Indtil nu har vi i dette kapitel udelukkende set på observationer fra $\acute{\text{e}}$n multinomialfordeling. Ofte vil man have observationer fra flere "populationer" og ønsker at sammenligne disse for at se, om der er samme forhold i populationerne. Her skal population forstås bredt. Det kan være biologiske populationer, men kan også være undersøgelser lavet på forskellige tidspunkter, eller for eksempel eksperimenter der gentages. Jeg formulerer nu situationen generelt. Vi betragter $r$ populationer, og i den $i$'te er der i alt $n_i$ observationer. For hver population kategoriseres data i $k$ kasser, og antallene i disse kasser tælles: $(A_{i1},A_{i2},\ldots,A_{ik})$ er antallene i den $i$'te population, $A_{i1}+A_{i2}+\cdots+A_{ik}=n_i.$ Som statistisk model benyttes $$\begin{aligned} M_0:\enspace &(A_{i1},\ldots,A_{ik})\sim\text{multinom}(n_i,(\pi_{i1},\ldots,\pi_{ik})), \\ &\pi_{ij}\geq 0,\enspace \pi_{i1}+\cdots+\pi_{ik}=1,\enspace i=1,\ldots,r, \end{aligned}$$ og de $r$ populationer er uafhængige.Vi ønsker at teste hypotesen, at der er samme forhold i de $r$ populationer. Med dette menes, at sandsynligheden for at falde i kasse $j$ er den samme i de $r$ populationer, og dette gælder for alle kasser $j=1,\ldots,k.$ Dette kan skrives formelt som en ny model $M_1,$ hvorunder der findes et sæt sandsynligheder $\pi_1,\ldots,\pi_k,$ $\pi_j\geq 0,$ $\pi_1+\cdots+\pi_k=1,$ således at $$M_1:\quad \pi_{ij}=\pi_j,\enspace i=1,\ldots,r\quad\text{for alle}\enspace j=1,\ldots,k.$$ Hvis vi samler alle sandsynligheder i en $r\times k$ matriks, kan hypotesen skrives på formen $$\begin{array}{l|cccc|} & 1 & 2 & \cdots & k \\ \hline 1 & \pi_{11} & \pi_{12} & \cdots & \pi_{1k} \\ 2 & \pi_{21} & \pi_{22} & \cdots & \pi_{2k} \\ \vdots & \vdots & & & \vdots \\ r &\pi_{r1} & \pi_{r2} & \cdots & \pi_{rk} \\ \hline \end{array} \quad\quad=\quad\quad \begin{array}{l|cccc|} & 1 & 2 & \cdots & k \\ \hline 1 & \pi_{1} & \pi_{2} & \cdots & \pi_{k} \\ 2 & \pi_{1} & \pi_{2} & \cdots & \pi_{k} \\ \vdots & \vdots & & & \vdots \\ r & \pi_{1} & \pi_{2} & \cdots & \pi_{k} \\ \hline \end{array}$$ Hypotesen kaldes homogenitetshypotesen for kategoriske data. ForegåendeNæste