Afsnit 4.8: Estimation og t-test

Estimation af parametrene i en generel lineær model som i (4.7.1) foretages ved at minimere

$\sum_{i=1}^n(x_i-\xi_i(M))^2$ over de parametre, der indgår i middelværdivektoren $(\xi_1,\ldots,\xi_n).$ I praksis foretages denne beregning nemt i R ved matriksberegninger, se afsnit 6.0. Som skøn over variansen $\sigma^2$ bruger vi altid

$s^2(M)=\frac{\mathit{SSD}(M)}{\mathit{df}(M)} \sim \sigma^2\chi^2(\mathit{df}(M))/\mathit{df}(M),$ med notation fra (4.0.1). Variansskønnet er altid uafhængig af skønnet over de parametre, der indgår i middelværdien $\xi_i(M).$

Resultat 4.8.1. (Fordeling af parameterskøn)

For en parameter $\theta,$ der indgår i middelværdivektoren $(\xi_1(M),\ldots,\xi_n(M)),$ gælder der altid, at der findes en konstant $C(M),$ således at

$\hat\theta\sim N\big(\theta,\sigma^2 C(M)\big).$ Dermed er standard error for $\hat\theta$ givet ved $\text{sd}_s(\hat\theta)=\sqrt{s^2(M)C(M)},$ og $T=(\hat\theta-\theta_0)/\text{sd}_s(\hat\theta)\sim t(\mathit{df}(M))$ under hypotesen $\theta=\theta_0.$ Et 95%-konfidensinterval for $\theta$ er på formen

$\hat\theta\pm t_0\cdot \text{sd}_s(\hat\theta),\enspace t_0=t_{\text{inv}}(0.975,\mathit{df}(M)).$

Den matematiske baggrund for dette resultat omtales i afsnit 6.3.

Foregående Næste