Jeg vil i dette afsnit lave en analyse af data i det foregående afsnit omkring transportkoefficienten i sedimenttransport. Lad $\mathit{logD}_i$ være logaritmen til den beregnede transportkoefficient $D_i,$ lad $\mathit{logAI}_i$ være logaritmen til tørhedsindeks $\mathit{AI}_i,$ og lad $G_i$ være overfladeforhold for det $i$'te område, hvor $G_i$ kan have de to værdier $U$ og $M$ for unconsolidated og metamorphic/igneous. Jeg starter med modellen $$\begin{aligned} {M_0:}\enspace & \mathit{LogD}_i\sim N\big(\alpha_{G_i}+\beta_{G_i}\cdot\mathit{logAI}_i, \sigma^2_{G_i}\big),\enspace i=1,\ldots,102, \\ & (\alpha_U,\alpha_M,\beta_U,\beta_M,\sigma_U,\sigma_M)\in \mathbf{R}^{4}\times \mathbf{R}_+^{2}, \end{aligned}$$ hvor målingerne er uafhængige, og alle parametrene kan variere frit. Denne model siger, at hver gruppe har sin egen lineære sammenhæng, og hver gruppe har sin egen spredning omkring den lineære sammenhæng. Et qqplot af residualer for hver af de to overfladegrupper viser ikke afvigelse fra en normalfordeling. Et test for hypotesen om samme varians, $\sigma^2_U=\sigma^2_M,$ kan udføres som i afsnit 2.13 under brug af R-funktionen var.test. Input er de to output fra lm anvendt på hver af de to grupper af observationer. Kørsel af koden nedenfor viser, at $p$-værdien fra dette test er 0.56, og data strider derfor ikke mod hypotesen om samme varians. Selvom man ikke skal bruge Bartletts test, når der kun er to grupper, vises også nedenfor koden for, hvordan man kan kalde Bartlett.test.

5.2.1 QQplots og Bartletts test for varianshomogenitet

Da vi kan antage, at de to varianser er ens, betragtes nu modellen $$\begin{aligned} {M_1:}\enspace & \mathit{LogD}_i\sim N\big(\alpha_{G_i}+\beta_{G_i}\cdot\mathit{logAI}_i, \sigma^2\big),\enspace i=1,\ldots,102, \\ & (\alpha_U,\alpha_M,\beta_U,\beta_M,\sigma)\in \mathbf{R}^{4}\times \mathbf{R}_+. \end{aligned}$$ Det venstre delplot i figuren nedenfor viser data med de to estimerede linjer indtegnet. Inden for dataområdet ligger linjen for unconsolidated sedimenter under linjen for igneous/metamorphic gruppen, selvom unconsolidated har en større hældning. Den større hældning er imidlertid ikke signifikant. Hvis vi laver $F$-testet for reduktion fra model $M_1$ til den additive model $M_{2\alpha},$ hvor de to grupper af observationer har den samme hældning i den lineære sammenhæng, får vi en $p$-værdi på 0.28. Data strider altså ikke mod hypotesen $\beta_U=\beta_M.$ Skøn og konfidensintervaller for parametrene i modellen med samme hældning er, $$\begin{array}{l rr}\hline \text{Parameter} & \text{Skøn} & \text{Konfidensinterval} \\ \hline \text{Intercept} & 4.51 & [4.20,\,4.81] \\ \alpha_U-\alpha_M & -0.66 & [-1.03,\,-0.29] \\ \beta & 0.58 & [0.45,\,0.72] \\ \sigma & 0.90 & [0.83,\,1.10] \\ \hline \end{array}$$ Data med de estimerede linjer under modelen $M_{2\alpha}$ er vist i det midterste delplot i figuren nedenfor. Da vores model er for logaritmetransformerede data, kan vi skrive de estimerede relationer kortfattet på formen $D\approx e^{3.85}\cdot \text{AI}^{0.58}$ for unconsolidated gruppen, og $D\approx e^{4.51}\cdot \text{AI}^{0.58}$ for igneous/metamorphic gruppen. For samme værdi af tørhedsindekset har igneous/metamorphic gruppen en transportkoefficient, der næsten er dobbelt så stor som for unconsolidated gruppen (her taler vi om middelværdier). Et test, under model $M_{2\alpha},$ for hypotesen om samme skæring, $\alpha_U=\alpha_M,$ giver en $p$-værdi på 0.0006. Modellen kan altså ikke reduceres til model $M_3,$ hvor begge grupper har den samme lineære sammenhæng. Vi reducerede ovenfor beskrivelsen af data fra model $M_1$ til model $M_{2\alpha},$ hvor de to grupper har samme hældning. For disse data kan det imidlertid også give mening at betragte modellen med fælles skæring, $M_{2\beta}.$ Dette skyldes, at når logAI er nul, så er AI lig med 1, som betyder, at den årlige gennemsnitsnedbør er lig med den årlige gennemsnitsfordampning. En fælles skæring vil således være et udsagn om, at transportkoefficienten er uafhængig af overfladetype, når $\mathit{AI}=1.$ Et test for reduktion fra model $M_1$ til model $M_{2\beta}$ giver en $p$-værdi på 0.12, og vi siger derfor, at data ikke strider mod denne reduktion. De estimerede linjer under model $M_{2\beta}$ er vist i det højre delplot i figuren ovenfor. Data i dette eksempel kan således lede frem til to vidt forskellige modeller, der begge synes fagligt rimelige. At dette kan lade sig gøre hænger sammen med, at data udviser en meget stor spredning omkring de estimerede linjer.I artiklen, hvor data stammer fra, deles data også op efter, hvordan transportkoefficienen beregnes, og der laves en analyse analog til analysen ovenfor, når data i stedet deles op efter beregningsmetoden. Desværre giver dette anledning til en stor usikkerhed omkring fortolkningen af resultaterne, vi kom frem til ovenfor. Det viser sig nemlig, at opdeling efter metode til beregning af transportkoefficienten i store træk er den samme som opdeling efter overfladetype (unconsolidated eller igneous/metamorphic). Vi kan derfor ikke vide, om de forskelle, der ses i data, skyldes overfladeforholdene eller skyldes beregningsmetoden!

5.2.2 F-tests og parametertabel

ForegåendeNæste