Hvis vi prøver at lave uafhængighedstestet for data fra Homers Illiade, finder man, at $G$-teststørrelsen er 14.0, og de forventede antal er $$\begin{array}{lcc} \text{Sted} & \text{Død} & \text{Ikke Død} \\ \hline \text{Hånd} & 1.5 & 2.5 \\ \text{Arm} & 3.4 & 5.6 \\ \text{Skulder} & 4.6 & 7.4 \\ \text{Ben} & 3.4 & 5.6 \\ \hline \end{array}$$ Vi kan se her, at de forventede antal er ikke alle større end eller lig med 5, og vi kan ikke umiddelbart bruge Resultat 1.7.1. Ofte bruger man et mindre restriktivt krav, der kendes under betegnelsen Cochran regel. Denne regel siger, at alle de forventede skal være større end eller lig med 1, og højst 20 procent må være under 5. I eksemplet ovenfor med data fra Homers Illiade er der 5 ud af 8 forventede antal, der er under 5, hvilket er langt over grænsen på de 20 procent. Vi bør derfor ikke bruge $\chi^2$-fordelingen til at beregne en approksimativ $p$-værdi (hvis vi gør det alligevel, bliver $p$-værdien 0.0029).Jeg vil nu beskrive en måde til at simulere en $p$-værdi for test af uafhængighedshypotesen $M_{I1}$ fra (1.7.1). De underliggende data består af kategorierne $(H_u,M_u)$ for $n$ elementer $u=1,\ldots,n,$ hvor $H_u$ er kategorien efter det første kriterie, og $M_u$ er kategorien efter det andet kriterie. Nedenfor viser jeg, at under uafhængighedshypotesen $M_{I1}$ vil $(H_1,M_1),\ldots,(H_n,M_n)$ være uniformt fordelt i den betingede fordeling givet rækkesummerne $A_{1\bullet},\ldots,A_{r\bullet}$ og søjlesummerne $A_{\bullet 1},\ldots,A_{\bullet k}.$ Lad $h_1^0,\ldots,h_n^0$ være en fast følge, hvor antallet i de forskellige kategorier efter det første inddelingskriterie er $a_{1\bullet},\ldots,a_{r\bullet},$ og lad $m_1^0,\ldots,m_n^0$ være en fast følge, hvor antallet i de forskellige kategorier efter det andet inddelingskriterie er $a_{\bullet 1},\ldots,a_{\bullet k}.$ Så siger resultatet, at alle mulige ombytninger af $h_1^0,\ldots,h_n^0$ og alle mulige ombytninger af $m_1^0,\ldots,m_n^0$ er lige sandsynlige i den betingede fordeling givet rækkesummer og søjlesummer. En simuleret $p$-værdi kan nu findes ved for hver simuleret ombytning at finde antallene $A_{ij}$ i de $r\cdot k$ celler af tabellen, beregne $G$-teststørrelsen og se, hvor ofte vi får en værdi, der ligger over $G$-teststørrelsen for de oprindelige data, $G_{\text{obs}}.$

1.8.2 Beregning i R af permutations p-værdi

Betingede sandsynlighed

Den betingede fordeling, der simuleres i permutationstestet ovenfor, kan beregnes direkte i en $2\times 2$ tabel. Når vi betinger med de to rækkesummer og de to søjlesummer, er der kun $\acute{\text{e}}$n indgang tilbage i $2\times 2$ matricen $A$, der kan variere frit. Lad $A_{1\bullet}=b$, $A_{2\bullet}=c$, $A_{\bullet 1}=d$ og $A_{\bullet 2}=e,$ så kan vi skrive $A$ som $$\begin{array}{cc|c} x & b-x & b \\ d-x & x+c-d & c \\ \hline d & e & n \end{array} \qquad \max\{0,d-c\}\leq x\leq \min\{b,d\}.$$ Den betingede sandsynlighed $h(x,b,c,d)$ kan beregnes som $$\begin{aligned} h(x,b,c,d)& = \frac{P\big(A_{11}=x,A_{12}=b-x,A_{21}=d-x,A_{22}=x+c-d\big)} {P\big(A_{1\bullet}=b,A_{2\bullet}=c\big) P\big(A_{\bullet 1}=d,A_{\bullet 2}=b+c-d\big)} \\ &= \frac{ \binom{n}{x,b-x,d-x,x+c-d}(\alpha_1\beta_1)^x (\alpha_1\beta_2)^{b-x}(\alpha_2\beta_1)^{d-x}(\alpha_2\beta_2)^{x+c-d} } { \binom{n}{b}\binom{n}{d}\alpha_1^b\alpha_2^c\beta_1^d\beta_2^{b+c-d} } \\ & = \frac{n!b!c!}{x!(b-x)!(d-x)!(x+c-d)!\binom{n}{d}} =\frac{\binom{b}{x}\binom{c}{d-x}}{\binom{b+c}{d}}. \end{aligned}$$ Fordelingen, der optræder her, kendes under navnet den hypergeometriske fordeling. For enhver mulig værdi af $x$ beregner vi $G$-teststørrelsen, $G(x),$ og beregner $p$-værdien for uafhænighedstestet som $$p\text{-værdi}=\sum_{x:G(x)\geq G_{\text{obs}}} h(x,b,c,d). \tag{1.8.1}$$ Testet baseret på den betingede fordeling kaldes Fishers eksakte test. I R er dette test implementeret i funktionen fisher.test, men her beregnes $p$-værdien lidt anderledes end i (1.8.1). Når vi bruger (1.8.1), rangordnes de forskellige udfald $x,$ det vil sige $(1,1)$-indgangen i $A$ matricen, ud fra $G$-teststørrelsen. I fisher.test rangordnes udfaldene efter værdien af den betingede sandsynlighed $h(x,b,c,d),$ således at $p$-værdien er $$p\text{-værdi}_{\text{fisher.test}}= \sum_{x:h(x,b,c,d)\leq h(x_{\text{obs}},b,c,d)} h(x,b,c,d). \tag{1.8.2}$$ ForegåendeNæste