafhængige.

Bevis

Lad os kalde $\lambda_j$ for egenværdien til $\mathbf v_j$ . Vi starter med at kigge på situationen hvor $r=2$ , og da vi skal undersøge lineær uafhængighed, så skal vi undersøge en linearkombination som giver nulvektoren

$\mathbf 0 = \alpha_1\mathbf v_1+\alpha_2\mathbf v_2. \tag{8.5}$ Denne ligning kan vi gange igennem med både $\lambda_1$ og med $A$ , samt anvende at $A\mathbf v_i = \lambda_i\mathbf v_i$ :

$\begin{aligned} \mathbf 0 = \lambda_1\mathbf 0 &= \lambda_1\alpha_1\mathbf v_1 + \lambda_1\alpha_2\mathbf v_2, \\ \mathbf 0 = A\mathbf 0 &= \lambda_1\alpha_1\mathbf v_1 + \lambda_2\alpha_2\mathbf v_2. \end{aligned}$ Ved at trække de to ligninger fra hinanden opnår vi

$\mathbf 0 = (\lambda_1-\lambda_2)\alpha_2\mathbf v_2. \tag{8.6}$ Da $\mathbf v_2\neq \mathbf 0$ (en egenvektor) og $\lambda_1\neq\lambda_2$ fra antagelserne, så må (8.6) betyde at $\alpha_2 = 0$ . Indsætter vi dette i (8.5), ser vi at også $\alpha_1 = 0$ da $\mathbf v_1\neq \mathbf 0$ . Samlet set har vi vist at $\mathbf v_1$ og $\mathbf v_2$ er lineært uafhængige.

Antag nu at resultatet er sandt for $r-1$ egenvektorer, nu skal vi vise med induktion at det også er sandt for $r$ egenvektorer. Igen ser vi på en linearkombination som giver nulvektoren

$\mathbf 0 = \alpha_1\mathbf v_1+\alpha_2\mathbf v_2 + \dots + \alpha_r\mathbf v_r. \tag{8.7}$ På samme måde som før, kan vi få to nye ligninger ved at gange igennem med enten $\lambda_1$ eller $A$ . Differencen af disse to ligninger giver, tilsvarende som i (8.6), følgende ligning:

$\mathbf 0 = (\lambda_1-\lambda_2)\alpha_2\mathbf v_2 + \dots + (\lambda_1-\lambda_r)\alpha_r\mathbf v_r.$ Men dette er lige præcis $r-1$ lineært uafhængige vektorer, så vi må have at $(\lambda_1-\lambda_i)\alpha_i = 0$ for alle $i=2,\dots,r$ . Fra vores antagelser ved vi at $\lambda_1\neq\lambda_i$ for alle $i = 2,\dots,r$ , og vi ved at $\mathbf v_i\neq \mathbf 0$ , så vi må have at $\alpha_2=\dots=\alpha_r = 0$ . Indsætter vi disse $\alpha$ -værdier i (8.7) får vi også at $\alpha_1 = 0$ og vi har derfor vist at $\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_r$ er lineært uafhængige.

Med vores nye viden om underrum, baser og dimension kan vi nu sammenfatte dette i følgende kriterium for om en matrix kan diagonaliseres.

En $n\times n$ matrix $A$ er diagonaliserbar hvis og kun hvis $\mathbb{C}^n$ har en basis bestående af egenvektorer for $A$ .

Dette er ækvivalent med at summen af de geometriske multipliciteter er lig $n$ . Det vil sige, hvis $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ er de forskellige egenværdier af $A$ , så skal gælde at

$\dim N(A-\lambda_1I) + \dots + \dim N(A-\lambda_rI) = n.$

Bevis

Vi så allerede i Proposition 8.3 at $A$ er diagonaliserbar hvis og kun hvis der er $n$ lineært uafhængige egenvektorer for $A$ . Ved en diagonalisering vil disse egenvektorer udgøre en basis for $\mathbb{C}^n$ .

Vi starter nu med at udvælge en enkelt vektor $\mathbf v_i\neq \mathbf 0$ fra hvert egenrum $N(A-\lambda_iI)$ . Dette giver ifølge Proposition 8.11 lineært uafhængige vektorer $\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_r$ svarende til antal forskellige egenværdier $r$ .

Hvis $r = n$ er vi allerede færdige med beviset, men antag nu f.eks. at der findes et $\lambda_j$ hvor den geometriske multiplicitet er større end 1 (så må $r<n$ ). Vi kan navngive egenværdierne i den rækkefølge vi har lyst til, så lad os sige at $j=1$ således at $\dim N(A-\lambda_1I)> 1$ . Så kan vi finde en vektor $\mathbf w\in N(A-\lambda_1 I)$ således at $\mathbf w$ og $\mathbf v_1$ er lineært uafhængige. Nu vil vi gerne vise at

$\mathbf w,\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_r$ er lineært uafhængige vektorer. Hvis dette er tilfældet kan vi nemlig på samme måde ''tilføje'' en ny egenvektor for hvert af de geometriske multipliciteter, og stadig få lineært uafhængige vektorer.

Vi starter med at tage en linearkombination af vektorerne som giver nulvektoren:

$\mathbf 0 = \alpha_0\mathbf w + \alpha_1\mathbf v_1 + \alpha_2\mathbf v_2 + \dots + \alpha_r\mathbf v_r. \tag{8.8}$ Hvis $\alpha_0 = 0$ så har vi også at $\alpha_1 = \dots = \alpha_r = 0$ da $\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_r$ er lineært uafhængige.

Lad os nu undersøge om det er muligt at $\alpha_0 \neq 0$ . Hvis dette er tilfældet, så har vi at $\mathbf w + \frac{\alpha_1}{\alpha_0}\mathbf v_1$ er en egenvektor for $\lambda_1$ , da $N(A-\lambda_1I)$ er et vektorrum og $\mathbf w$ og $\mathbf v_1$ er lineært uafhængige. Ved en mindre omskrivning af (8.8) får vi derfor

$\mathbf 0 = \alpha_0(\mathbf w + \tfrac{\alpha_1}{\alpha_0}\mathbf v_1) + \alpha_2\mathbf v_2 + \dots + \alpha_r\mathbf v_r.$ Men nu kan vi igen bruge Proposition 8.11, hvilket giver en modstrid da vi må have at $\alpha_0=0$ . Så den eneste mulighed for linearkombinationen (8.8) er

$\alpha_0 = \alpha_1 = \dots = \alpha_r = 0.$

Vi kan dermed højest opnå et antal lineært uafhængige egenvektorer svarende til summen af de geometriske multipliciteter, og denne sum kan ikke være større end $n$ da der højest kan være $n$ lineært uafhængige vektorer i $\mathbb{C}^n$ .

I praksis skal man bestemme en basis for hvert egenrum $N(A-\lambda_i I)$ , og hvis man i alt opnår $n$ basisvektorer, kan baserne sammensættes til søjlerne i en invertibel matrix $V$ , som kan bruges til at diagonalisere $n\times n$ matricen $A = VDV^{-1}$ . Man skal huske at egenværdier i diagonalmatricen skal gentages efter deres algebraiske multiplicitet, således at søjlerne i $V$ svarer til egenværdierne i $D$ .

Følgende er et simpelt resultat, men det er ofte ganske brugbart! Det fortæller nemlig at antallet af lineært uafhængige egenvektorer til en egenværdi $\lambda$ højst kan være lig den algebraiske multiplicitet. Det betyder at hvis den algebraiske multiplicitet er $1$ , så er det nok bare at finde en vilkårlig egenvektor, mens hvis den er større end $1$ skal vi undersøge egenrummet lidt mere grundigt. Det betyder også, at hvis vi for en egenværdi finder at dens geometriske multiplicitet er lavere end dens algebraiske, så kan matricen ikke diagonaliseres.

Lad $A$ være en kvadratisk matrix og lad $\lambda$ være en egenværdi for $A$ . Hvis $\mu$ er den geometiske multiplicitet og $\nu$ er den algebraiske multiplicitet af $\lambda$ , så gælder

$1 \leq \mu \leq \nu.$

Bevis

Den første ulighed er sand, fordi til enhver egenværdi er mindst én egenvektor.

Lad nu $\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_\mu\}$ være en basis for egenrummet $N(A-\lambda I)$ . Hvis $A$ er en $n\times n$ matrix og $\mu < n$ , så kan vi udvide med vektorer $\mathbf v_{\mu+1},\dots,\mathbf v_n$ (ikke egenvektorer til $\lambda$ ), således at $\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\}$ er en basis for $\mathbb{C}^n$ . Matricen $P = (\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n)$ er derfor invertibel.

Fra Opgave 8.32 er det karakteristike polynomium for $A$ og $P^{-1}AP$ ens. Men ved at gange matrixproduktet ud, får vi følgende blokstruktur

$P^{-1}AP = \left(\begin{array}{c|c} \lambda I_\mu & B \\ \hline \mathbf 0 & C \end{array}\right)$ hvor $B$ og $C$ er $(n-\mu)\times(n-\mu)$ matricer, og $\mathbf 0$ angiver også en nulmatrix af denne størrelse. Ved at bruge definitionen af en determinant, opnår vi at det karakteristiske polynomium af $A$ er

$\det(A-t I_n) = \det(P^{-1}AP - tI_n) = (\lambda-t)^\mu\det(C-tI_{n-\mu}). \tag{8.9}$ Fra (8.9) ser vi, at den algebraiske multiplicitet af $\lambda$ er mindst $\mu$ .

Hvis vi kigger tilbage på Eksempel 8.8, der så vi at matricen

$A = \begin{pmatrix} -2 & -2 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ havde egenværdi $\lambda_1 = 0$ med algebraisk og geometrisk multiplicitet 1, samt egenværdi $\lambda_2 = 2$ med algebraisk og geometrisk multiplicitet 2. Fra Sætning 8.12 ved vi at $A$ kan diagonaliseres, og vi kan bruge vektorerne $\mathbf v_1$ , $\mathbf v_2$ og $\mathbf v_3$ fundet i Eksempel 8.8 til dette formål,

$\mathbf v_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf v_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}.$ Her udgør $\{\mathbf v_1\}$ en basis for $N(A)$ og $\{\mathbf v_2,\mathbf v_3\}$ udgør en basis for $N(A-2I)$ .

Ved at samle matricen $V = (\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3)$ har vi derfor at

$V^{-1}AV = \begin{pmatrix} -2 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} -2 & -2 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & & \\ & 2 & \\ & & 2 \end{pmatrix}.$ Bemærk at egenværdierne placeres i rækkefølgen bestemt ved de tilhørende egenvektorer der udgør søjlerne i $V$ , samt at egenværdierne gentages efter deres algebraiske multiplicitet.

Lad os nu kigge på en anden matrix

$\widetilde{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$ Vi finder hurtigt det karakteristiske polynomium til at være $\lambda^2$ , altså er 0 eneste egenværdi for $\widetilde{A}$ og har algebraisk multiplicitet $2$ .

Løsningerne til $\widetilde{A}\mathbf v = \mathbf 0$ kan direkte aflæses fra matricen, og vi ser at alle egenvektorerne er udspændt af vektoren $(0,1)^T$ . Dermed er den geometriske multiplicitet kun 1, og derfor ved vi fra Sætning 8.12 at vi ikke kan finde nok lineært uafhængige egenvektorer til en diagonalisering af $\widetilde{A}$ .

Man ser nogle gange kandidatstuderende i matematik der ikke kan give et eksempel på en ikke-diagonaliserbar matrix. Det er vigtigt at kunne illustrere teorien ved simple eksempler, og ikke kun kende de teoretiske resultater, så her er en helt konkret opgave.

Gør detaljeret rede for at matricen

$\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ikke er diagonaliserbar.

I Kapitel 11 skal vi se på en pæn klasse af matricer som ofte indgår i anvendelser, nemlig de hermiteske matricer. Det viser sig at disse matricer altid kan diagonaliseres, og endda på en pænere måde end vi har set i dette kapitel. I Kapitel 12 skal vi se hvordan man for alle matricer kan opnå noget der er næsten lige så godt som en diagonalisering, ved den såkaldte singulær værdi dekomposition.

8.4 Lineære systemer af ordinære differentialligninger

Systemer af differentialligninger står hovedsagligt for beskrivelsen af de matematiske modeller som indgår i fysik, kemi og biologi. De fleste af disse modeller gør nemlig brug af principper som bevarelse af masse, energi eller impulsmoment, hvilket indgår i klassisk (og kvante) mekanik, termodynamik, elektrodynamik og fluiddynamik. Differentialligninger indgår også i reaktionskinatik til at undersøge reaktionsraterne for kemiske reaktioner, samt i biologi til beskrivelse af dynamikken i fødekæder af arter.

For nyligt blev især beskrivelsen af såkaldte ''røde'' og ''grønne'' smittekurver relevant for forståelsen af smittespredning af Covid-19 virus. Dette kan også beskrives ved brug af en såkaldt SIR model (og nok forbedringer af denne).

Vi kan altså roligt påstå at differentialligninger dukker op over alt i naturvidenskaben. Vi skal i dette afsnit kigge på de simpleste typer af differentialligningssystemer, nemlig homogene lineære systemer af førsteordens differentialligninger med konstante koefficienter, og se hvordan brugen af diagonalisering af en matrix kan bruges til at give en løsningsformel.

For ikke-lineære differentialligninger og differentialligninger med ikke-konstante koefficienter bruges ofte lineariseringer til beskrivelse af stabilitet og numerisk løsning, samt $n$ 'te ordens lineære differentialligninger kan skrives som systemer af førsteordens differentialligninger. Så det er vigtigt at forstå de lineære systemer i alle tilfælde!

Egenværdier og egenvektorer er ekstremt nyttige ved løsning af koblede differentialligninger som

$\begin{aligned} x'_1(t) &= a x_1(t) + b x_2(t)\\ x'_2(t) &= c x_1(t) + d x_2(t), \end{aligned}\tag{8.10}$ hvor $a, b, c, d\in \mathbb{C}$ .

Tilfældet med kun en ubekendt funktion kendes fra radioaktivt henfald. Her støder vi på differentialligningen

$x'(t) = \lambda x(t), \tag{8.11}$ som har løsningen $x(t) = C e^{\lambda t}$ , hvor $C$ er en konstant. Hvis man arbejder ud fra hypotesen om at (8.10) har løsninger af formen

$x_1(t)= A e^{\lambda t}\qquad\text{og}\qquad x_2(t) = B e^{\lambda t}$ så kan man indsætte i (8.10) og komme frem til at

$\begin{pmatrix} A \\ B\end{pmatrix}\quad \text{er en egenvektor for}\quad \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ hørende til egenværdien $\lambda$ . Dette er gennemgået i videoen nedenfor.

Lad os nu se på et mere generelt tilfælde, hvor vi har $n$ ubekendte funktioner $x_1,\dots,x_n$ , som vi samler i en stor vektorfunktion $\mathbf x = (x_1,\dots,x_n)^T$ der afhænger af en variabel $t$ som eksempelvis beskriver tid. Herudover antages det at vi kender vores ubekendte funktioner til tiden $t=0$ (typisk vil det svare til målinger eller observationer), og de har værdierne givet i en vektor $\mathbf x_0$ som kaldes begyndelsesbetingelsen.

Dette giver anledning til et såkaldt begyndelsesværdiproblem, som skrives

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf x(t) = A\mathbf x(t), \quad \mathbf x(0) = \mathbf x_0. \tag{8.12}$

Her består $n\times n$ matricen $A$ af koefficienterne til differentialligningerne. Vi har her antaget at disse koefficienter ikke afhænger af $t$ .

Følgende resultat viser hvordan vi kan løse begyndelsesværdiproblemet i (8.12), såfremt at matricen kan diagonaliseres.

Overvej begyndelsesværdiproblemet i (8.12). Hvis $A$ er diagonaliserbar, $A = VDV^{-1}$ hvor $D$ er diagonalmatricen

$D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & &\ddots &\\ & & & \lambda_n \end{pmatrix},$ så kan løsningen til (8.12) opskrives direkte ved formlen

$\mathbf x(t) = V\begin{pmatrix} \mathrm{e}^{\lambda_1 t} & & & \\ & \mathrm{e}^{\lambda_2 t} & & \\ & &\ddots &\\ & & & \mathrm{e}^{\lambda_n t} \end{pmatrix}V^{-1}\mathbf x_0. \tag{8.13}$

Bevis

I dette bevis konstruerer vi en løsning til (8.12), så det viser også eksistensen af en løsning. Det er dog slet ikke klart hvorfor denne løsning er entydig; dette kommer fra eksistens og entydigheds sætningen, som hører til i et analyse kursus og vises ikke her.

Vi definerer nu $\mathbf x$ som højresiden af (8.13), og viser at den opfylder ligningen i (8.12). Vi starter med at tjekke begyndelsesbetingelsen:

$\mathbf x(0) = V\begin{pmatrix} \mathrm{e}^{0} & & & \\ & \mathrm{e}^{0} & & \\ & &\ddots &\\ & & & \mathrm{e}^{0} \end{pmatrix}V^{-1}\mathbf x_0 = VIV^{-1}\mathbf x_0 = \mathbf x_0.$ Nu differentierer vi $\mathbf x$ , hvilket gøres i hver indgang af $\mathbf x$ . Vi ser at det eneste af $\mathbf x$ der afhænger af $t$ er diagonalmatricen med eksponentialfunktionerne. I matrixproduktet vil man få linearkombinationer af disse eksponentialfunktioner, og at differentiere disse linearkombinationer svarer lige præcis til at differentiere eksponentialfunktionerne først, og derefter udføre matrixprodukterne. Vi får derfor

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf x(t) &= V\begin{pmatrix} \lambda_1\mathrm{e}^{\lambda_1 t} & & & \\ & \lambda_2\mathrm{e}^{\lambda_2 t} & & \\ & &\ddots &\\ & & & \lambda_n\mathrm{e}^{\lambda_n t} \end{pmatrix}V^{-1}\mathbf x_0 \\ &= VDV^{-1}V\begin{pmatrix} \mathrm{e}^{\lambda_1 t} & & & \\ & \mathrm{e}^{\lambda_2 t} & & \\ & &\ddots &\\ & & & \mathrm{e}^{\lambda_n t} \end{pmatrix}V^{-1}\mathbf x_0 = A\mathbf x(t). \end{aligned}$ Her har vi brugt at produktet af diagonalmatricer udregnes som produktet af diagonalelementerne, samt vi har indsat en identitetsmatrix som $V^{-1}V$ midt i udtrykket. Dette viser samlet set, at vektorfunktionen i (8.13) opfylder begyndelsesværdiproblemet (8.12).

Intuitivt kan vi tænke på Sætning 8.17 som at finde et basisskifte, der gør at differentialligningerne bliver afkoblet fra hinanden. Så ender man netop tilbage med afkoblede ligninger på formen (8.11).

Det viser sig, at man altid kan opskrive løsningen til (8.12) som en matrix-funktion ganget på $\mathbf x_0$ . Denne matrix kaldes eksponentialmatricen og skrives ofte $\mathrm{e}^{tA}$ . Der er flere måder at en eksponentialmatrix kan bestemmes ud fra en kvadratisk matrix $A$ ; en metode er ved en uendelig række der består af summen af potenserne $(tA)^k/k!$ for $k=0,1,\dots$ . Denne metode er kun praktisk hvis matricen er diagonaliserbar, og så får man nemlig løsningsformlen i (8.13).

Hvis $A$ ikke er diagonaliserbar, så kommer der også til at indgå led som $t\mathrm{e}^{\lambda t}$ , $t^2\mathrm{e}^{\lambda t}$ , og så videre. En metode til udregning af $\mathrm{e}^{tA}$ for enhver kvadratisk matrix $A$ er Putzers algoritme, hvilket pudsigt nok også kræver at man finder egenværdierne for $A$ .

Bevægelsen i et pendul i en stiv masseløs stang kan beskrives med differentialligningen

$\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2} + \frac{g}{L}\sin(\theta) = 0, \tag{8.14}$ hvor $\theta(t)$ er vinklen til tiden $t$ med hensyn til aksen som pendulet svinger om, som angivet i figuren nedenfor. Konstanterne $g$ og $L$ er henholdsvis tyngdeaccelerationen og længden af stangen.

Animation af pendul fra Wikipedia, hvor vektorerne $\mathbf a$ og $\mathbf v$ angiver accelerations- og hastighedsvektorer.

Lad $\mathbf x = (\theta,\theta')^T$ være vektoren med position $\theta$ og hastighed $\theta'$ til tiden $t$ , samt lad $\mathbf x_0 = (\theta_0,0)^T$ være en vektor med startposition $\theta(0) = \theta_0$ og starthastighed $\theta'(0) = 0$ . Hvis man starter med $\theta_0$ tilpas lille, så kan man lave en lineær tilnærmelse af (8.14) med begyndelsesværdiproblemet

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\tfrac{g}{L} & 0 \end{pmatrix}\mathbf x, \enskip \mathbf x(0)=\mathbf x_0.$ Fra systemmatricen får man det karakteristiske polynomium $\lambda^2+\frac{g}{L}$ , hvilket har de komplekse rødder $\pm i\sqrt{\frac{g}{L}}$ . Matricen kan af Proposition 8.13 og Sætning 8.12 diagonaliseres da begge egenværdier har algebraisk og geometrisk multiplicitet $1$ .

For små matricer kan man ofte gætte sig frem til nogle egenvektorer. Tjek gerne efter at egenværdien $\lambda_1 = i\sqrt{\frac{g}{L}}$ har egenvektor

$\mathbf v_1 = \begin{pmatrix} -i \\ \sqrt{\tfrac{g}{L}} \end{pmatrix}$ og egenværdien $\lambda_2 = -i\sqrt{\frac{g}{L}}$ har egenvektor

$\mathbf v_2 = \begin{pmatrix} i \\ \sqrt{\tfrac{g}{L}} \end{pmatrix}.$ Samlet set kan vi opskrive vores løsning fra Sætning 8.17, hvor $V = (\mathbf v_1,\mathbf v_2)$ :

$\begin{aligned} \mathbf x(t) &= \begin{pmatrix} -i & i \\[1mm] \sqrt{\tfrac{g}{L}} & \sqrt{\tfrac{g}{L}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathrm{e}^{i\sqrt{\frac{g}{L}}t} & \\ & \mathrm{e}^{-i\sqrt{\frac{g}{L}}t} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -i & i \\[1mm] \sqrt{\tfrac{g}{L}} & \sqrt{\tfrac{g}{L}} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \theta_0 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5mm] &= \frac{\theta_0}{2}\begin{pmatrix} \mathrm{e}^{i\sqrt{\frac{g}{L}}t}+\mathrm{e}^{-i\sqrt{\frac{g}{L}}t} \\ i\sqrt{\frac{g}{L}}(\mathrm{e}^{i\sqrt{\frac{g}{L}}t}-\mathrm{e}^{-i\sqrt{\frac{g}{L}}t}) \end{pmatrix}. \end{aligned}$ Hvis man indsætter definitionen for den komplekse eksponentialfunktion, $\mathrm{e}^{ix} = \cos(x)+i\sin(x)$ , får man de lidt pænere udtryk

$\mathbf x(t) = \theta_0\begin{pmatrix} \cos(\sqrt{\frac{g}{L}}t) \\ -\sqrt{\frac{g}{L}}\sin(\sqrt{\frac{g}{L}}t) \end{pmatrix},$ hvilket svarer til $\theta(t) = \theta_0\cos(\sqrt{\frac{g}{L}}t)$ i vores simplificerede model.

8.5 Egenværdier via potensmetoden

Hånden på hjertet. Vi har reelt kun nu det karakteristiske polynomium til at bestemme egenværdierne for en matrix. For store matricer bliver det helt uoverkommeligt at udregne det karakteristiske polynomium.

Der er brug for andre metoder til udregning af egenværdier. Her giver jeg et eksempel på en sådan klassisk metode.

Antag at $A$ er diagonaliserbar med en basis $\{\mathbf v_1, \dots, \mathbf v_n\}$ af egenvektorer hørende til egenværdierne $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ (gentaget efter deres multiplicitet). Antag yderligere at $\dim N(A-\lambda_1 I) = 1$ og at

$|\lambda_1| > |\lambda_i| \tag{8.15}$ for $i>1$ .

Begynd med en vektor

$\mathbf v^0 = x_1 \mathbf v_1 + \cdots + x_n \mathbf v_n$ som opfylder at $x_1\neq 0$ . Herefter itereres, og udnyttes at $A^k \mathbf v_i = \lambda_i^k \mathbf v_i$ ,

$\mathbf v^k := A^k \mathbf v_0 = x_1 \lambda_1^k \mathbf v_1 + \cdots + x_n \lambda_n^k \mathbf v_n.$ Antag at det $i$ 'te koordinat i $x_1 \mathbf v_1$ er $\neq 0$ . Så vil

$(\mathbf v^k)_i = \lambda_1^k x_1 v_{1i} + \cdots + \lambda_n^k x_n v_{ni},$ og dermed

$\frac{(\mathbf v^{k+1})_{i}}{(\mathbf v^k)_i} = \frac{\lambda_1 x_1 v_{1i} + \epsilon_1}{x_1 v_{1i} + \epsilon_2},$ hvor

$\begin{aligned} \epsilon_1 &= \lambda_2 \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^k x_2 v_{2i} + \cdots + \lambda_n \left(\frac{\lambda_n}{\lambda_1}\right)^k x_n v_{ni},\\ \epsilon_2 &= \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^k x_2 v_{2i} + \cdots + \left(\frac{\lambda_n}{\lambda_1}\right)^k x_n v_{ni}. \end{aligned}$ Derfor vil

$\lambda^{(k)} := \frac{(v^{k})_{i}}{(v^{k-1})_i}\to \lambda_1$ for $k\to \infty$ , grundet vores antagelse i (8.15).

Lad os illustrere metoden med matricen

$A = \begin{pmatrix} 7 & 2\\ -15 & -4 \end{pmatrix}$ og startvektoren $\mathbf v^0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

Nedenfor er angivet de første $7$ iterationer af metoden. Første søjle angiver $k$ , anden søjle er $x$ -koordinaten for $\mathbf v^k$ , tredje søjle er $y$ -koordinaten for $\mathbf v^k$ , mens sidste søjle angiver $\lambda^{(k)}$ med hensyn til $x$ -koordinaten.

$\begin{array}{r r r l} 0 & 1 & 0 & \\ 1 & 7 & -15 & 7 \\ 2 & 19 & -45 & 2.714 \\ 3 & 43 & -105 & 2.263 \\ 4 & 91 & -225 & 2.116 \\ 5 & 187 & -465 & 2.055 \\ 6 & 379 & -945 & 2.023 \\ 7 & 763 & -1905 & 2.013 \end{array}$

Iterationerne ser ud til at indikere at $\lambda= 2$ er en egenværdi for $A$ , hvilket viser sig at være korrekt.

8.6 Gershgorins cirkelsætning

Gershgorins cirkelsætning (efter Semyon Aranovich Gershgorin) udtrykker hvor langt vi kan forvente egenværdierne for en matrix ligger fra diagonalelementer.

Lad $A = (a_{ij})$ være en $n \times n$ matrix og lad

$D(a_{ii}, R_i) = \{z\in \mathbb{C} : |z - a_{ii}| \leq R_i\},$ hvor

$R_i = \sum_{j\neq i} |a_{ij}|.$ Her er $D(a_{ii}, R_i)$ cirkelskiven i den komplekse talplan med centrum i $a_{ii}$ og radius $R_i$ . Bemærk at $R_i$ er summen af de absolutte værdier af indgangene udenfor diagonalen i $i$ 'te række for $A$ .

Enhver egenværdi for $A$ ligger i mindst en af cirkelskiverne $D(a_{ii}, R_i)$ for $i = 1, \dots, n$ .

Bevis*

Lad $\lambda$ være en egenværdi for $A$ og vælg en egenvektor $\mathbf v$ hørende til $\lambda$ med en koordinat $x_i=1$ , hvor $|x_j|\leq 1$ for $j\neq i$ . Med definitionen af matrixmultiplikation og $A\mathbf v = \lambda\mathbf v$ følger

$\sum_{j\neq i} a_{ij} x_j + a_{ii} = \lambda$ og dermed

$|\lambda - a_{ii}| = \Bigl|\sum_{j\neq i} a_{ij} x_j\Bigr| \leq \sum_{j\neq i} |a_{ij}|\, | x_j| \leq \sum_{j\neq i} |a_{ij}| = R_i.$

En $n\times n$ matrix $A= (a_{ij})$ kaldes strengt diagonaldominant hvis

$|a_{ii}| > \sum_{j\neq i} |a_{ij}|$ for $i=1, \dots, n$ .

En strengt diagonaldominant $n\times n$ matrix $A$ er invertibel.

Bevis

Lad $a_{ij}$ betegne indgangene i $A$ . Det er nok at vise at $0$ ikke er en egenværdi for $A$ , da det betyder at nulrummet $N(A)$ er trivielt. Hvis $0$ var en egenværdi måtte vi have $0\in D(a_{ii}, R_i)$ for et eller andet $i = 1, \dots, n$ på grund af Sætning 8.19. Dette er umuligt, da

$|a_{ii}| > \sum_{j\neq i} |a_{ij}| = R_i.$

Matricen

$\begin{pmatrix} 8 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 1 & 1\\ 4 & 2 & 7 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 5 \end{pmatrix}$ er invertibel ifølge Sætning 8.21 da den er strengt diagonaldominant. For denne matrix er

$\begin{aligned} R_1 &= 1 + 2 + 3 = 6\\ R_2 &= 0 + 1 + 1 = 2\\ R_3 &= 4 + 2 + 0 = 6\\ R_4 &= 1 + 2 + 1 = 3 \end{aligned}$ hvilket kan sammenlignes med diagonalelementerne i matricen.

8.7 Opgaver

Udregn egenværdierne for matricen

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\ 3 & 4 & 5\\ 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}.$ Summen af dem skal gerne give $12$ .

Lad

$A = \begin{pmatrix} 11 & -2 & 2\\ -36 & 10 & -8\\ -81 & 18 & -16 \end{pmatrix}.$ Det opgives at $\lambda=1$ og $\lambda=2$ er egenværdierne for $A$ . Undersøg om $\mathbb{R}^3$ har en basis af egenvektorer for $A$ , det vil sige om $A$ er diagonaliserbar. Find i givet fald en invertibel matrix $V$ så

$V^{-1} A V$ er en diagonalmatrix.

Gør rede for at matricen

$\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ ikke er diagonaliserbar ud fra oplysningen om at dens karakteristiske polynomium er

$-\lambda^3 + 7 \lambda^2- 11\lambda + 5 = (\lambda-1)^2 (\lambda - 5).$

Kan en invertibel matrix have $0$ som egenværdi?

Sandsynliggør at $2$ er en egenværdi for

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ ved at benytte potensmetoden beskrevet i afsnit 8.5. Er $A$ diagonaliserbar?

Lad

$A = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 15 & -4 \end{pmatrix}.$ Bestem egenværdierne for $A$ og egenværdierne for $A^{10}$ . Hvad er egenvektorerne for $A^{10}$ ? Begrund dine svar.

Find, ved at bruge teorien i dette kapitel, to funktioner $x_1, x_2: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ som udgør en løsning til systemet

$\begin{aligned} x'_1(t) &= x_1(t) + x_2(t)\\ x'_2(t) &= -x_1(t) + x_2(t), \end{aligned}$ af differentialligninger og som opfylder $x_1(0) = 1$ og $x_2(0) = 0$ . Skitser din metode grundigt og henvis kun til materialet i disse noter.

Lad

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}.$ Gør rede for at $A$ er rod i sit eget karakteristiske polynomium, det vil sige

$A^2 - (a_{11} + a_{22}) A + \det(A) I_2 = 0.$

Lad $A$ være en $n\times n$ matrix.

Gør rede for at $A$ og $A^T$ har det samme karakteristiske polynomium.
Hint
Vis og benyt at
$A^T - \lambda I_n = (A - \lambda I_n)^T.$
Lad $P$ være en stokastisk $n\times n$ matrix, det vil sige at alle indgange er $\geq 0$ og alle søjlesummer er $1$ . Vis at der findes en vektor $\mathbf v \neq 0$ så $P \mathbf v = \mathbf v$ .

Lad $P$ være en invertibel $n\times n$ matrix og $A$ en $n\times n$ matrix.

Gør rede for at
$\det(P^{-1} A P) = \det(A).$
Vis at $A$ og $P^{-1} A P$ har det samme karakteristiske polynomium.
Hint

$P^{-1} A P -\lambda I_n = P^{-1}(A - \lambda I_n) P.$

(Eksamen maj 2021)

Lad en $4\times 4$ matrix $A$ være givet ved

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

Vis at det karakteristiske polynomium for $A$ er givet ved
$(1-\lambda)^4 = \lambda^4 - 4\lambda^3+6\lambda^2-4\lambda +1.$
Bestem samtlige egenværdier for $A$ , og find en basis for hvert egenrum.
Gør rede for at $A$ ikke er diagonaliserbar.