Den ensidede variansanalysemodel i (4.2.1) analyseres i R med kommandoen lm(x$\sim$G), hvor $G$ er en faktor, der deler data op i grupper, og $x$ er en vektor med responsværdierne. For yderligere beregninger bruges summary og confint på output fra lm.For at forstå output fra summary er det vigtigt at kende den parametrisering, som R anvender. For modellen i (4.2.1), med $k$ grupper og tilhørende middelværdiparametre $\mu_1,\ldots,\mu_k,$ benytter R i forbindelse med modelformlen x$\sim$G følgende parametrisering og navngivning. $$\begin{array}{ccccc} \hline \text{(Intercept)} & \text{G2} & \text{G3} & \cdots & \text{Gk} \\ \mu_1 & \mu_2-\mu_1 & \mu_3-\mu_1 & & \mu_k-\mu_{1} \\ \hline \end{array}$$ Vi kan se, at lm bruger forskelle mellem parametre, og i mange tilfælde vil disse være af større interesse end parameterværdierne selv. Det $t$-test, der står i parametertabellen ud for et Gj, bliver således et test for at forskellen i parameterværdi er nul, eller sagt på en anden måde et test for, at de to parameterværdier er ens. De konfidensintervaller, der laves med confint, bruger den samme parametrisering og giver altså intervaller for forskel i parameterværdier. (Bemærk iøvrigt, at i tilfældet med to grupper vil lm betragte forskellen $\mu_2-\mu_1,$ hvorimod t.test fra afsnit 2.13 betragter $\mu_1-\mu_2.)$

Forstå parametrisering i R

Hvis man ønsker, at lm skal bruge parametriseringen med $\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_k$ i stedet for forskelle i parameterværdierne, kan dette gøres med kaldet lm(x$\sim$G-1). I modelformlen undertrykker "-1" brugen af et intercept. For at beregne $F$-testet for reduktion fra model $M_1$ i (4.2.1) til model $M_2$ i (4.2.2), det vil sige $F$-testet for hypotesen, at alle middelværdierne er ens, skal man benytte funktionen anova i R. Input til anova er output fra to kald af lm, nemlig output fra analyse af model $M_2$ og output fra analyse af model $M_1.$ Vi kan skrive dette formelt som

anova(lm(modelformel$\,$2),lm(modelformel$\,$1))

I tilfældet med model $M_2$ fra (4.2.2), hvor alle observationerne har samme middelværdi, foregår analysen med kaldet lm(x$\sim$1). For at teste at alle middelværdierne er ens, bliver kaldet til anova:

anova(lm(x$\sim$1),lm(x$\sim$G))

Output fra anova er en Testtabel. Denne har 2 rækker og 7 søjler. Strukturen er som følger. $$\begin{array}{rrrrrrr} \hline & \text{Res.Df} & \text{RSS} & \text{Df} & \text{Sum of Sq} & \text{F} & \text{Pr(>F)} \\ \hline 1 & - & - & & & & \\ 2 & - & - & - & - & - & -\\ \hline \end{array}$$ Søjlen RSS indeholder $\mathit{SSD}(M)$ for de to modeller, og Res.Df de tilhørende frihedsgrader. Til beregning af $F$-testet skal vi bruge $s^2(M_1,M_2),$ som fremkommer som $\text{(Sum of Sq)}/\text{Df},$ hvor Df kan beregnes som differensen mellem de to værdier under Res.Df, og Sum of Sq kan beregnes som differensen mellem de to værdier under RSS (dette beskrives nøjere i afsnit 4.7). Søjlen $F$ indeholder $F$-teststørrelsen $s^2(M_1,M_2)/s^2(M_1),$ og søjlen Pr(>F) angiver den tilhørende $p$-værdi beregnet fra en $F(\mathit{Df},\mathit{Res.Df}[2])$-fordeling. For datasættet beskrevet i starten af afsnit 4.2 lader vi $\text{bakt}_i$ være bakterietallet for den $i$'te måling og lader $\text{metode}_i$ være den tilhørende metode til håndvask. Vi betragter modellen $$\text{Bakt}_i\sim N\big(\mu_{\text{metode}_i},\sigma^2\big),\enspace i=1,\ldots,32,$$ hvor middelværdiparametrene og $\sigma^2$ kan variere frit. Kør følgende kode for at få lavet en parametertabel for modellen.

4.4.1 Parametertabel i ensidet variansanalyse

Eftersom niveauet "antibakspray" kommer først i en leksikografisk ordning, er Intercept i parametertabellen $\hat\mu_{\text{antibakspray}}=37.50.$ Skønnet over forskellen mellem at bruge antibakteriel sæbe (antisaebe) og antibakteriel spray er $\hat\mu_{\text{antisaebe}}-\hat\mu_{\text{antibakspray}}=55.00,$ som står i rækken "metodeantisaebe". I samme række ses, at $p$-værdien er 0.0067 for et $t$-test af, at forskellen i middelværdi er nul (de to middelværdier er ens). Da $p$-værdien er langt under 0.05, tyder data altså på en forskel i de to metoder til håndvask. Hvis I erstatter "summary" med "confint", kan I se, at 95%-konfidensintervallet for forskel mellem de to middelværdier er $[16.5,\,93.5].$ Dette er et bredt interval, hvilket afspejler, at der kun er 8 observationer i hver gruppe og spredningen i bakterietallet fra dag til dag er stort: skønnet over spredningen er $s(M_1)=37.55.$ Parametertabellen indeholder tre $t$-test for forskel i middelværdier. Hvis nu de tre $p$-værdier alle havde været 0.06, skulle vi så konkludere, at data ikke strider mod at alle fire middelværdier er ens ? Svaret er nej, for eksempel kunne $\hat\mu_2$ ligge over $\hat\mu_1$ og $\hat\mu_3$ kunne ligge under $\hat\mu_1,$ og så ville data tyde på en forskel mellem $\mu_2$ og $\mu_3.$ For at teste hypotesen om ens middelværdier $$\mu_{\text{antibakspray}}=\mu_{\text{antisaebe}} =\mu_{\text{saebe}}=\mu_{\text{vand}},$$ benyttes kommandoen anova som vist i den følgende kode.

4.4.2 Teste middelværdier ens med anova

Test dig selv

ForegåendeNæste