Vi ønsker nu at lave et test for, om middelværdien har en bestemt værdi $\mu_0,$ det vil sige et test for hypotesen $\mu=\mu_0$ inden for normalfordelingsmodellen fra Statistisk Model 4.3.1. Intuitivt baseres testet på, om $\hat\mu=\bar x$ ligger tæt på $\mu_0$ eller langt fra, men tæt på eller langt fra skal ses i lyset af spredningen $\sigma$ i fordelingen. Umiddelbart inddrages spredningen gennem en standardisering på formen $(\bar x-\mu_0)/(\sigma/\sqrt n),$ baseret på at $\text{sd}(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n}.$ Da spredningen $\sigma$ ikke kendes, erstattes denne med vores skøn, den empiriske spredning $s.$ Dette giver teststørrelsen $$T=\frac{\bar X-\mu_0}{s/\sqrt n}.$$ Jeg har indført teststørrelsen ud fra et intuitivt argument, men en beregning viser, at store værdier af $|T|$ er ækvivalent med små værdier af likelihoodratio teststørrelsen $Q,$ som er forholdet mellem den maksimale værdi af likelihoodfunktionen under hypotesen $\mu=\mu_0$ og den maksimale værdi af likelihoodfunktionen under den fulde model 4.3.1. For at kunne bruge teststørrelsen er det nødvendigt at kende fordelingen af denne. Hertil skal vi bruge følgende definition.

Vise $t$-fordeling i R

For at forstå at $T$ følger en $t(n-1)$-fordeling, skal vi blot skrive $$T=\frac{\bar X-\mu_0}{s/\sqrt n}= \frac{(\bar X-\mu_0)/(\sigma/\sqrt n)}{\sqrt{s^2/\sigma^2}},$$ og bruge definitionen på en $t$-fordeling med $U=(\bar X-\mu_0)/(\sigma/\sqrt n)$ og $V=(n-1)s^2/\sigma^2.$ Fordelingsresultaterne i Resultat 4.3.2 giver nu det ønskede. Benyttes nu at $T\sim t(n-1),$ og at $t$-fordelingen er symmetrisk omkring nul (hvilket følger af, at standard normalfordelingen er symmetrisk omkring nul), fås $$\begin{aligned} & P_\mu\big(\bar X- t_0\frac{s}{\sqrt n}\leq \mu\leq \bar X+ t_0\frac{s}{\sqrt n}\big) = P_\mu\big(-t_0\leq \frac{\bar X-\mu}{s/\sqrt n}\leq t_0\big) \\ &\qquad = P(T\leq t_0)-P(T\leq -t_0) = 0.975-0.025=0.95. \end{aligned}$$ ForegåendeNæste