Jeg har ovenfor indført to tests af hypotesen om ens middelværdier i to normalfordelte populationer. Et test i situationen hvor varianserne er ens og et andet, når varianserne i de to grupper er forskellige. Hvorfor bruger vi to test i stedet for blot at nøjes med testet, hvor det ikke antages, at varianserne er ens ? Svaret er, at hvis data ikke strider mod fælles varians, så får vi et stærkere test for hypotesen om samme middelværdi. Et stærkere test betyder, at man har nemmere ved at opdage en forskel i middelværdi, hvilket kan aflæses i, at konfidensintervallet for forskellen mellem de to middelværdier er smallere (97.5%-fraktilen i en $t(\mathit{df})$-fordeling falder med antalllet af frihedsgrader, og frihedsgraderne i tilfældet med forskellige varianser er $\mathit{df}_W\leq n_1+n_2-2$).For at kunne afgøre hvilket af de to tests der skal brugs, skal man overveje, om de to varianser er ens. Vi betragter derfor hypotesen $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ i Statistisk Model 4.9.1 med $X_{ji}\sim N(\mu_j,\sigma_j^2).$ Samme varians svarer i et qqplot af de to observationssæt til, at data snor sig om parallelle linjer. I et boxplot skal de to kasser være cirka lige store.For at kunne bruge det test jeg nu vil indføre i andre modelsammenhænge, betragter jeg en lidt mere generel situation. Antag, at vi har to uafhængige variansskøn $$s_1^2\sim\sigma_1^2\chi^2(\mathit{df}_1)/\mathit{df}_1,\quad s_2^2\sim\sigma_2^2\chi^2(\mathit{df}_2)/\mathit{df}_2. \tag{4.12.1}$$ Situationen under Statistisk Model 4.9.1 svarer til $\mathit{df}_1=n_1-1$ og $\mathit{df}_2=n_2-1.$ For at teste hypotesen om samme varians $\sigma_1^2=\sigma_2^2,$ vil jeg benytte forholdet $s_1^2/s_2^2,$ som bør være tæt på 1 under hypotesen. Da $$\frac{s_1^2}{s_2^2}=\frac{s_1^2/\sigma^2}{s_2^2/\sigma^2} =\frac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2}$$ under hypotesen, vil fordelingen af $s_1^2/s_2^2$ være fordelingen af $V_1/V_2,$ hvor $V_1$ og $V_2$ er uafhængige og $V_j\sim\chi^2(\mathit{df}_j)/\mathit{df}_j.$

$F$-fordeling i R

Når man laver et test for hypotesen $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ mod alternativet $\sigma_1^2\neq \sigma_2^2,$ er både store og små værdier (værdier langt fra 1) af $s_1^2/s_2^2$ kritiske. Hvis derfor den observerede værdi $F_{\text{obs}}$ af $s_1^2/s_2^2$ er større end medianen, bruger vi som $p$-værdi 2 gange sandsynlighed for at få en værdi over $F_{\text{obs}},$ og hvis $F_{\text{obs}}$ er mindre end medianen, bruger vi 2 gange sandsynlighed for at få en værdi mindre end $F_{\text{obs}}.$ Med andre ord siger vi, at der er lige så stor en sandsynlighed for kritiske værdier på den anden side af medianen som på den side af medianen, hvor $F_{\text{obs}}$ ligger. For at undgå at finde medianen implementerer vi beregningen som i det følgende resultat. ForegåendeNæste