For at forstå konfidensintervallet i binomialmodellen skal vi omkring den centrale grænseværdisætning. Denne siger, meget løst formuleret, at hvis man kan tænke på en stokastisk variabel som fremkommet som en sum af mange små uafhængige stokastiske led, så vil fordelingen af den stokastiske variabel ligne en normalfordeling. Normalfordelingen kender I fra sandsynlighedsdelen af calculus, og jeg giver en kort oversigt senere i afsnit 4.1. Vi skal ikke i denne bog arbejde med den centrale grænseværdisætning, men blot vide, at den danner baggrund for nogle af metoderne, der bruges. Hvis $X$ er binomialfordelt med antalsværdi $n$ og sandsynlighedsparameter $p,$ $X\sim\text{binom}(n,p),$ så kan vi tænke på $X$ som en sum, $X=B_1+B_2+\cdots+B_n,$ hvor $B_i$-erne er uafhængige og enten 0 eller 1 med sandsynlighederne $1-p$ og $p.$ Så hvis $n$ ikke er lille, kan den centrale grænseværdisætning anvendes, og denne siger, at fordelingen af $X$ ligner en normalfordeling med middelværdi $np$ og spredning $\sqrt{np(1-p)}.$ Hvis vi standardiserer $X$ ved at trække middelværdi fra og dividere med spredning, $Z=(X-np)/\sqrt{np(1-p)},$ vil fordelingen af denne ligne en standard normalfordeling (normalfordeling med middelværdi 0 og spredning 1). I en standard normalfordeling gælder der, at sandsynligheden for at ligge til venstre for -1.96 er 0.025, og sandsynligheden for at ligge til højre for 1.96 er 0.025 (standard normalfordelingen er symmetrisk omkring nul). Med andre ord er sandsynligheden for at ligge mellem $-u$ og $u,$ $u=1.96,$ lig med $1-0.025-0.025=0.95.$ Fra den centrale grænseværdisætning anvendt på $X\sim\text{binom}(n,p)$ har vi altså $$P\Big( -u\leq\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq u \Big)\approx 0.95,$$ hvor "$\approx$" læses som "cirka lig med". Ved at løse en andengradsligning (ikke svært) kan man indse, at $-u\leq (X-np)/\sqrt{np(1-p)}\leq u$ er det samme som $$\frac{X+\frac{u^2}{2}-u\sqrt{\frac{X(n-X)}{n}+\frac{u^2}{4}}}{n+u^2} \leq p\leq \frac{X+\frac{u^2}{2}+u\sqrt{\frac{X(n-X)}{n}+\frac{u^2}{4}}}{n+u^2}.$$ Vi har dermed indset, at sandsynligheden for, at konfidensintervallet i Resultat 2.2.2 indeholder den sande værdi af parameteren, er 0.95 (approksimativt).

Illustration af centrale grænseværdisætning

ForegåendeNæste