Jeg beskriver nu en generel situation med $n_1$ uafhængige målinger fra gruppe 1 (population 1) og $n_2$ uafhængige målinger fra gruppe 2 (population 2). Målingerne betegnes med $x_{ji},$ $j=1,2,$ $i=1,\ldots,n_j.$ Målingerne i gruppe 1 er således $x_{11},x_{12},\ldots,x_{1n_1},$ og fra gruppe 2 er målingerne $x_{21},x_{22},\ldots,x_{2n_2}.$ Vi betragter den statistiske model $M_0$ beskrevet som $$M_0:\enspace X_{ji}\sim N(\mu_j,\sigma_j^2),\enspace j=1,2,\enspace i=1,\ldots,n_j,\enspace (\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2)\in \mathbf{R}^2\times \mathbf{R}^2_+. \tag{2.9.1}$$ Denne model siger, at data er normalfordelt, og hver gruppe har sin egen middelværdi og sin egen varians. Vi skal også betragte undermodellen $M_1,$ hvor hver gruppe har sin egen middelværdi, men begge grupper har samme varians, $$M_1:\enspace X_{ji}\sim N(\mu_j,\sigma^2),\enspace j=1,2,\enspace i=1,\ldots,n_j,\enspace (\mu_1,\mu_2,\sigma^2)\in \mathbf{R}^2\times \mathbf{R}_+. \tag{2.9.2}$$ For at estimere i model $M_0$ kan man blot bruge resultaterne fra afsnit 2.3 på hver gruppe for sig. Dette giver skønnene $$\begin{aligned} \hat\mu_1 &= \bar X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2/n_1),\quad s_1^2=\frac{1}{n_1-1}\sum_i(X_{1i}-\bar X_1)^2\sim \sigma_1^2\chi^2(n_1-1)/(n_1-1), \\ \hat\mu_2 &= \bar X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2/n_1),\quad s_2^2=\frac{1}{n_2-1}\sum_i(X_{2i}-\bar X_2)^2\sim \sigma_2^2\chi^2(n_2-1)/(n_2-1), \end{aligned}$$ Her er $\bar X_1=\sum_iX_{1i}/n_1$ gennemsnit i gruppe 1 og $\bar X_2=\sum_iX_{2i}/n_2$ gennemsnit i gruppe 2. Skøn over middelværdierne $\mu_1$ og $\mu_2$ bliver som i model $M_0$: $$\hat\mu_1 = \bar X_1\sim N(\mu_1,\sigma^2/n_1),\quad \hat\mu_2 = \bar X_2\sim N(\mu_2,\sigma^2/n_2).$$ Som skøn over den fælles varians $\sigma^2$ bruges $$\begin{aligned} s^2 &=\frac{1}{n_1+n_2-2}\Big( \sum_i(X_{1i}-\bar X_1)^2+ \sum_i(X_{2i}-\bar X_2)^2\Big) \\ &\sim \sigma^2\chi^2(n_1+n_2-2)/(n_1+n_2-2). \end{aligned}\tag{2.9.3}$$ At $s^2$ følger en skaleret $\chi^2$-fordeling kan vises ud fra Resultat 2.3.1, som viser, at $\sum_i(X_{ji}-\bar X_j)^2\sim\sigma^2\chi^2(n_j-1)$ og dermed at $\sum_i(X_{1i}-\bar X_1)^2+\sum_i(X_{2i}-\bar X_2)^2\sim \sigma^2\chi^2(n_1+n_2-2).$ ForegåendeNæste