Vi vender tilbage til data omkring formen af rullesten, målt i form af tykheden, beskrevet i afsnit 4.8. Lad $\text{Kyst}_i$ og $\text{Flod}_i$ betegne de tilhørende stokastiske variable, og betragt den statistiske model $$\begin{aligned} \text{Kyst}_i & \sim N(\mu_K,\sigma^2),\enspace i=1,\ldots,50, \\ \text{Flod}_i & \sim N(\mu_F,\sigma^2),\enspace i=1,\ldots,49, \end{aligned}$$ hvor $(\mu_K,\mu_F,\sigma^2)$ kan variere frit. Fra data udregnes de følgende størrelser (beregningerne er lavet i kodevinduet længere fremme), $$\begin{aligned} \overline{\text{kyst}} &=45.4140 , & s_{\text{kyst}} &=10.1246 , \\ \overline{\text{flod}} &=54.8245 , & s_{\text{flod}} &=12.1989 , \\ s^2 &=125.4220 , & s & =11.1992 , \end{aligned}$$ hvor $s^2$ er det fælles variansskøn fra (4.9.1). Den geologiske problemstilling består i at undersøge, om data peger på en forskel i de to populationer. Dette kan formuleres som hypotesen, at de to middelværdier er ens, $\mu_K=\mu_F,$ og vi ønsker ikke på forhånd at lægge os fast på et alternativ i en bestemt retning, således at alternativet er $\mu_1\neq\mu_2.$ $T$-teststørrelsen for denne hypotese bliver $$t_{\text{obs}}=\frac{45.4140-54.8245} {\sqrt{11.1992\cdot(1/50+1/49)}}=-4.1801,$$ og den tilhørende $p$-værdi fra en $t(50+49-2)$-fordeling er $$p\text{-værdi}=2\cdot(0.0000319)= 0.0000639.$$ Da denne er meget mindre end 0.05, bliver konklusionen, at data strider mod samme middelværdi, og da $\overline{\text{kyst}}<\overline{\text{flod}},$ tyder data altså på, at rullesten fra et flodområde i middel har en større tykhed end rullesten fra et kystområde. En lavere tykhed for kyststen svarer til, at stenen bliver slidt ned, når den skubbes rundt af bølgerne. Vi kan kvantificere forskellen i middelværdi mellem rullesten fra kystområder og flodområder ved at lave et 95%-konfidensinterval. Hertil bruges 97.5%-fraktilen i en $t(97)$-fordeling, $t_0=t_{\text{inv}}(0.975,97)=1.9847,$ og konfidensintervallet bliver $$45.4140-54.8245\pm 1.9847\cdot\sqrt{11.1992\cdot(1/50+1/49)} =[-13.9,\, -4.9].$$ Med 95% sikkkerhed ligger middelværdien af tykheden for rullesten fra flodområdet mellem 4.9 og 13.9 over middelværdien fra kystområdet. Man taler somme tider om forskel i middelværdi divideret med spredning som standardiseret effektstørrelse, og en effektstørrelse større end 1 anses for stor. I tilfældet her er skønnet over den standardiserede effektstørrelse $(54.8245-45.4140)/11.1992=0.84.$

Effektstørrelse

I analysen ovenfor har jeg kun betragtet to ud af i alt 20 datasæt i den bagvedliggende artikel. I alle tilfælde er gennemsnittet af tykheden større for flodområder end for kystområder, men der er også variation fra flod til flod og fra et kystområde til et andet. De flodområder, der ligger tæt på udløb i havet, har en mindre tykhed og kommer dermed tættere på rullesten fra kystområder.

Beregninger i R