I 1797 lavede Henry Cavendish en række eksperimenter for at måle jordens massetæthed.

I kodevinduet nedenfor er 23 af Cavendishs målingerne gengivet. Den anderkendte værdi i dag for jordens massetæthed er 5.517. I eksemplet her undersøges, om "Cavendish målte rigtigt".

Lad $\text{massetaet}_i$ være den $i$ 'te måling. Vi benytter modellen

$\text{Model:}\enspace \text{Massetaet}_i\sim N(\mu,\sigma^2),\enspace i=1,\ldots,23,\enspace (\mu,\sigma)\in \mathbf{R}\times\mathbf{R}_+.$ Middelværdien $\mu$ repræsenterer her den massetæthed, som måles gennem Cavendishs eksperimenter. Der kan være fejl i den eksperimentelle opsætning, hvorfor det ikke er sikkert, at $\mu$ er lig med den anerkendte værdi i dag. I kodevinduet nedenfor undersøges hypotesen $\mu=5.517$ mod alternativet at $\mu\neq 5.517.$

Spørgsmål

Aflæs skøn over middelværdien $\mu.$
Kan det antages, at middelværdien er $\mu=5.517$ ?
Angiv et 95%-konfidensinterval for middelværdien $\mu.$
Hvor mange frihedsgrader har $t$ -fordelingen, der bruges i konstruktionen af konfidensintervallet ?
Hvad beregnes i følgende kode:
$\text{\texttt{(length(massetaet)-1)*var(massetaet)/qchisq(c(0.975,0.025),length(massetaet)-1)}}$

Svar: Cavendish

Skønnet er $\hat\mu=\bar x=5.4835$ fra aflæsning i output.
I output ses at $p$ -værdien fra $t$ -testet er 0.4076. Da denne er langt over 0.05, strider data ikke mod hypotesen om $\mu=5.517.$ Cavendish har derfor lavet et eksperiment, der måler "korrekt".
Fra output aflæses 95%-konfidensinterval for middelværdien: $[5.40, 5.57].$ Da $p$ -værdien for test af hypotesen $\mu=5.517$ er over 0.05, ligger 5.517 i konfidensintervallet.
Antallet af frihedsgrader er $n-1,$ som er 22 (df i output).
Koden beregner et 95%-konfidensinterval for variansen $\sigma^2.$

Afsnit 4.7: One sample t-test i R