Under model $M_0$ kan estimation foretages for hver af de $r$ multinomialmodeller under brug af resultatet i underafsnit 1.1.1. Dette giver $$M_0:\quad \hat\pi_{ij}=\frac{A_{ij}}{n_i},\enspace j=1,\ldots,k,\enspace i=1,\ldots,r.$$ Under model $M_1$ skal det fælles sæt sandsynligheder $(\pi_1,\ldots,\pi_k)$ estimeres. Opstiller man likelihoodfunktionen, kan man indse, at estimaterne opnås ved at bruge $$(A_{\bullet 1},A_{\bullet 2},\ldots,A_{\bullet k}) \sim\text{multinom}(n_\bullet,(\pi_{1},\ldots,\pi_{k})),$$ hvor $A_{\bullet j}=A_{1j}+A_{2j}+\cdots+A_{rj}$ er den $j$'te søjlesum og $n_\bullet=n_1+n_2+\cdots+n_r.$ Igen kan vi bruge resultatet i underafsnit 1.1.1 og får $$M_1:\quad \hat\pi_{j}=\frac{A_{\bullet j}}{n_\bullet},\enspace j=1,\ldots,k.$$ Vi kan nu beregne de forventede under model $M_1.$ Idet $e_{ij}$ er det forventede antal i kasse $j$ for population $i,$ er denne $$e_{ij}=n_i\hat\pi_j=\frac{n_iA_{\bullet j}}{n_\bullet}, \enspace j=1,\ldots,k,\enspace i=1,\ldots,r.$$ Denne formel kan læses som "rækkesum gange søjlesum divideret med den totale sum". For at lave et test for reduktion fra model $M_0$ til model $M_1$ bruges igen likelihood ratio teststørrelsen på formen $G=-2\log(Q),$ hvor $Q$ er forholdet mellem maksimum af likelihoodfuktionen under de to modeller: $$\begin{aligned} Q & = \frac{\max_{M_1}L}{\max_{M_0}L}=\prod_i\prod_j \frac{ \hat\pi_j^{A_{ij}} }{ \hat\pi_{ij}^{A_{ij}} } = \prod_i\prod_j \frac{1}{ \big( \frac{A_{ij}}{(n_iA_{\bullet j})/n_\bullet} \big)^{A_{ij}} }, \end{aligned}$$ og dermed $$G=2\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^k A_{ij} \log\Big(\frac{A_{ij}}{e_{ij}}\Big). \tag{1.6.1}$$ I ord kan vi sige dette, som at $G$ er 2 gange sum over celler af det observerede antal ganget med logaritmen til det observerede antal divideret med det forventede antal. Med celler mener vi indgangene i $r\times k$ matricen med antallene $A_{ij}.$ Antallet af frihedsgrader følger den generelle regel med antallet af frie parametre i $M_0$ minus antallet af frie parametre i $M_1$: $$\big(r(k-1)\big)-(k-1)=(r-1)(k-1).$$

Illustration gennem R

ForegåendeNæste