I nogle situationer kan man være specielt interesseret i linjens værdi for bestemte værdier af den forklarende variabel $t.$ I eksemplet, vi har betragtet, med en ny måde at måle forureningsgraden i vandprøver kan det være, at man vil oversætte en grænseværdi på antallet af E.coli bakterier til en grænseværdi på GLUase aktiviteten. Dette kan formuleres på den måde, at i modellen $X_i\sim N(\alpha+\beta t_i,\sigma^2),$ $i=1,\ldots,n,$ vil vi gerne sige noget om parameteren $\theta=\alpha+\beta t_*,$ hvor $t_*$ er en givet værdi af den forklarende variabel. Som skøn over linjens værdi bruges $\hat\theta=\hat\alpha+\hat\beta t_*.$ På samme måde som i Resultat 5.2.1 kan man indse, at $\hat\theta\sim N\big(\theta,\sigma^2 \big(\frac{1}{n}+\frac{(t_*-\bar t)^2}{\mathit{SSD}_t}\big)\big).$ Som i Resultat 5.3.1 kan vi derfor lave test for værdien af $\theta,$ og vi kan lave et 95%-konfidensinterval. Det sidste er på formen $$\hat\theta\pm t_0\cdot\text{sd}_s(\hat\theta),\quad \text{sd}_s(\hat\theta)= s_r\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(t_*-\bar t)^2}{\mathit{SSD}_t}},\quad t_0=t_{\text{inv}}(0.975,n-2).$$ Man omtaler ofte $\hat\theta$ som en prædikteret værdi og intervallet som et konfidensinterval for prædiktionen. Derudover taler man også om et prædiktionsinterval, som er bredere end ovenstående konfidensinterval. Et 95%-prædiktionsinterval er et interval, der vil indeholde en kommende observation med sandsynlighed 0.95. Hvis $X_*\sim N(\alpha+\beta t_*,\sigma^2),$ skal der laves et interval, der indeholder $X_*$ med sandsynlighed 0.95. Hertil benyttes, at $\hat\theta-X_*\sim N\big(0,\sigma^2\big(1+\frac{1}{n}+ \frac{(t_*-\bar t)^2}{\mathit{SSD}_t}\big)\big).$ Ud fra dette kan vi konstruere en "$t$-teststørrelse": $$\frac{\hat\theta-X_*}{\text{sd}_{\text{præ}}},\quad \text{sd}_{\text{præ}}= s_r\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{(t_*-\bar t)^2}{\mathit{SSD}_t}},$$ og lave prædiktionsintervallet som $$\hat\theta\pm t_0\cdot\text{sd}_{\text{præ}},\quad t_0=t_{\text{inv}}(0.975,n-2).$$ I R kan konfidensintervallet og prædiktionsintervallet beregnes med funktionen predict. Input til predict er output fra kald af lm og en såkaldt dataframe med de værdier af den forklarende variabel $t,$ hvori vi ønsker at beregne linjens værdi. Lad output fra lm være lmUD=lm(x$\sim$t). Så danner vi en dataframe med navnet nyData med kommandoen

nyData=data.frame(t=tNY)

hvor tNY er en vektor med de nye værdier af $t.$ Det er vigtig, at der bruges det samme navn for den forklarende variabel (i vores tilfælde $t$) i kaldet til lm og i konstruktionen af NyData. Nu beregnes konfidensintervallet for linjens værdi i de nye punkter med kommandoen

predict(lmUD,nyData,interval="confidence")

Output fra predict er en matrix med tre søjler og et antal rækker, der svarer til længden af tNY. Første søjle er skøn over linjens værdi, anden søjle er det nedre endepunkt i konfidensintervallet, og tredje søjle er det øvre endepunkt. For at beregne prædiktionsintervallet skal man erstatte "confidence" med "prediction" i kaldet til predict. Inden for kemi bruges lineære sammenhænge ofte til at lave et "måleapperat", hvor værdien af den forklarende variabel bestemmes ud fra respons (omtales ofte som "invers regression"). Når den lineære regressionsmodel etableres ud fra data, taler man om at kalibrere målemetoden. For eksempel kan man have lavet en række prøver med en kendt koncentration af et stof og målt intensiteten af lys efter passage af prøven. Typisk vil der være en lineær sammenhæng mellem logaritmen til lysintensiteten og koncentrationen. Efterfølgende kan man for en prøve med en ukendt koncentration måle lysintensiteten og lave skøn over koncentrationen ud fra den etablerede lineære sammenhæng. I vores eksempel i dette afsnit med forurenede vandprøver ønsker vi, efter at sammenhængen mellem GLUase og antal bakterier er etableret, at bruge sammenhængen til ud fra en måling af GLUase at sige, hvad antallet af bakterier er.Dette kan formuleres generelt på følgende vis. Ud fra de indsamlede data har vi estimeret parametrene i modellen $X_i\sim N(\alpha+\beta t_i,\sigma^2),$ $i=1,\ldots,n.$ For en ny værdi $\tau$ af den forklarende variabel $t$ betragtes $m$ målinger $Y_1,\ldots,Y_m$ fra modellen $Y_i\sim N(\alpha+\beta\tau,\sigma^2).$ Vi ønsker at lave inferens om $\tau$ baseret på både $X_1,\ldots,X_n$ og på $Y_1,\ldots,Y_m.$ Ved beregninger af samme type som i forbindelse med Resultat 5.3.1 kan man indse, at $$t(\tau)= \frac{\bar Y -\big(\hat\alpha+\hat\beta\tau\big)}{ s_r\sqrt{ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}+ \frac{\big(\tau-\bar t\big)^2}{\mathit{SSD}_{t}} }} \sim t(n-2),$$ hvor $\bar Y=(Y_1+\cdots+Y_m)/m.$ Man kan derfor konstruere et 95%-konfidensinterval for $\tau$ som de værdier af $\tau,$ for hvilke $$-t_0\leq t(\tau)\leq t_0,\quad t_0=t_{\text{inv}}(0.975,n-2).$$ For at finde de relevante værdier af $\tau$ skal man løse en andengradsligning. Beregningerne er vist i kodevinduet nedenfor for data omkring forurening af vandprøver fra Eksempel 5.1.1. Der laves først et konfidensinterval for $\log$-værdien af antallet af E.coli bakterier i tilfældet, hvor $\log$-værdien af GLUase aktiviteten er 1.05, hvorefter dette omregnes til et konfidensinterval for antallet af bakterier. Beregningerne laves på den måde, at der først defineres en funktion inversReg i R, hvorefter denne funktion kaldes. Funktionen inversReg findes i filen Rfunktioner.txt omtalt under punktet Egne funktioner i R i afsnit 1.2.

5.5.3 Invers regression i R

ForegåendeNæste