Jeg vil gerne bruge normalfordelingen til at beskrive mine data, men er dette rimeligt ? Jeg har ikke nok data til at lave et goodness of fit test som beskrevet i afsnit 3.4, og som I prøvede at lave i Opgave 3.3 i Øvelse 3. I stedet vil jeg her beskrive en grafisk undersøgelse, der kan give en indikation af, om det er rimeligt at bruge en normalfordeling. I den grafiske metode laves en figur, hvor punkterne bør "sno sig" omkring en ret linje, i fald data stammer fra en normalfordeling. Med kun ganske få datapunkter, som i mit eksempel ovenfor, kan det være svært at afgøre, om data afviger fra at "sno sig" omkring en ret linje. Den grafiske undersøgelse er således af større værdi, hvor man har flere datasæt og kan se, om de alle viser den samme form for afvigelse fra "sno sig" egenskaben. Det følgende kodevindue laver den grafiske undersøgelse for data i eksemplet ovenfor.

4.2.2 QQplot i R

Jeg beskriver nu den grafiske undersøgelse, lavet i kodevinduet ovenfor, som går under navnet normal-qqplot. Her står "q" for quantile, som på dansk er fraktil, og på dansk taler man om en fraktilsammenligning. For nemhed i notationen vil jeg fremover blot omtale metoden som et qqplot. For at beskrive metoden lader jeg $u_p$ være $p$-fraktilen i en standard normalfordeling, $N(0,1)$-fordelingen, det vil sige, at $N_{\text{cdf}}(u_p,0,1)=p.$ I R beregnes $p$-fraktilen som qnorm(p).Vi betragter $n$ datapunkter $x_1,x_2,\ldots,x_n$ og ordner disse efter størrelse, $x_{[1]}$ betegner den mindste, $x_{[2]}$ den næstmindste, og så videre op til $x_{[n]}$ som er den største: $x_{[1]}\leq x_{[2]}\leq\cdots\leq x_{[n]}.$ Et qqplot består i at tegne punkterne I R produceres denne figur med kommandoen qqnorm(x), hvor $x$ er en vektor med data.

QQplots af simulerede data

Hvorfor giver et qqplot en figur, hvor normalfordelte data snor sig omkring en ret linje ? Her er kort den tekniske ide bag et qqplot. Hvis data følger en $N(\mu,\sigma^2)$-fordeling, så bør der gælde, at for ethvert $p$ mellem 0 og 1 vil $p\text{-}$fraktilen beregnet ud fra data $x_1,\ldots,x_n$ ligne $p$-fraktilen i en $N(\mu,\sigma^2)\text{-}$fordeling. Hvis $X\sim N(\mu,\sigma^2),$ kan vi skrive $X=\mu+\sigma U,$ hvor $U\sim N(0,1),$ hvorfor $p$-fraktilen for $X$ kan skrives som $\mu+\sigma u_p.$ Hvad mener jeg med fraktiler beregnet ud fra data $x_1,\ldots,x_n$ ? Per definition af de ordnede værdier vides, at i punktet $x_{[i]}$ er andelen af data mindre end eller lig med denne værdi givet ved $i/n,$ men hvis vi betragter en værdi $x$ lidt mindre end $x_{[i]}$ (men større end $x_{[i-1]}$), er andelen af data mindre end eller lig med denne værdi i stedet $(i-1)/n.$ Vi vælger derfor at sige, at $x_{[i]}$ er et skøn over $((i-\frac{1}{2})/n)$-fraktilen. Vores argument er derfor, at hvis data er $N(\mu,\sigma^2)\text{-}$fordelt, så bør hvor "$\approx$" skal læses som "cirka lig med". I qqplottet bør punkterne derfor sno sig om en linje med hældning $\sigma.$ ForegåendeNæste