Jeg vil indføre multinomialmodellen ved først at vende tilbage til binomialmodellen. Hvis $X\sim\text{binom}(n,p),$ kan vi skrive $X$ som $X=B_1+B_2+\cdots+B_n,$ hvor $B_i$'erne er uafhængige og enten 0 eller 1 med sandsynlighederne $1-p$ og $p.$ Dette kan billedligt opfattes, som at data deles op i to kasser: alle $B_i$-erne med værdien 0 kommer i den ene kasse og alle med værdien 1 kommer i den anden kasse. I multinomialmodellen er der flere end to kasser, lad os sige $k$ kasser, og vi kan tænke på modellen som en beskrivelse af $n$ uafhængige kast med en generaliseret $k$-sidet terning. Hvert kast svarer til en stokastisk variabel, $B_i,$ $i=1,\ldots,n,$ hvor de mulige værdier for $B_i$'erne er $1,2\ldots,k.$ Jeg omtaler dette som at i hvert kast, kan man ramme ned i $\acute{\text{e}}$n ud af $k$ kasser. Den stokastiske variabel $A_j,$ $j=1,\ldots,k,$ angiver, hvor mange af de $n$ kast der lander i kasse $j.$ Sandsynligheden i det enkelte kast for at lande i kasse $j$ er $\pi_j,$ hvor $\pi_j\geq 0$ og $\pi_1+\cdots+\pi_k=1.$ Vektoren $(A_1,\ldots,A_k)$ af antallene i de $k$ kasser siges at være multinomialfordelt: $(A_1,\ldots,A_k)\sim\text{multinom}(n,$ $(\pi_1,\ldots,\pi_k))$ med antalsværdi $n$ og sandsynlighedsparameter $(\pi_1,\ldots,\pi_k).$ For multinomialmodellen har vi følgende resultater: $$\begin{aligned} & \text{Model:}\enspace (A_1,\ldots,A_k)\sim\text{multinom}(n,(\pi_1,\ldots,\pi_k)),\enspace \pi_j\geq 0,\enspace \pi_1+\cdots+\pi_k=1:\\ & P\big((A_1,\ldots,A_k)=(a_1,\ldots,a_k)\big)= \binom{n}{a_1,\ldots,a_k} \pi_1^{a_1}\cdots\pi_k^{a_k},\enspace a_j\geq 0,\enspace a_1+\cdots+a_k=n, \\ & A_j\sim\text{binom}(n,\pi_j),\quad E(A_j)=n\pi_j, \quad \text{Var}(A_j)=n\pi_j(1-\pi_j). \end{aligned}$$ Multinomialkoefficienten $\binom{n}{a_1,\ldots,a_k}$ er defineret som $n!/(a_1!\cdots a_k!)$ og fortolkes, som antallet af måder man kan vælge $b_1,\ldots b_n,$ således at $a_1$ af disse har værdien 1, $a_2$ har værdien 2 og så videre op til at $a_k$ har værdien $k.$ At $A_j$ er binomialfordelt følger af, at vi kan reducere til, om det enkelte kast falder i kasse $j$ eller ikke falder i kasse $j.$

Multinomialkoefficienten

Multinomialfordelingen i R

I multinomialmodellen $(A_1,\ldots,A_k)\sim\text{multinom}(n,(\pi_1,\ldots,\pi_k))$ er likelihood-funktionen $$L(\pi_1,\ldots,\pi_k)= \binom{n}{a_1,\ldots,a_k}\pi_1^{a_1}\cdots\pi_k^{a_k}, \tag{1.1.1}$$ og maksimum af denne funktion over området $\pi_j\geq 0,$ $\pi_1+\cdots+\pi_k=1$ (kaldet den fulde model), fås i punktet $$\hat\pi_j=\frac{a_j}{n},\enspace j=1,\ldots,k.$$ Eftersom $A_j\sim\text{binom}(n,\pi_j),$ er dette helt i overensstemmelse med estimationen i binomialmodellen i Proposition 6.1.1 i MSRR. I ord estimeres sandsynligheden for at falde i kasse $j$ med den observerede frekvens i kasse $j.$

Bevis for estimater

ForegåendeNæste