I bjergegne danner floder en alluvialkegle når de aflejrer sedimenter ved foden af bjerget. Disse kegler beskrives ofte som værende symmetriske, men forfatterne til artiklen Interactions between alluvial fans and axial rivers in Yukon, Canada and Alaska, USA sætter spørgsmålstegn ved dette. For 63 alluvialkegler har forfatterne målt en længde af keglen i hver sin side og dannet forholdet mellem de to længder, kegleforholdet: $F=L_D/L_U,$ hvor $D$ og $U$ står for downstream og upstream for vandløbet nedenfor keglen. En symmetrisk kegle svarer til at kegleforholdet har værdien 1. Målingerne findes i filen Alluvialkegle.txt. Indlæs data fra filen Alluvialkegle.txt med kommandoen scan("Alluvialkegle.txt"). Denne opgave kan nu formuleres kort som følger. Opstil en statistisk model for kegleforholdet, lav inferens for parametrene i modellen og overvej en hypotese, om at keglerne er symmetriske. Skrevet ud bliver dette til følgende spørgsmål.

1. Undersøg grafisk, om kegleforholdet kan beskrives med en normalfordeling via et histogram og et qqplot. Overvej om det er bedre at beskrive logariten til kegleforholdet med en normalfordeling. Opskriv en statistisk model for data.
2. Lav en tabel med skøn og 95%-konfidensinterval for middelværdien, variansen og spredningen i en normalfordelingsmodel.
3. Overvej, om data er i overenstemmelse med teorien om symmetriske kegler.

Uanset, om I beskriver de oprindelige kegleforhold eller logaritmen til disse, vil I finde, at spredningen er så stor, at et kegleforhold under 1 vil have en sandsynlighed på cirka 16% i den estimerede normalfordeling (overvej dette). Forfatterne diskuterer ud fra fluiddynamiske betragtninger, både hvorfor kegleforholdet ofte er større end 1, men også hvorfor værdier mindre end 1 kan forekomme.

Luk igen

I artiklen Effect of metallic iron from grinding on ferrous iron determinations måles indholdet af jern ($\text{Fe}^0$) i en række klippestykker ved to målemetoder betegnet som $\text{HgCl}_2$ og $\text{CuCl}_2.$ I tabellen nedenfor er kun medtaget de prøver, hvor jernindholdet er under 0.05 procent. $$\begin{array}{|ccccc|cccc|} \hline \text{Nummer} & \text{HgCl}_2 & \text{CuCl}_2 & \text{Differens} && \text{Nummer} & \text{HgCl}_2 & \text{CuCl}_2 & \text{Differens} \\ \hline 1 & 0.025 & 0.030 & 0.005 && 7 & 0.003 & 0.016 & 0.013 \\ 2 & 0.022 & 0.031 & 0.009 && 8 & 0.009 & 0.018 & 0.009 \\ 3 & 0.014 & 0.019 & 0.005 && 9 & 0.008 & 0.012 & 0.004 \\ 4 & 0.001 & 0.000 & -0.001 && 10 & 0.004 & 0.013 & 0.009 \\ 5 & 0.002 & 0.004 & 0.002 && 11 & 0.031 & 0.037 & 0.006 \\ 6 & 0.003 & 0.016 & 0.013 && 12 & 0.020 & 0.041 & 0.021 \\ \hline \end{array}$$ I denne opgave skal I ud fra differenserne mellem de to målinger angive den viden, vi har om en eventuel forskel mellem de to målemetoder. Middelværdien af differensen siger noget om, hvilken generel tendens der er i forskellen mellem de to metoder, og spredningen repræsenterer den kombinerede måleusikkerhed fra de to målinger på den samme prøve. Data findes i filen Jern.csv, som er organiseret i 12 rækker og tre søjler: første søjle angiver prøvenummer, anden søjle angiver $\text{HgCl}_2$-målingen og tredje søjle angiver $\text{CuCl}_2$-målingen.

1. Indlæs data, og lav en figur, hvor indholdet af jern fra $\text{CuCl}_2$ metoden tegnes op mod indholdet fra $\text{HgCl}_2$ metoden. Indtegn identitetslinjen i figuren. Prøv at beskrive i ord, hvad figuren viser om forskel i jernindhold mellem de to målemetoder.
2. Betragt nu de 12 differenser mellem jernindhold fra de to målemetoder. Lav et qqplot af data, og opskriv den statistiske model, hvor differensen er normalfordelt.
3. Lav et test for hypotesen, at middelværdien af differensen er nul, svarende til hypotesen, at der ikke er forskel mellem de to målemetoder. Lav dernæst et 95%-konfidensinterval for middelværdien af differensen. Hvad bliver konklusionen af disse udregninger ?

Når I laver et $t$-test for at middelværdierne af differenserne er nul, kaldes dette et parret $t$-test: observationerne fra de to målemetoder er parret, ved at der er målt på det samme klippestykke. For en given målemetode er der stor variation i jernindholdet mellem klippestykkerne, og det kan være svært at se en forskel mellem to målemetoder, hvis vi forestiller os et alternativt eksperiment, hvor der er indsamlet 12 klipestykker, der analyseres med den ene målemetoder, og 12 andre klippestykker der analyseres med den anden målemetode. I kan se dette ved at prøve at lave et two-sample $t$-test for data i denne opgave, hvor det ene observationssæt er data fra den ene målemetode, og det andet observationssæt er data fra den anden målemetode (two-sample $t$-test skal I arbejde med i den næste opgave).

Luk igen

Gøgen lægger sine æg i andre fugles reder. I artiklen The eggs of Cuculus canorus. An Inquiry into the dimensions of the cuckoo's egg and the relation of the variations to the size of the eggs of the foster-parent, with notes on coloration undersøges det, om der er sket en selektion, således at gøgen er tilpasset den fugl, der bruges som vært for æggene. For de to værtsarter Engpiber og Hvid vipstjert er gøgens æg indsamlet, og bredden af ægget divideret med længden af ægget er beregnet (kaldet æggets form fremover). Data ligger i filen Goegen.csv i form af to søjler, hvor første søjle er værtsart, og anden søjle er æggets form.

1. Indlæs data og dan vektorerne art og form ud fra søjlerne i de indlæste data. Dan dernæst to datasæt formEng og formVip med værdierne fra form hørende til henholdsvis Engpibe og Vipstjert.
   Lav en figur med et qqplot for hvert af de to datasæt. Koden, til at lave flere qqplots i den samme figur, kan du se i kodevinduet i afsnit 2.8. Synes du, at gøgeæggenes form for hver værtsart kan beskrives med en normalfordeling ?
   Lav også en figur med boxplot for hvert af de to datasæt. Flere boxplots i den samme figur kan laves som vist i kodevinduet i afsnit 2.8, men kan også laves med kommandoen boxplot(form$\sim$art). Hvilke ligheder og forskelle mellem de to datasæt kan du se i denne figur ?
2. Opstil modellen, hvor hvert datasæt (formEng og formVip) følger sin egen normalfordeling. Opsummer de to datasæt i form af en tabel, som for hvert datasæt indeholder antallet af observationer, gennemsnit, empirisk spredning og et 95%-konfidensinterval for middelværdien. Antallet af elementer i en vektor kan i R findes med funktionen length.
3. Opskriv hypotesen, at de to varianser er ens, og lav $F$-testet for ens varianser. Er det rimeligt at antage, at variansen af æggets form er den samme for de to værtsarter ?
4. Opstil nu modellen, hvor data er normalfordelt, og de to datasæt har hver sin middelværdi, men samme varians. Opstil hypotesen at de to middelværdier er ens, og lav et test af denne hypotese.
   Er det rimeligt at antage, at æggets form har samme middelværdi for de to værtsarter ?
5. Angiv et 95%-konfidensinterval for forskellen i middelværdi af æggets form mellem værtsarten Engpiber og Hvid vipstjert.
   Synes du, at forskellen mellem de to middelværdier i denne opgave er stor (se begrebet effektstørrelse i eksempel 2.10.2) ?

Luk igen

I artiklen In the shades of the uncanny valley: An experimental study of human-chatbot interaction undersøges, hvordan forsøgspersoner påvirkes af at interagere med en chatbot, enten en simpel tekst-chatbot eller en chatbot, der oplæser beskederne. I artiklen betegnes de to situationer med Text og Avatar. Som et af målepunkterne i eksperimentet måles den gennemsnitlige puls af forsøgspersonerne: 16 personer i Text-gruppen og 15 personer i Avatar-gruppen. Data ligger i filen Chatbot.csv i form af to søjler, hvor første søjle angiver chatbotsituationen, og anden søjle er pulsen. Data i denne fil er simulerede på en sådan måde, at informationen i figur 8 i den ovennævnte artikel efterlignes.

1. Indlæs data fra filen Chatbot.csv. Lav to datasæt med puls svarende til grupperne Text og Avatar. Du skal i den samme figur lave et qqplot for begge datasæt.
   Synes du, at pulsen for hver chatbotsituation kan beskrives med en normalfordeling ?
   Lav en figur, der indeholder boxplot for de to chatbotsituationer. Hvilke ligheder og forskelle mellem de to datasæt kan du se i denne figur ?
2. Opstil modellen, hvor hvert datasæt følger sin egen normalfordeling. Opsummer de to datasæt i form af en tabel, som for hvert datasæt indeholder antallet af observationer, gennemsnit, empirisk spredning og et 95%-konfidensinterval for middelværdien.
3. Opstil hypotesen, at de to varianser er ens. Eftervis, at data strider mod at sige, at variansen på pulsen er den samme for Text-gruppen som for Avatar-gruppen.
4. Angiv et 95%-konfidensinterval for forskellen i middelværdi af pulsen mellem Text-gruppen og Avatar-gruppen.
   Synes du, at forskellen mellem de to middelværdier er stor ?
5. Prøv til sidst at betragte logaritmen til pulsen. Lav qqplots for at se, om disse data kan beskrives med en normalfordeling. Lav et test, for at varianserne er ens, og lav et 95%-konfidensinterval for forskel i middelværdi af logaritmen til pulsen.
   Oversæt det fundne konfidensinterval for forskel i middelværdi af logaritmen til pulsen til et 95%-konfidensinterval for forholdet mellem middelværdierne af pulsen, jævnfør underafsnit 2.13.3. Hvor mange gange større er middelværdien af pulsen for Avatar-gruppen i forhold til Text-gruppen ?

Luk igen

I skal i denne opgave lave en figur, der illustrerer standard deviation i forhold til standard error. Start med at dele plotvinduet op i to dele med ordren par(mfrow=c(1,2)).

1. Simuler $n=20$ observationer $x_1,\ldots,x_{20}$ fra en standard normalfordeling (benyt rnorm(20) til dette). Beregn den empiriske spredning $s,$ beregn skøn $\hat\mu=\bar x$ over middelværdien og standard error for middelværdiskønnet, $\text{sd}_s(\hat\mu).$
2. Lav en figur med kaldet boxplot(x,xlim=c(0,3),ylim=c(-3,3)), hvor $x$ er en vektor med de simulerede værdier.
3. Indsæt to lodrette linjestykker med yderpunkter henholdsvis $\hat\mu\pm s$ og $\hat\mu\pm s\big/\sqrt{n}.$ Disse skal placeres ud for $1.5$ og $2.0$ på førsteaksen. Dette kan gøres med funktionen errrobar omtalt i underfsnittet Egne funktioner i R i afsnit 1.9:

   errorbar(c(1.5,2.0),c($\hat\mu,\hat\mu$),lower,upper)

   hvor lower=c($\hat\mu$-s,$\hat\mu$-s/sqrt(n)), og upper er tilsvarende med plus i stedet for minus. Indsæt endelig et vandret linjestykke til at markere værdien af $\hat\mu.$
4. Gentag ovenstående simulering og tegning med $n=200$ observationer. Hvilke dele skal ligne hinanden i de to tegninger, og hvilke skal ikke ?

Luk igen

Betragt to variansskøn $s_j^2\sim\sigma_j^2\chi^2(\mathit{df}_{j})/ \mathit{df}_{j}$, $j=1,2$. I skal i denne opgave vise, at $F$-testet for ens varianser fra afsnit 2.12, i tilfældet med $\mathit{df}_{1}=\mathit{df}_{2}$, er identisk med testet baseret på log likelihoodratio testoren. Lad den fælles værdi af frihedsgraderne være $f$, lad $v=s_1^2/s_2^2$, og lad $\lambda(v)$ være $-2\log(Q)$ teststørrelsen fra (4.5.1) med $k=2$.

1. Vis, at $\lambda(v)=f\cdot\log\big(\frac{(1+v)^2}{4v}\big)$.
2. Vis, at $\lambda(v)=\lambda(1/v)$.
3. Lad $v<1$. Vis, at $P(\lambda(V)\geq\lambda(v))=F_{\text{cdf}}(v,f,f)+1-F_{\text{cdf}}(1/v,f,f)$.
4. Vis, med $v<1$, at $P(\lambda(V)\geq\lambda(v))=2\cdot F_{\text{cdf}}(v,f,f)$.

Luk igen

Når vi tester om to varianser er ens ved et test på niveau 0.05, forkaster vi, hvis $s_1^2/s_2^2$ er mindre end eller lig med $F_{\text{inv}}(0.025,\mathit{df}_{1}, \mathit{df}_{2})$, eller hvis $s_1^2/s_2^2$ er større end eller lig med $F_{\text{inv}}(0.975,\mathit{df}_{1}, \mathit{df}_{2})$, hvor $\mathit{df}_{j}$, $j=1,2$, er frihedsgraderne hørende til de to variansskøn. Betragt nu alternativet, hvor $\tau^2=\sigma_2^2/\sigma_1^2\neq 1$.

1. Vis, at sandsynligheden for at forkaste hypotesen om ens varianser (styrken) er
   $$F_{\text{cdf}}\big(\tau^2F_{\text{inv}}(0.025,\mathit{df}_{1}, \mathit{df}_{2}),\mathit{df}_{1}, \mathit{df}_{2}\big)+ 1- F_{\text{cdf}}\big(\tau^2F_{\text{inv}}(0.975,\mathit{df}_{1}, \mathit{df}_{2}),\mathit{df}_{1}, \mathit{df}_{2}\big).$$
2. Vælg værdier for de to frihedsgradsantal, og lav en figur, der viser styrken som funktion af variansforholdet $\tau^2$.
3. Lad $\tau^2=2$ og lad de to frihedsgradsantal være ens. Lav en figur, der viser styrken som funktion af frihedsgradsantallet.

Luk igen