Indbygget i R er et datasæt trees, der indeholder data for 31 black cherry trees fra Allegheny National Forest. Data stammer oprindeligt fra The Minitab Student Handbook. For hvert træ har man målt diameter (inches, målt 54 inches over jorden), højden (feet) og volumen af tømmer efter fældning (cubic feet). Figuren nedenfor viser logaritmen til volumen afsat mod henholdsvis logaritmen til diameter og logaritmen til højden. Den sidste delfigur viser logaritmen til højden afsat mod logaritmen til diameteren. Det er tydeligt, at diameteren og højden hver især giver information om volumen, og diameteren er den, der bedst kan bruges til at forudsige volumen. Hældningen i en regression af log-volumen på log-diameter er 2.2, svarende til at volumen er proportional med diameter opløftet i 2.2. Dette kan umiddelbart være svært at fortolke, men hvis vi ser på regressionen af log-højde på log-diameter, er hældningen her 0.2. Vi kan derfor sige, at diameter${\,}^{2.2}$ efterligner diameter${\,}^{2}\cdot$højde, hvilket intuitivt giver god mening. Spørgsmålet er, om man kan lave en model, hvor log-diameter og log-højde begge indgår, og dermed kan forbedre beskrivelsen af log-volumen ? Den relevante modelklasse er multipel regression, som jeg vil beskrive i det følgende. Vi betragter målinger af $n$ uafhængige stokastiske variable $X_i,$ $i=1,\ldots,n.$ Til hvert observationsnummer $i$ er der tilknyttet værdierne af $d$ forklarende variable. I den simple lineære regressionsmodel i afsnit 3.1 blev værdien af den forklarende variabel betegnet med $t_i.$ Når der er flere forklarende variable, lad os sige $d$ af disse, betegnes værdierne med $t_{ij},$ $i=1,\ldots,n$ og $j=1,\ldots,d.$ På denne måde passer index med en dataframestruktur, hvor $i$ er rækkenummer og $j$ er søjlenummer. Den $j$'te forklarende variabel er vektoren $t_j=(t_{1j},t_{2j},\ldots,t_{nj}).$ I den multiple regressionsmodel er middelværdien af respons $X_i$ en linearkombination af de $d$ forklarende værdier. Vi skriver modellen på formen $$\begin{aligned} \text{Model:}\enspace & X_i\sim N\big( \alpha+\beta_1t_{i1}+\beta_2t_{i2}+\cdots+\beta_dt_{id},\sigma^2\big), \enspace i=1,\ldots,n, \\ & (\alpha,\beta_1,\ldots,\beta_d,\sigma^2)\in \mathbf{R}^{d+1}\times \mathbf{R}_+. \end{aligned}\tag{5.3.1}$$ De forklarende variable kaldes også regressionsvariable, og $\beta_1,\ldots,\beta_d$ kaldes regressionskoefficienter. Modellen analyseres i R med kommandoen

lm(x$\sim$t1+t2+$\cdots$+td)

hvor, i den konkrete situation, $x$ skal erstattes af navnet på responsvariablen, og t1,t2,$\ldots,$td skal erstattes med navnene på de forklarende variable, og summen af de $d$ led skal skrives fuldstændigt ud. I parametertabellen fra summary er Intercept skønnet over $\alpha,$ og skønnet $\hat\beta_j$ over den $j$'te regressionskoefficient står ud for navnet på den $j$'te forklarende variabel (her tj). Den $i$'te forventede værdi er $\hat\xi_i=\hat\alpha+\hat\beta_1t_{i1}+\cdots+\hat\beta_kt_{id},$ og skønnet over variansen i modellen er $s^2=\sum_i\big(x_i-\hat\xi_i\big)^2/(n-d-1),$ idet middelværdimodellen har $d+1$ parametre. Ligesom for den simple regressionsmodel i afsnit 5.5 kan vi være interesseret i middelværdien $\xi^P=\alpha+\beta_1t_{*1}+\cdots+\beta_dt_{*d}$ for givne værdier $t_{*1},\ldots,t_{*d}$ af de forklarende variable. Skønnet over denne, $$\hat\xi^P=\hat\alpha+\hat\beta_1t_{*1}+\cdots+\hat\beta_dt_{*d}, \tag{5.3.2}$$ kaldes den prædikterede værdi. Et konfidensinterval for $\xi^P$ beregnes i R med predict (med indstillingen interval="confidence") som i afsnit 3.5, hvor der så skal bruges en dataframe

nyData=data.frame(t1=$t_{*1},\ldots,$td=$t_{*d}$)

Som i afsnit 3.5 kan man få et prædiktionsinterval i stedet, det vil sige et interval for en kommende observation, ved at lave indstillingen interval="prediction" i kaldet til predict. ForegåendeNæste