I artiklen Upper Extremity Injuries in Homer's Iliad har forfatterne læst Homers Illiade og registreret 146 personskader i kampene omkring Troja. Skaderne er delt op efter området på kroppen og om personen dør eller ikke dør. Her vil jeg nøjes med at se på skader, der vedrører arme og ben. $$\begin{array}{lcc} \text{Sted} & \text{Død} & \text{Ikke Død} \\ \hline \text{Hånd} & 0 & 4 \\ \text{Arm} & 3 & 6 \\ \text{Skulder} & 9 & 3 \\ \text{Ben} & 1 & 8 \\ \hline \end{array}$$ Er der uafhængighed mellem, hvor man får en skade, og om man overlever ? Kunne de gamle grækere ved at bruge statistik have fået viden om, hvor de skulle forbedre kampuniformen ? I en generel formulering betragter jeg $n$ individer, der inddeles efter to kriterier. De oprindelige data skrives på formen $(H_u,M_u)$, $u=1,\ldots,n,$ hvor $H_u$ er kategorien efter det første kriterie (med $r$ katagorier) for observation nummer $u,$ og $M_u$ er kategorien efter det anden kriterie (med $k$ katagorier). Fra disse data dannes en $r\times k$ tabel med antal $A_{ij},$ hvor $A_{ij}$ tæller op antallet af observationer, hvor $H_u=i$ og $M_u=j.$ Som startmodel bruger vi $$\begin{aligned} M_{I0}:\enspace & (A_{11},A_{12},\ldots,A_{rk})\sim\text{multinom}\big( n,(\pi_{11},\pi_{12},\ldots,\pi_{rk})\big), \\ & \pi_{ij}\geq 0,\enspace \pi_{11}+\pi_{12}+\cdots+\pi_{rk}=1. \end{aligned}$$ Hypotesen om uafhængighed siger, at sandsynligheden for at falde i den $(i,j)$'te celle, $\pi_{ij},$ kan skrives som produktet af en sandsynlighed (kaldet $\alpha_i$ nedenfor) for at falde i kasse $i$ med hensyn til det første kriterie og en sandsynlighed (kaldet $\beta_j$ nedenfor) for at falde i kasse $j$ med hensyn til det andet kriterie. Dette giver modellen $$\begin{aligned} M_{I1}:\enspace & \pi_{ij}=\pi_{ij}(\alpha,\beta)= \alpha_i\beta_j,\enspace i=1,\ldots,r,\enspace j=1,\ldots,k, \\ & \alpha_i\geq 0,\,\, \alpha_1+\cdots+\alpha_r=1,\enspace \beta_j\geq 0,\,\, \beta_1+\cdots+\beta_k=1. \end{aligned}\tag{1.7.1}$$ Lad os starte med lidt notation. Vektoren med alle antallene $A_{ij}$ kaldes $A$, og tilsvarende er $\pi$ vektoren med alle indgangene $\pi_{ij}$. Den $i$'te rækkesum er $A_{i\bullet}=A_{i1}+\cdots+A_{ik},$ og den $j$'te søjlesum er $A_{\bullet j}=A_{1j}+\cdots+A_{rj},$ og vektorerne med disse summer betegnes $A_{\star\bullet}$ og $A_{{\bullet}\star}.$ Bemærk, at da rækkesummerne svarer til, at vi kun inddeler data efter det første kriterie, vil vektoren $A_{\star\bullet}$ med disse summer være multinomialfordelt. Det samme gælder for søjlesummerne. Likelihoodfunktionen under model $M_{I0}$ er $L(\pi)=\binom{n}{A}\prod_{ij}\pi_{ij}^{A_{ij}},$ og likelihoodfunktionen under uafhængighedshypotesen er $$L(\pi(\alpha,\beta))=\binom{n}{A} \prod_{ij}(\alpha_i\beta_j)^{A_{ij}} = \binom{n}{A} \Big\{ \prod_i\alpha_i^{A_{i\bullet}} \Big\} \Big\{ \prod_j\beta_j^{A_{\bullet j}} \Big\}.$$ De to led i krøllede parenteser har samme struktur som likelihoodfunktionen fra en multinomialmodel, hvorfor vi umiddelbart har $$\hat\alpha_i=\frac{A_{i\bullet}}{n},\,\, i=1,\ldots,r,\quad \text{og}\quad \hat\beta_j=\frac{A_{\bullet j}}{n},\,\, j=1,\ldots,k.$$ Ved simpel indsættelse kan man nu se, at likelihood ratio tesstørrelsen $Q$ vil være som i afsnit 1.6 for homogenitetstestet. I det næste skjulte punkt gives en dybere forklaring på, at de to test er ens.

Betingning

Chi-square test i stedet for $G$-test

ForegåendeNæste