Jeg vil gerne bruge normalfordelingen til at beskrive mine data, men er dette rimeligt ? Jeg har ikke nok data til at lave et goodness of fit test som beskrevet i afsnit 3.4, og som I prøvede at lave i Opgave 3.3 i Øvelse 3. I stedet vil jeg her beskrive en grafisk undersøgelse, der kan give en indikation af, om det er rimeligt at bruge en normalfordeling. I den grafiske metode laves en figur, hvor punkterne bør "sno sig" omkring en ret linje, i fald data stammer fra en normalfordeling. Med kun ganske få datapunkter, som i eksemplet ovenfor, kan det være svært at afgøre, om data afviger fra at "sno sig" omkring en ret linje. Den grafiske undersøgelse er således af større værdi, hvor man har flere datasæt og kan se, om de alle viser den samme form for afvigelse fra "sno sig" egenskaben. Det følgende kodevindue laver den grafiske undersøgelse for data i eksemplet ovenfor.

4.2.2 QQplot i R

Jeg beskriver nu den grafiske undersøgelse, lavet i kodevinduet ovenfor, som går under navnet normal-qqplot. Her står "q" for quantile, som på dansk er fraktil, og på dansk taler man om en fraktilsammenligning. For nemhed i notationen vil jeg fremover blot omtale metoden som et qqplot. For at beskrive metoden lader jeg $u_p$ være $p$-fraktilen i en standard normalfordeling, $N(0,1)$-fordelingen, det vil sige, at $N_{\text{cdf}}(u_p,0,1)=p$ eller $u_p=N_{\text{inv}}(p,0,1).$ I R beregnes $p$-fraktilen som qnorm(p).Vi betragter $n$ datapunkter $x_1,x_2,\ldots,x_n$ og ordner disse efter størrelse, $x_{[1]}$ betegner den mindste, $x_{[2]}$ den næstmindste, og så videre op til $x_{[n]}$ som er den største: $x_{[1]}\leq x_{[2]}\leq\cdots\leq x_{[n]}.$ Et qqplot består i at tegne punkterne $$(u_{(i-0.5)/n},x_{[i]}),\quad i=1,2,\ldots,n.$$ I R produceres denne figur med kommandoen qqnorm(x), hvor $x$ er en vektor med data. Ovenstående er korrekt for $n>10$, men for $n$ mindre erstatter R fraktionen $(i-0.5)/n$ med $(i-3/8)/(n+2/8).$

QQplots af simulerede data

Hvorfor giver et qqplot en figur, hvor normalfordelte data snor sig omkring en ret linje ? Her er kort den tekniske ide bag et qqplot. Lad os indføre den empiriske fordelingsfunktion $F_n$ givet ved $F_n(x)=\frac{1}{n}\sum_i1(x_i\leq x),$ hvor $1(x_i\leq x)$ er 1, hvis $x_i\leq x,$ og 0 ellers. Dette er andelen af datapunkterne $x_1,x_2,\ldots,x_n,$ der har en værdi mindre end eller lig med $x,$ og er vores gæt på sandsynligheden for en værdi mindre end eller lig med $x$. Hvis data er normalfordelt med middelværdi $\mu$ og spredning $\sigma,$ forventer vi, at $$F_n(x)\approx N_{\text{cdf}}(x;\mu,\sigma),\quad x\in R,$$ hvor "$\approx$" skal læses som "cirka lig med". Fordelingsfunktionen for en normalfordeling kan udtrykkes ved fordelingsfunktionen for en standard normalfordeling (middelværdi nul og spredning 1), $$N_{\text{cdf}}(x;\mu,\sigma)=N_{\text{cdf}} \Big(\frac{x-\mu}{\sigma};0,1\Big).$$ Hvis vi derfor anvender den inverse funktion til standard normalfordelingsfunktionen, $N_{\text{inv}}(p)= N_{\text{inv}}(p;0,1),$ på begge sider af den første ligning ovenfor, får vi $$N_{\text{inv}}(F_n(x))\approx \frac{x-\mu}{\sigma}.$$ Bytter vi rundt, får vi $$x\approx \mu+\sigma\cdot N_{\text{inv}}(F_n(x)).$$ Et qqplot laver en figur med denne relation, idet $x$ afsættes mod $N_{\text{inv}}(F_n(x))$ i punkterne $x$ svarende til de observerede værdier. I punktet $x_{[i]}$, den $i$'te mindste observation, springer $F_n(x)$ fra $(i-1)/n$ til $i/n.$ Vi vælger derfor værdien $(i-0.5)/n$ for $F_n$ og får punktet $$\Big(N_{\text{inv}}\big(\frac{i-0.5}{n}\big),x_{[i]}\Big).$$ I qqplottet bør punkterne sno sig om en linje med hældning $\sigma.$

Shapiro-Wilks test som supplement

ForegåendeNæste