Vis, at $$\mathrm{E}(\mathbf{B}\mathbf{Z})=\mathbf{B}\mathrm{E}(\mathbf{Z}),$$ hvor $\mathbf{B}$ er en $k\times n$ ikke-stokastisk matrix, og $\mathbf{Z}$ er en $n$-dimensional stokastisk vektor.

Luk igen

Betragt en generel lineær model $X_i\sim N(\xi_i,\sigma^2)$, $i=1,\ldots,n,$ hvor $\boldsymbol{\xi}=(\xi_1,\ldots,\xi_n)^{\text{\tiny T}}$ er på formen $$\boldsymbol{\xi}=\theta_1\mathbf{v}_1+\cdots +\theta_d\mathbf{v}_d,$$ med $\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_d$ $n$-dimensionale søjlevektorer. Antag at vektorerne $\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_d$ er ortogonale, det vil sige $\mathbf{v}_i^{\text{\tiny T}}\mathbf{v}_j=0$ for alle $i\neq j.$

1. Vis, at $\hat\theta_j=\frac{\mathbf{v}_j^{\text{\tiny T}}\mathbf{X}}{|\mathbf{v}_j|^2}$, $j=1,\ldots,d,$ hvor $\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)^{\text{\tiny T}}.$

Luk igen

Betragt en generel lineær model $M_1$ med $X_i\sim N(\xi_i,\sigma^2)$, $i=1,\ldots,n,$ hvor $\boldsymbol{\xi}=(\xi_1,\ldots,\xi_n)^{\text{\tiny T}}$ er på formen $$\boldsymbol{\xi}=\theta_1\mathbf{v}_1+\theta_2\mathbf{v}_2,$$ med $\mathbf{v}_1$ og $\mathbf{v}_2$ $n$-dimensionale søjlevektorer.

1. Lad $\mathbf{w}=\mathbf{v}_1-a\mathbf{v}_2$, $a=\frac{\mathbf{v}_1^{\text{\tiny T}}\mathbf{v}_2}{|\mathbf{v}_2|^2},$ og vis, at $\boldsymbol{\xi}=\theta_1\mathbf{w}+\gamma\mathbf{v}_2$ med $\gamma=\theta_2+a\theta_1.$
2. Vis, at $\hat\theta_1=\frac{ \mathbf{w}^{\text{\tiny T}}\mathbf{X} }{ |\mathbf{w}|^2 }$ og $\hat\gamma=\frac{ \mathbf{v}_2^{\text{\tiny T}}\mathbf{X} }{ |\mathbf{v}_2|^2 }.$
3. Vis, at $\hat\theta_1\sim N(\theta_1,\sigma^2/|\mathbf{w}|^2).$
4. Betragt nu delmodellen $M_2$ med $\theta_1=0$, $\boldsymbol{\xi}=\theta_2\mathbf{v}_2.$ Vis, at under $M_2$ er skøn over $\theta_2$ givet ved $\hat\theta_{20}=\frac{ \mathbf{v}_2^{\text{\tiny T}}\mathbf{X} }{ |\mathbf{v}_2|^2 }=\hat\gamma.$ Vis dernæst, at $|\hat{\boldsymbol{\xi}}(M_1)-\hat{\boldsymbol{\xi}}(M_2)|^2=\hat\theta_1^2|\mathbf{w}|^2$.
5. Vis, at $F$-teststørrelsen for reduktion fra $M_1$ til $M_2$ er identisk med den kvadrerede $t$-teststørrelse for hypotesen $\theta_1=0.$

Luk igen

I denne opgave skal du lave et R-program der kan simulere effekten af korrelation i en multipel regressionsmodel. I kodevinduet nedenfor er vist dele af det nødvendige program. Strukturen af programmet er en ydre løkke over det ønskede antal simulationer (nsim). Inde i løkken simuleres først data fra modellen $X_i\sim N(\alpha+\beta_1 t_{i1}+\beta_2 t_{i2},\sigma^2)$, $i=1,\ldots,n.$ Korrelation mellem de to forklarende variable styres med parameteren $z$ i koden.I den manglende kode skal du analysere data og finde de to $p$-værdier for test af $\beta_1=0$ og $\beta_2=0.$ Hvis den største $p$-værdi er over 0.05, fjernes dette led, og som et resultat af simuleringen noteres nummeret på den variabel, der er tilbage. Dette vil så være tallet 1 eller 2, og hvis den største af de to $p$-værdier er under 0.05, så ingen af de to led fjernes, registreres tallet 3. Når det ønskede antal simuleringer er lavet, tælles der op, hvor mange gange resultatet blev 1, 2 eller 3 (dette sker via kaldet af hist). Lav en tabel med optællinger for henholdsvis $z=0,$ $z=1,$ $z=3$ og $z=9$. Beskriv, ud fra de simulerede resultater, betydningen af korrelationen mellem de to forklarende variable.

Luk igen